1、21.1平面预习课本P4043，思考并完成以下问题1平面的表示方法有哪些？ 2公理1、公理2、公理3的内容是什么？ 3公理1、公理2、公理3各自的作用是什么？ 4点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示？ 1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.点睛(1)平面和点、
2、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的4平面的基本性质公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl用来证明直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C用来确定一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl用来证明空间的点共线和线共点点睛对公理2必须强调是不共线的三点1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间不同三点确定一个平面()(2)空间两两相交的三条
3、直线确定一个平面()(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内()答案：(1)(2)(3)2有以下命题：(1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(2)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为()A0B1C2 D3解析：选B平面是无厚度的，故(1)错；平面是无限延展的，不可度量，故(2)错；平面是无厚度、无限延展的，故(3)正确正确命题的个数为1.3根据右图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_.答案：AC文字语言、图形语言、符号语言的相互转化典例根据图形用符号表示下
4、列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB.(2)点C 直线AB.(3)点M平面AC.(4)点A1平面AC.(5)直线AB直线BC点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B平面AC直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别活学活用
5、1若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，间的关系可记为()AMa，aBMa，aCMa，a DMa，a解析：选B根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确2用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图(1)(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：如图(2)平面的基本性质的应用题点一：点线共面问题1证明：如果两两平行的三条直线
6、都与另一条直线相交，那么这四条直线共面证明：已知abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明：法一(平面重合法)：如图所示，因为ab，由公理2的推论可知直线a与b确定一个平面，设为.因为laA，lbB，所以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由公理1可知l.因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面与平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2的推论2，知经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面法二(落入法)：因为ab，所以a，b确定平面.因为laA，lbB，所以l上有两点A，B在内，即直线l，直
7、线a，b，l共面同理，a，c，l共面，即c在a，l确定的平面内故a，b，c和l共面(1)公理2的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面(2)点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面，再由其余元素确定平面，最后证明平面，重合；(3)反证法通常情况下采用第一种方法题点二：点共线问题2.如图，在正方体ABCD
8、A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：如图，连接A1B，CD1，显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即QBD1，B，Q，D1三点共线点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这
9、些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上 题点三：三线共点问题3已知：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行求证：l1，l2，l3相交于一点证明：如图，l1，l2，l3.l1，l2，且l1，l2不平行，l1与l2必相交设l1l2P，则Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点 层级一学业水平达标1下列说法中正确的是()A三点确定
10、一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D两个不同平面和有不在同一条直线上的三个公共点解析：选C不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确故选C.2给出以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选B假设其中有三点共线
11、，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确；如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；显然不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形3在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()AP一定在直线BD上BP一定在直线AC上CP在直线AC或BD上DP既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B由题意知GH平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P平面ADC.同理，P平面ABC.因为平面ABC平面ADCAC，由公理3可知点P一定在直
12、线AC上4用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是()A六边形 B五边形C菱形 D直角三角形解析：选D可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.5下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()解析：选D在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PSQR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.6用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”为_答案：Al，l7如图，看图填空：(1)平面AB1平面A1C1_；(2)平面A1C1CA平面AC_.答案：A1B1AC8已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_解
13、析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面答案：1或49.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由(1)由点A，O，C可以确定一个平面；(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面(2)正确因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面又因为ADB1C1，所以点D平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.10按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线解
14、：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形如图层级二应试能力达标1如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，Ml，Nl，则()AlBlClM DlN解析：选AMa，a，M，同理，N，又Ml，Nl，故l.2下列命题正确的是()A一条直线和一点确定一个平面B两条相交直线确定一个平面C四点确定一个平面D三条平行直线确定一个平面解析：选B根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确故选B.3.如图，已知平面平面l，P且Pl，M，N，又MNlR，M，N，P三点确定的平面记为，则是()A直线MP B直
15、线NPC直线PRD直线MR解析：选C因为MN，RMN，所以R.又l，MNlR，所以R.又P，P，所以P，R均为平面与的公共点，所以PR.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体的过点M，N，C1的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形解析：选C在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形故选C.5已知，是不同的平面，l
16、，m，n是不同的直线，P为空间中一点若l，m，n，mnP，则点P与直线l的位置关系用符号表示为_解析：因为m，n，mnP，所以P且P.又l，所以点P在直线l上，所以Pl.答案：Pl6两两平行的三条直线最多可以确定_个平面解析：两两平行的三条直线最多可确定3个平面答案：37.如图所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BDR.求证：P，Q，R三点共线证明：ABP，CDP，ABCDP.AB，CD可确定一个平面，设为.AAB，CCD，BAB，DCD，A，C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三点是平面与平面的公共点P，Q，R都在与的交线上，故P，Q，R三点共线8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线证明：(1)EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q.则Q是与的公共点，同理P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，则RPQ.故P，Q，R三点共线