1、高考资源网（） 您身边的高考专家提能拔高限时训练46 多面体与立体几何的综合问题一、选择题1.设球O的半径是1,A、B、C是球面上三点,已知A到B、C两点的球面距离都是,且二面角BOAC的大小为,则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是( )A. B. C. D. 解析:由题意,知AOB=AOC=,BOC=,=,=,=2=.从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离为+=.答案:C2.两个相同的正四棱锥组成如图(1)所示的几何体,可放入如图(2)所示棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )A.1个
2、 B.2个 C.3个 D.无穷多个解析:沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开,截面如图所示.可见在正方形内接的正方形面积S不可能唯一.故V=Sh2不唯一.故选D.答案:D3.设四面体的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,其中它们的最大值为S,记,则有( )A.24 B.34C.2.54.5 D.3.55.5解析:,不妨设S4=S,S1、S2、S3在S平面上的射影面积分别为S1、S2、S3,则S1S1,S2S2,S3S3,S1+S2+S3S1+S2+S3S(顶点在所对面上的射影落在所对面三角形的边界或内部时等号成立,落在外部时大于号成立).,故选A.答案:A4.棱长为1的正方体ABCDA1
3、B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为( )A. B.1 C.1+ D.解析:根据题中的文字叙述,作出其构成的立体图形,如图,设直线EF交球面于M、N两点,则MN的长即为直线EF被球O截得的线段长.设球O的半径为R,由条件知2R=,R=.又球心O到直线EF的距离为,故选D.答案:D5.三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中,能构成异面直线的条数的集合是( )A.4,5 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,5,6解析:如图所示,当直线l分别在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时,
4、与l异面的直线分别有3条、4条、5条、6条,故能构成异面直线的条数的集合是3,4,5,6.故选D.答案:D6.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为( )A. B. C. D.解析:设正方形ABCD的对角线的交点为O,则由题意可知点A,B,C,D在以点O为球心、1为半径的球面上,且OD平面ABC,OBOD,B与D两点之间的球面距离是1=.答案:C7.如图,模块均由4个棱长为1的小正方体构成,模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上,使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中
5、,能够完成任务的为( )A.模块 B.模块C.模块 D.模块解析:观察图形即可得必有,再知有.A成立.答案:A8.正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,如果V PABCD=,则球O的表面积为（ ）A.2 B.162 C.16 D. 解析:正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,PO底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.VPABCD=,2R2R=,解得R=2,故球O的表面积是16.答案:C9.如图,体积为V的大球内有4个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点,4个小球的球心是以大
6、球球心为中心的正方形的4个顶点.设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系式中正确的是( )A.V1 B.V2 C.V1V2 D.V1V2解析:设小球半径为r,则大球半径为2r,从而V大球=,所以V2=V大球-4V小球+V1.所以V2-V1=.所以V1V2.答案:D二、填空题10.如图为一几何体的展开图,其中四边形ABCD是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S、D、A、Q及P、D、C、R共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使P、Q、R、S四点重合,则需要个这样的几何体,可以拼成一个棱长为6的正方体.解析:如下图,知需3
7、个.答案:311.图甲是一个正三棱柱形的容器,高为2a,内装水若干.现将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图乙所示,这时水面恰好为中截面,则图甲中水面的高度为_.解析:设正三棱柱的底面积为S,将图乙竖起得图丙,则V水=V柱-VAEFA1E1F1=S2a-(S)2a=aS.设图甲中水面的高度为x,则Sx=aS,即x=a.答案:12.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:3;4;5;6;7.以上结论正确的为_.(写出所有正确的
8、结论的编号)解析:如图,B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4,则DA1的中点到平面的距离为3,所以D1到平面的距离为6;BA1的中点到平面的距离为,所以B1到平面的距离为5;DB的中点到平面的距离为,所以C到平面的距离为3;CA1的中点到平面的距离为,所以C1到平面的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的任意一点,所以选.答案:13.在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系可以得出的正确结论是:“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则_.”解析:设
