1、提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若yf(x)有反函数,则方程f(x)a(a为常数)的实根的个数为( )A.无实数根 B.只有一个实数根C.至多有一个实数根 D.至少有一个实数根解析:yf(x)存在反函数,则x与y是“一对一”的.但a可能不在值域内,因此至多有一个实根.答案:C2.设函数yf(x)的反函数yf-1(x),若f(x)2x,则f-1()的值为( )A. B.1 C. D.-1解析:令f(x)2x,则x-1,故f-1()-1,故选D.答案:D3.若函数yf(x-1)的图象与函数的图象关于直线yx对称,则f(x)等于 ( )A.e2x-1 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+
2、2解析:由函数yf(x-1)的图象与函数的图象关于直线yx对称,可知yf(x-1)与互为反函数,有xe2y-2,所以ye2x-2yf(x-1)e2x-2.故f(x)e2x.答案:B4.已知函数f(x)2x+3,f-1(x)是f(x)的反函数,若mn16(m,nR+),则f-1(m)+f-1(n)的值为( )A.-2 B.1 C.4 D.10解析:设y2x+3,则有x+3log2y,可得f-1(x)log2x-3.于是f-1(m)+f-1(n)log2m+log2n-6log2mn-6-2.答案:A5.设函数(0x1)的反函数为f-1(x),则( )A.f-1(x)在其定义域上是增函数且最大值为
3、1B.f-1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f-1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f-1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由(0x1),得该函数是增函数,且值域是1,+),因此其反函数f-1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数的反函数是( )A. B.C. D.解析:当x0时,y2x,且y0,(x0).当x0时,y-x2且y0,(x0).函数的反函数是答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数在区间M上的反函数是其本身,则M可以是( )A.-2,-1 B.-2,0 C.0,2 D.-1,0解析:画出函数;由得y24-x2且y0,即x
4、2+y24,y0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x轴下方的部分(包括点(2,0);又yf(x)在区间M上反函数是其本身,故yf(x)图象自身关于yx对称,故区间M可以是-2,0.答案:B8.设0a1,函数,则函数f-1(x)1的x的取值范围是( )A.(0,2) B.(2,+) C.(0,+) D.(loga(2-a),+)解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以xf(1)0.故选C.答案:C9.设函数为yf(x)的反函数为yf-1(x),将yf(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )A. B.C. D.解析:由题意知,最后得到的
5、图形对应的函数可以表示为y-f2(x+2)-3-f(2x+1),即-yf(2x+1),2x+1f-1(-y),故所求函数的反函数是.答案:A10.已知函数若函数yg(x)的图象与函数yf-1(x-1)的图象关于直线yx对称,则g(11)的值是( )A. B. C. D.解析:函数yg(x)的图象与函数yf-1(x-1)的图象关于直线yx对称,函数yg(x)与函数yf-1(x-1)互为反函数.由g(11)得f-1(x-1)11,x-1f(11),即xf(11)+1.,.答案:A二、填空题11.设f(x)x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则f(x)的反函数为f-1(x)_.解析:f(x)
6、(x-1)5+2,.答案:12.若函数的图象关于直线yx对称,则a_.解析:,不是常函数,且存在反函数.在f(x)的图象上取一点(0,),它关于yx的对称点(,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为-1,1,值域为-3,3,其反函数为f-1(x),则f-1(3x-2)的定义域为_,值域为_.解析:由于函数f(x)的定义域为-1,1,值域为-3,3,所以其反函数f-1(x)的定义域为-3,3,值域为-1,1.所以由-33x-23,解得x.故函数f-1(3x-2)的定义域为,值域为-1,1.答案:, -1,114.(2009河南南阳期末质检,14)定
7、义在R上的函数yf(x)有反函数,则函数yf(x+1)+2与yf-1(x+1)+2的图象关于直线_对称.解析:函数yf(x)沿向量(-1,2)平移得到函数yf(x+1)+2,函数yf-1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数yf-1(x+1)+2,又yf(x)与yf-1(x)关于yx对称,yx沿向量(-1,2)平移得到yx+3,yf(x+1)+2与yf-1(x+1)+2关于yx+3对称.答案:yx+3三、解答题15.已知函数,g(x)f-1(-x),求g(x).解:由,得xy-yx+1,即.g(x)f-1(-x).16.已知函数f(x)2()(a0且a1).(1)求函数yf(x)的反函数yf-1
8、(x);(2)判定f-1(x)的奇偶性；(3)解不等式f-1(x)1.解:(1)化简，得.设,则.所求反函数为(-1x1).(2),f-1(x)是奇函数.(3).当a1时，原不等式.x1.当0a1时，原不等式解得-1x.综上，当a1时，所求不等式的解集为(,1);当0a1时，所求不等式的解集为(-1，).教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设函数若g(x)(x-1)2f(x-1),yg(x)的反函数为yg-1(x),则g(-1)g-1(-4)_.解析:由题意得g(x)(x-1)2f(x-1)设g(x)-4,可得-(x-1)2-4且x1,解得x-1.g(-1)-4.g-1(-4)-1.g(-1)g-1(-4)-4(-1)4.答案:4【例2】 已知f(x)是定义在R上的函数,它的反函数为f-1(x).若f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)a(a为非零常数),则f(2a)_.解析:设yf-1(x+a),则xf(y)-a,即yf-1(x+a)的反函数为yf(x)-a,f(x+a)f(x)-a.令xa,得f(2a)f(a)-aa-a0.答案:0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m