1、初等数论初步 数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。 本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。 内容与要求 1. 通过实例（如星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出
2、现零因子）。 2. 理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。 3. 了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法。 4. 通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a，b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5. 通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。 6. 通过实例（如韩信点兵），理解一次同余方程组模型。 7.
3、 理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8. 理解费马小定理和欧拉定理及其证明。 费马小定理：当m是素数，a、m互素时，。 欧拉定理：当a、m互素时，其中是中与m互素的数的个数。 9. 了解数论在密码中的应用公开密钥。 10. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对正整数基本性质及其研究方法的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨数论的应用。（3）对本专题学习的感受、体会。 说明与建议 1. 由于整数的整除式是学生在操作上比较熟悉，而在论理上比较生疏的内容，教师可以只讲解一些主要的方法和性质，其他的一些性质则由学生经过讨论或自主探索完成。 2. 孙子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式是一样的，因此列入建立插值公式一节有助于学生加强注意有关内容联系的意识。 3. 剩余类环中会出现零因子，对于开阔学生关于运算的眼界是有益的。但是理解可能难一点，是否安排探索，教师可以酌情处理。 4. 多项式整除的方法和性质与整数的整除性质几乎完全平行，可以安排学生进行探索。多项式的竖式除法是一个实行多项式除法的有效方式，与整数的竖式除法类似，可以作为附录列出。
