1、第三节等比数列及其前n项和考点高考试题考查内容核心素养等比数列的定义2016全国卷T1712分等比数列的通项及前n项和公式逻辑推理等比数列的通项公式与前n项和公式2017全国卷T1712分求通项公式数学运算2015全国卷T95分通项公式数学运算命题分析本节内容的考查以等比数列通项公式、前n项和公式及利用等比数列的性质解题为主，难度中低档.1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列
2、，那么称G为a，b的等比中项，且有G.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN)(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)；(2)若mnpq2r，则amanapaqa；(3)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)提醒：辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数(2)由an1qan，q0，并不能立即断言an为等
3、比数列，还要验证a10.(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为0的项()(3)满足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列()(4)G为a，b的等比中项G2ab.()(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(6)q1时，等比数列an是递增数列()(7)在等比数列an中，若amanapaq，则mnpq.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2对任意等比数列an，下列说法一定正确
4、的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D3(教材习题改编)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31B32C63D64解析：选C由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C4在等比数列an中，若a1a516，a48，则a6_.解析：由题意得，a2a4a1a516，所以a22，所以q24，所以a6a4q232.答案：325(2015全国卷)在数列an中，a1
5、2，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.解析：a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，n6.答案：6等比数列的基本运算明技法解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.提能力【典例】 (1)(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
6、灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏解析：选B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B(2)(2018赤峰模拟)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k()A4B5C6D7解析：选C设等比数列an的公比为q，由已知a11，a34，得q24.又an的各项均为正数，所以q2.而Sk63，所以2k163，解得k6.刷好题(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a
7、1a33，则a4_.解析：设等比数列an的公比为q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.，得1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38.答案：8等比数列的性质及应用明技法等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口提能力【典例】 (1)(2015全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2B1CD解析：选C方法一a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a
8、2a1q2，故选C方法二a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2, a2a1q，故选C(2)(2018临沂检测)已知各项都是正数的等比数列an，Sn为其前n项和，且S1010，S3070，那么S40()A150B200C150或200D400或50解析：选A依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S200，因此，S2030，S20S1020，S407080150.刷好题1(2018广
9、州综合测试)已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9的值为()A10B20C100D200解析：选Ca7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)2102100.2(2018长春调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.解析：设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14.答案：14等比数列的判断与证明明技法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN)，则a
10、n是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定提能力【典例】 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN)，若bnan12an，求证：bn是等比数列证明：an2Sn2Sn14an124an24an14an，2.S2a1a24a12，a25.b1a22a13.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列母题变式1 在本例的条件下，求an的通项公式解：由题意知bnan12an32n1，所以，故是首项为，公差为的等差数列所以(n1)，所以an(3n1)2n2.母题变式2在本例中，若cn，证明：cn为等比数列证明：由母题变式1知，an(3n1)2n2，cn2n2.2.又c1212，数列cn是首项为，公比为2的等比数列刷好题(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由题意得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.