1、第二节不等式证明考点高考试题考查内容核心素养不等式证明2017全国卷T2310分利用均值不等式证明不等式逻辑推理2017浙江卷T2215分证明以数列为载体的不等式问题逻辑推理2016全国卷T2410分绝对值不等式的解法与绝对值不等式的证明数学运算逻辑推理2015全国卷T2410分不等式证明和充要条件的判断逻辑推理命题分析从近几年高考命题来看，作为新课程选考的重要内容，不等式证明严格按考试说明要求命题，试题难度不超过中等，以解答题形式出现，着重考查比较法、综合法，证明不等式，以及放缩法的应用.1平均值不等式(1)定理1：对任意_实数a，b_，有a2b2_2ab(此式当且仅当_ab_时取“”号)(
2、2)定理2：对任意两个_正数_a，b，有_(此式当且仅当_ab_时取“”号)又可叙述为：两个正数的算术平均值_不小于_它们的几何平均值(3)定理3：对任意三个_正数_a，b，c，有a3b3c33abc(此式当且仅当_abc_时取“”号)(4)定理4：对任意三个_正数_a， b，c，有_(此式当且仅当_abc_时取“”号)又可叙述为：三个正数的算术平均值_不小于_它们的几何平均值(5)一般地，对n个正数a1，a2，an(n2)，有_(此式当且仅当_a1a2an_时取“”号)又可叙述为：n个正数的算术平均值_不小于_它们的几何平均值2比较法(1)比差法的依据是：ab0_ab_.步骤是：“作差_变形
3、_判断差的符号_”变形是手段，变形的目的是判断差的符号(2)比商法：若B0，欲证_AB_，只需证13综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_推理、论证_而得出命题_成立_(2)分析法：从_要证的结论_出发，逐步寻求使它成立的_充分条件_，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立提醒：比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差变形判断差的符号下结论其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式
4、时，有时也可用判别式来判断差值的符号个别题目也可用柯西不等式来证明1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”()(2)若实数x、y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案：(1)(2)2设不等式|2x1|1的解集为M(1)求集合M(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解：(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故ab1ab3已知abc，且abc0，求证：a证明：要证a，只需证b2ac3a2abc0，只
5、需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0abc，ab0，ac0(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立比较法证明不等式明技法作商比较法证明不等式的一般步骤作商：将不等式左右两边的式子进行作商；变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；结论提能力【典例】 求证：(1)当xR时，12x42x3x2；(2)当a，b(0，)时，aabb(ab) 证明：(1)方法一(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1
6、)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2方法二(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)20，所以12x42x3x2(2)ab，当ab时，1；当ab0时，1，0，1；当ba0时，01，0，1所以aabb(ab) 刷好题1设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明：由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()5()5，得()()5()50，所以a3b3(
7、a2b2)2已知a，b(0，)，求证：abba(ab) 证明：abba当ab时，1；当ab0时，01，0，1当ba0时，1，0，1所以abba(ab) 用综合法、分析法证明不等式明技法分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程提能力【典例】 设x1，y1，求证：xyxy证明：由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy
8、1)(xy1)(x1)(y1)，因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立刷好题设a，b，c均为正数，且abc1证明：(1)abbcca；(2)1证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca(2)因为b2a，c2b，a2c，所以(abc)2(abc)，即abc所以1反证法证明不等式明技法利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论；(2)从假设出发，导出矛盾；(3)证明原命题正确提能力【典例】 (1)设0a，b，c1，求证
9、：(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同时大于证明：设(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a，又因为0a，b，c1，所以0(1a)a2同理：(1b)b，(1c)c，以上三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，与矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同时大于(2)已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a，b，c0证明：设a0，因为abc0，所以bc0又由abc0，则bca0，所以abbccaa(bc)bc0，与题设矛盾若a0，则与abc0矛盾，所以必有a0同理可证：b0，c0综上可证a，b，c0刷好题1已知f(x)x2pxq，求证：(
10、1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于证明：( 1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2已知函数yf(x)在R上是增函数，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab证明：假设ab不成立，则ab或ab当ab时，ab，则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)，与已知矛盾当ab时，ab，由函数yf(x)的单调性可得f(a)f(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)，与已知矛盾故假设不成立ab