1、第三节三角函数的图象与性质考纲传真1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性周期为2周期为2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数
2、单调性递增区间：，kZ，递减区间：，kZ递增区间：2k，2k，kZ，递减区间：2k，2k，kZ递增区间，kZ对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心，kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性(1)若f(x)Asin(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)(2)若f(x)Acos(x)(A0，0)，则f(x)为奇函数的充要条件：k，kZ；f(x)为
3、偶函数的充要条件：k，kZ.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(2)ysin |x|是偶函数()(3)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)cos的最小正周期为()A.B.C2D2DT2，故选D.3函数ytan 2x的定义域是()A. B.C. D.D由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.4函数ysin，x2，2的单调递增区间是()A.B.和C.D.C令zx，函数ysin z的
4、单调递增区间为(kZ)，由2kx2k得4kx4k，而x2，2，故其单调递增区间是，故选C.5(教材改编)函数f(x)42cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_2x|x6k，kZf(x)min422，此时，x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以x的取值集合为x|x6k，kZ三角函数的定义域、值域【例1】(1)函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数f(x)3sin在区间上的值域为()A.B.C. D.(3)(2019长沙模拟)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4B5 C6D7(1)B(2)B(3)B(1)由2sin x0得sin x，2k
5、x2k(kZ)，故选B.(2)因为x，所以2x，所以sin，所以3sin，所以函数f(x)在区间上的值域是，故选B.(3)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.故选B.规律方法(1)三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求.把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域.把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.利用sin xco
6、s x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. (1)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2B0C1 D1(2)函数y的定义域为_(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_(1)A(2)(3)(1)因为0x9，所以，所以sin.所以y，2，所以ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.(3)设tsin xcos x，则sin xcos x(t)，ytt2(t1)21，当t时，y取最大值为，当t1时，y取最小值为1.所以函数值域为.三角函数的单调性【例2】(1)函数f(x)sin的单调减区间为_(2)已知0，函数f(x)si
7、n的一个单调递减区间为，则_.(3)(2018全国卷改编)若函数f(x)cos xsin x在0，a是减函数，则a的最大值是_(1)，kZ(2)2(3)(1)f(x)sinsin，函数f(x)的单调减区间就是函数ysin的增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的减区间为，kZ.(2)由x得x.又函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，则kZ即，解得2.(3)f(x)cos xsin xcos，当x0，a时，xa，由题意知a，即a，故所求a的最大值为.拓展探究本例(2)中，若函数f(x)sin在上是减函数，试求的取值范围解由x，得x，由题意，知，kZ，4k2k，kZ，当k0时，.规
8、律方法三角函数单调性问题的解题策略(1)已知三角函数的解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调性求参数,已知函数yAsin(x)的单调性求参数，可先求tx的范围(a，b)，再根据(a，b)是函数yAsin t的单调区间的子集关系列不等式组求解. (1)函数f(x)tan的单调递增区间是_(2)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区
9、间上单调递减，则_.(1)(kZ)(2)(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)故函数的单调递增区间为.(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，此时，符合题意，故.三角函数的周期性、奇偶性、对称性考法1三角函数的周期性【例3】(2019大连模拟)在函数：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x，ytan中，最小正周期为的所有函数为()A BC DCycos|2x|cos 2x，T.由图象知，函数的周期T.T.T.综上可知，最小正周期为的所有函数为，故选C.考法2
10、三角函数的奇偶性【例4】函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为_由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin3，k，kZ，又0，.考法3三角函数的对称性【例5】(1)下列函数的最小正周期为且图象关于直线x对称的是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B.C. D.(1)B(2)A(1)根据函数的最小正周期为知，排除C，又当x时，2x，2x，2x，故选B.(2)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.规律方法三角函数的奇偶
11、性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式.(2)周期的计算方法：利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的最小正周期为，函数yAtan(x)(0)的最小正周期为求解.(3)对称性的判断：对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断. (1)(2019石家庄模拟)设函数f(x)Asin(x)(A0，0)的最小正周期为，
12、其图象关于直线x对称，则|的最小值为()A. B.C. D.(2)若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1B2 C4D8(1)B(2)B(1)由题意，得2，所以f(x)Asin(2x)因为函数f(x)的图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，即k(kZ)，当k0时，|取得最小值，故选B.(2)由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以min2，故选B.1(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2CD.C函数f(x)sin的最小正周期T.故选C.2(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B.C D2Cf(x)sin xcos xsin
13、2x，所以f(x)的最小正周期T.故选C.3(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减DA项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，B项正确C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误故选D.4(2017全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_1f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，当cos x时，f(x)取得最大值，最大值为1.