1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示1理解平面的法向量的概念， 会求平面的法向量(重点)2会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直(重点)3理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题(难点)基础初探教材整理1平面的法向量与向量表示阅读教材P102P103“例1”，完成下列问题1平面的法向量已知平面，如果向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交2平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件n0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面这个式子称为一个平面的向量表示式3两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面，的法向量，则
2、(1)或与重合n1n2；(2)n1n2n1n20.1若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交【解析】n(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.【答案】B2若平面，的法向量分别为a(2，1,0)，b(1，2,0)，则与的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】ab2200，ab，.【答案】B教材整理2三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行P105第2行内容，完成下列问题1正射影已知平面和一点A，过点A作的垂线l与相交于点A，则A就是点A在平面内的正射影，简称射影2三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条
3、斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直3三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a是平面的一条斜线，直线b垂直于a在内的射影，则ab.()(2)若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影，则ab.()(3)若a是平面的斜线，直线b，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则ab.()(4)若a是平面的斜线，b，直线b垂直于a在平面内的射影，则ab.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：
4、_疑问3：_解惑：_小组合作型利用平面法向量证明平行关系已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.【精彩点拨】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解【自主解答】(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为
5、n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.用向量方法证明空间平行关系的方法线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1l2，只需证明ab，即akb(kR)线面平行(1)设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0.(2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)证明一条直线l与一个平面平行，只需证明l的方向向量
6、能用平面内两个不共线向量线性表示即可面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行(2)求出平面，的法向量u，v，证明uv即可说明.再练一题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG平面HMN.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG和HMN的法向量，由得令x11，得m(1，1，1)
7、由得令x21，得n(1，1，1)于是有mn，即mn，故平面EFG平面HMN.利用向量证明线面垂直如图3214所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE平面A1D1F.图3214【精彩点拨】建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明与法向量共线【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，(1,0,0)，.设平面A1D1F的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，即解得x0，y2z.令z1，则n(0,2,1)又，n2.n，即AE平面A1D1
8、F.1坐标法证明线面垂直有两种思路方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决再练一题2如图3215，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点，求证：直线PB1平面PAC.图3215【证明】依题设，以D为坐标原点，如图所示
9、，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即PB1CP，PB1CA，又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1平面PAC.三垂线定理及其逆定理的应用在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BDC1.图3216【自主解答】在正方体中，AA1平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又ACBD，所以BDA1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影所以C1DA1C.又C
10、1DBDD，所以A1C平面BDC1.1三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明2当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线再练一题3正三棱锥PABC中，求证：BCPA.【证明】如图，在正三棱锥PABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BCAO，所以BCPA.探究共研型利用向量证明面面
11、垂直探究1如何用向量法判定两个平面垂直？【提示】只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可探究2在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.【提示】建系如图，取A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F.BCD90，CDBC.又AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC，为平面ABC的一个法向量设平面BEF的法向量n(x，y，z)，由n0，即(x，y，z)0，有xy.由n0，即(x，y，z)0，有ayz0zy.取y1，得n(1,1，)n(1,1，)0，
12、n，平面BEF平面ABC.如图3217所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C.图3217【精彩点拨】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1n20.【自主解答】由题意得AB，BC，B1B两两垂直以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，.设平面AA1C1C的一个法向量为n1
13、(x1，y1，z1)则令x11，得y11.n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则令z24，得x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面AEC1平面AA1C1C.1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度再练一题4在正方体ABCDA1
14、B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD.【证明】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，(1,1,1)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，则y1，x1，n1(1,1，2)同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1,0)，由n1n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD.构建体系1已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A.BC. D【解析】设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2.所
15、以n(1，2,2)由于|n|3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.【答案】B2已知直线l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)，则l与的位置关系是()Al BlCl与相交但不垂直 Dl或l【解析】因为au3410，所以au.所以l或l.【答案】D3已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)【解析】由于122(1)(1)(4)0，(1)422(1)00，所以正确【答案】4如图3218，已知PO平面ABC，且O为ABC的垂心，则AB与PC的
16、关系是_. 【导学号：15460075】图3218【解析】O为ABC的垂心，COAB.又OC为PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理知ABPC.【答案】垂直5在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC交BD于G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以.又(a,0，a)，所以2，这表明PAEG.
17、而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，(a，a，a)，所以00，所以，即PBDE.又已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4 B4 C5 D5【解析】，ab，ab282k0.k5.【答案】D2已知平面的一个法向量是(2，1,1)，则下列向量可作为平面的一个法向量的是()A(4,2，2) B(2,0,4)C(2，1，5) D(4，2,2)
18、【解析】，的法向量与的法向量平行，又(4，2,2)2(2，1,1)，故应选D.【答案】D3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B，4C.，2,4 D4，15【解析】，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得【答案】B4已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) BC. D【解析】对于B，则n(3,1,2)0，n，则点P在平面内【答案】B5设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆 B直线 C平面 D线
19、段【解析】M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面【答案】C二、填空题6已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】由题意知uv，uv36z0，z9.【答案】97已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_.【解析】由题意，知解得x64，y26，z17.【答案】(64，26，17)8若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_. 【导学号：15460076】【解析】因为，又因为a0，a0，所以解得所以xyzyy23(4)【答案】23(4)三、解答题
20、9.如图3219，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.图3219【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M.所以，(0, ，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为.所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.10底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.【证明】法一设ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,
21、0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.因为(0,0,1)，所以.所以OEAS.又因为AS平面ABCD，所以OE平面ABCD.又因为OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.法二设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，所以即令x1，可得平面BDE的一个法向量为n1(1,1,0)因为AS平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)因为n1n20，所以平面BDE平面ABCD.能力提升1如图3220，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B
22、B1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()图3220A(1，2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)【解析】设平面AEF的一个法向量为n(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E，F.故，.所以即所以当z2时，n(4,1，2)，故选B.【答案】B2如图3221，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3221A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BD
23、B当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n(2,1，2)假设DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD的法向量，所以n(2,1，2)与
24、共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.【答案】D3.如图3222，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系_图3222【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，平面PBC的一个法向量n(0,1,1)，n，n，EF平面PBC.【答案】垂直4如图3223，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.图3223(1)求证：CD平面PAC；(2
25、)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由【解】因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得0，0，所以APCD，ACCD.又因为APACA，所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E，则E，.设平面PCD的法向量是n(x，y，z)，则因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)所以n(1,1,2)0，所以n.因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE平面PCD.