9、AB=a,AC=b,AD=c.三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直,AB、AC、AD两两垂直.SABC2+SACD2+SADB2=a2b2+a2c2+b2c2.作BEDC于点E,连结AE,则CDAE.在RtCAD中,AE=,在RtBAE中,BE=.SBCD=DCBE=.SBCD2=(a2b2+b2c2+c2a2),即SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2.答案:SABC2+SACD2+SADB2=SBCD2三、解答题14.如图,在ABC中,B=90,AC=,D、E两点分别在AB、AC上,使,DE=3,现将ABC沿DE折成直二面角,求:(1)异面直线AD与BC的距离;(2)二面角AEC
10、B的大小.(用反三角函数表示)解法一:(1)在图中,因,故DEBC.又因B=90,从而ADDE.在图中,因ADEB是直二面角,ADDE,故AD底面DBCE,从而ADDB.而DBBC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.在图中,由,得.又已知DE=3,从而BC=DE=.因,故DB=2.(2)在图中,过D作DFCE,交CE的延长线于F,连结AF.由(1)知,AD底面DBCE.由三垂线定理,知AFFC,故AFD为二面角ABCB的平面角.在底面DBCE中,DEF=BCE,DB=2,EC=,因此sinBCE=.从而在RtDFE中,DE=3,DF=DEsinDEF=DEsinBCE=3=.在RtAFD中,
11、AD=4,tanAFD=.因此所求二面角AECB的大小为arctan.解法二:(1)同解法一.(2)如图.由(1)知,以D点为坐标原点,的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,4),C(2,0),E(0,3,0).=(-2,0),=(0,0,-4).过D作DFCE,交CE的延长线于点F,连结AF.设F(x0,y0,0),从而=(x0,y0,0),=(x0,y0-3,0).由DFCE,有=0,即2x0+y0=0.又由,得. 联立,解得即,得.因为,故AFCE.又因为DFCE,所以DFA为所求的二面角AECB的平面角.因,有=0,故ADDF,ADF是直角三角
12、形,因为,所以tanAFD=.因此所求二面角AECB的大小为arctan.15.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.(1)求证:D1CAC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由.(1)证明:在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,连结C1D,DC=DD1,四边形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC,ADDD1,DCDD1=D,AD平面DCC1D1.又D1C平面DCC1D1,ADD1C.AD,DC1平面ADC1,且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1,D1CAC1.(2
13、)解:连结AD1、AE,设AD1A1D=M,BDAE=N,连结MN.平面AD1E平面A1BD=MN,要使D1E平面A1BD,需使MND1E,又M是AD1的中点,N是AE的中点.又易知ABNEDN,AB=DE,即E是DC的中点.综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】若三角形内切圆的半径为r,三边长为a、b、c,则三角形的面积S=r(a+b+c),根据类比思想,若四面体内切球的半径为R,四个面的面积为S1、S2、S3、S4,则四面体的体积V=_.解析：由题知,以四面体内切球的球心向四个顶点引直线将四面体分成四个三棱锥,它们分别以四个面为底面,内
14、切球半径为高,所以V=R(S1+S2+S3+S4).答案：R(S1+S2+S3+S4)【例2】如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.(1)求证:B1P不可能与平面ACC1A1垂直;(2)当BC1B1P时,求线段AP的长;(3)在(2)的条件下,求二面角CB1PC1的大小.(1)证明:连结B1P,假设B1P平面ACC1A1,则B1PA1C1.由于三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱,AA1A1C1.A1C1侧面ABB1A1.A1C1A1B1，即B1A1C1=90.这与A1B1C1是等边三角形矛盾.B1P不可能与平面ACC1A1垂直.(2)解:取A1B1的中点D
15、,连结C1D、BD、BC1,则C1DA1B1.又AA1平面A1B1C1,AA1C1D.C1D平面ABB1A1.BD是BC1在平面ABB1A1上的射影.BC1B1P,BDB1P.B1BD=90-BB1P=A1B1P.又A1B1=B1B=2,BB1DB1PA1,A1P=B1D=1.AP=1.(3)解:连结B1C,交BC1于点O,则BC1B1C.又BC1B1P,BC1平面B1CP.过O在平面CPB1上作OEB1P,交B1P于点E,连结C1E,则B1PC1E,OEC1是二面角CB1PC1的平面角.由于CP=B1P=5,O为B1C的中点,连结OP,POB1C,OPOB1=OEB1P.tanOEC1=.OEC1=arctan.故二面角CB1PC1的大小为arctan.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 14 - 版权所有高考资源网