1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1曲线x2y29与曲线x28y的交点坐标是_【解析】由得y28y90，解得y1或y9.y0，y1，代入x28y，x28，x2，交点坐标为(2，1)【答案】(2，1)2抛物线x24y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB_.【解析】由直线AB过焦点且垂直于对称轴知，AB为通径，所以AB2p4.【答案】43直线l与抛物线y24x交于A，B两点，AB中点坐标为(3,2)，则直线l的方程是_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，又因为y1y24，所以kAB1.所
2、以直线l的方程为y2x3，即xy10.【答案】xy104已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为_. 【导学号：09390064】【解析】由题意，得解得所以椭圆C的方程为1.【答案】15过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有_条【解析】设该抛物线焦点为F，则ABAFFBxAxBxAxB132p2.所以符合条件的直线有且仅有两条【答案】26曲线yx2x2和yxm有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是_【解析】由消去y ，得x22x2m0.若有两个不同的公共点，则44(2
3、m)0，m1.【答案】(1，)7直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若AB4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于_【解析】直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.【答案】8已知直线y2xb与曲线xy2相交于A，B两点，若AB5，则实数b等于_. 【导学号：09390065】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程组消去y，整理得2x2bx20.x1，x2是关于x的方程的两根，x1x2，x1x21.又AB，其中k2，代
4、入则有AB5，b24，则b2.故所求b的值为2.【答案】2二、解答题9如图267, 斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长图267【解】设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，化简整理，得5x28x80，所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2|.10直线l：yax1与双曲线3x2y21有两个不同的交点，(1)求a的取值范围；(2)设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线l的方程；若不存在，则说明理由【解】(1)
5、由方程组可得(3a2)x22ax20，由方程有两实数根，则解得a且a，故所求a的取值范围是(，)(，)(，)(2)设交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，x1x2，x1x2，由题意可得， OAOB(O是坐标原点), 则有x1x2y1y20，而y1y2(ax11)(ax21)a2x1x2a(x1x2)1， (a21)x1x2a(x1x2)10，于是可得(a21)a10，解得a1，且满足(1)的条件，所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，直线l的方程为yx1或yx1. 能力提升1过点P(4,1)的直线l与椭圆1有且只有一个公共点，则直线l的方程为_【解析】若直线l不存在
6、斜率，则方程为x4；把x4带入轨迹方程可得y1，即直线l和椭圆有两个公共点，不合题意设直线l的斜率为k，则方程为ykx4k1，带入轨迹方程并整理得(12k2)x24k(14k)x16(2k2k1)0.直线l与椭圆只有一个公共点，16k2(14k)264(12k2)(2k2k1)0，解得k2，直线l的方程为y2x9.【答案】y2x92双曲线x24y2(0)截直线xy30所得弦长为，则双曲线方程为_【解析】联立方程消去y得3x224x(36)0，设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么所以AB，解得4，所求双曲线方程是y21.【答案】y213已知以F1(2,0)，F
7、2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_【解析】根据题意，设椭圆方程为1(b0)，则将xy4代入椭圆方程，得4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22.【答案】24在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【解】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1
8、，1，得0.设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)，又因为1，所以a22b2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为直线xy0过椭圆右焦点，c，所以a26，所以M的方程为1.(2)因为CDAB，直线AB的方程为xy0，所以设直线CD的方程为yxm，将xy0代入1，得3x24x0，解得x0或x，不妨令A(0，)，B，所以可得AB.将yxm代入1，得3x24mx2m260，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3x4，x3x4，则CD.又因为16m212(2m26)0，即3m3，所以当m0时，CD取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为ABCD.
