1、学业分层测评(四)第2章 2.1.1 第2课时类比推理(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S，可推知扇形面积公式S扇_.【解析】扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高，所以S扇形.【答案】2.(2016晋州模拟)数列an是正项等差数列，若bn，则数列bn也为等差数列，类比上述结论，正项等比数列cn，若dn_，则数列dn也为等比数列.【解析】根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方c1ccc，原来的除法变为开方(c1ccc).【答案】(
2、c1ccc)3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得“abba”；“(mn)tmtnt”类比得“(ab)cacbc”；“|mn|m|n|”类比得“|ab|a|b|”；“”类比得“”.以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是_.【解析】均正确，不正确.【答案】4.已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.【解析】原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积Sah3arrh.类比，用等体积法，VSh4rSrh.【答案】正四面体的内切球的半径是高的5.(2016日照模拟)已知双曲正弦函数sh x和双曲余弦函数ch x与我们学过的正弦函数
3、和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类比的正确结论_.【解析】类比结论为ch(x-y)ch xch y-sh xsh y.证明：右边-(exyex-ye-xye-x-y-exyex-ye-xy-e-x-y)2ex-y2e-(x-y)ch(x-y)左边.【答案】ch(x-y)ch xch y-sh xsh y(答案不惟一)6.已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为_.【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，则有a1a2a3a929.
4、【答案】a1a2a3a9297.(2016日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.【解析】因为V8r3，所以W2r4，满足WV.【答案】2r48.(2016安徽阜阳一中检测)对于等差数列an有如下命题：“若an是等差数列，a10，s，t是互不相等的正整数，则有(s-1)at(t-1)as”类比此命题，给出等比数列bn相应的一个正确命题是：“_”.【解析】首先，需要类比写出b11，然后写出btqt-1，bs
5、qs-1，即可发现：bb.【答案】若bn为等比数列，b11，s、t是互不相等的正整数，则有bb.二、解答题9.如图2111，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为1，2，3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想.图2111【解】在DEF中，由正弦定理，得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，猜想成立.10.在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：.那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【解】证明：如图所示，由射影定理，A
6、D2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD.则.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.ABAF，在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.能力提升1.下面使用类比推理恰当的序号是_.(填序号)“若a3b3，则ab”类推出“acbc，则ab”；“(ab)ca(bc)”类推出“(ab)ca(bc)”；“(ab)cacbc”类推出“(c0)”；“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”.【解析】均错.【答案】2.(2016温州高二检测)如图2
7、112所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_.图2112【解析】如图所示，设双曲线方程为-1(a0，b0)，则F(-c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(-a，b).又因为，所以b2-ac0，所以c2-a2-ac0，所以e2-e-10，所以e或e(舍去).【答案】3.在平面几何里，由勾股定理：设ABC的两条边BC，AC互相垂直，则BC2AC2AB2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，
8、ACD，ADB两两垂直，则_”.【解析】线的关系类比到面的关系，猜测SSSS.证明如下：如图作AECD连接BE，则BECD，SCD2BE2CD2(AB2AE2)(AC2AD2)(AB2AE2)(AC2AB2AD2AB2AC2AE2AD2AE2)(AC2AB2AD2AB2CD2AE2)SSS【答案】SSSS4.我们知道三角形的性质：如图2113，过ABC的底边AB上任一点O分别作OA1AC，OB1BC，分别交BC，AC于A1，B1，则为定值1.那么你能类比此性质，猜想四面体中所具有的性质吗？试证明你的猜想是否正确.图2113【解】猜想的性质为：如图，过四面体VABC的底面ABC上任一点O分别作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面的交点，则为定值1.证明如下：设平面OA1VABCM，平面OB1VBACN，平面OC1VCABL，则MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1LCV.所以.如图，在底面ABC中，由于AM，BN，CL相交于一点O，用面积法易证得1.所以为定值1.