1、西湖高级中学2012-2013学年高三8月开学考试数学理试题 第卷（选择题 共50分）一选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1复数在复平面上对应的点的坐标是北京四中网校A B C D 2已知全集则A B C D3下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是 A B C D4设则“”是“”成立的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既非充分也非必要条件 5已知两个不同的平面和两条不重合的直线，则下列四个命题正确的是A若则 B若，则 C若，则 D若，则6在等差数列中，则数列的前11项和等于 A B C D7执行右
2、面的程序框图，若输出结果是，则输入的为A B C D8已知抛物线则过其焦点且斜率为的直线被抛物线截得的线段长为 A B C D9若函数在一个周期内的图像如图所示，则函数的解析式为 A B C D10已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有 KA6个B4个C7个D8个第卷（非选择题 共100分）二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上.)11已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于 .12.若的最大值是3，则的值是 .13一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数
3、依次成等比数列的概率为 14某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为 15内角的对边分别是，若，,则 .16已知双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，在上投影的大小恰好为，且它们夹角为，则双曲线离心率是 .17.函数零点的个数为 .三、解答题：本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、(本小题满分14分)在中，为中点，.求(1)的大小；(2)的大小和的值。19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上。（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和20（本小题满分15分）已知正方形的边长为2，将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图
4、所示 （1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值ABCDO21（本小题满分15分）如图，已知圆经过椭圆的右焦点F及上顶点B过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点 （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求的取值范围22（本小题满分14分） 已知函数（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，求实数a的取值范围班级 姓名 学号 座位号C 密封线杭西高2012年8月开学考高三理科数学答卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 12. 13.
5、14. 15. 16. 17. 三、解答题：本大题共5小题，共72分18、(本小题满分14分)在中，为中点，.求(1)的大小；(2)的大小和的值。19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上。（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和20（本小题满分15分）已知正方形的边长为2，将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示 （1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值21（本小题满分15分）如图，已知圆经过椭圆的右焦点F及上顶点B过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点 （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外
6、部，求的取值范围密封线内请勿答题-22（本小题满分14分）-密封线内请勿答题-密封线内请勿答题-密封线内请勿答题-密封线内请勿答题- 已知函数（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，求实数a的取值范围2012年8月开学考高三数学理科答案一、 选择题：每小题5分二、填空题：每小题5分11. 17 12. 1 13. 14 15. 16. 17. 4 18、(本小题满分14分).在中，为中点，.求(1)的大小；(2)的大小和的值。解：（1）由题意得：， 2分故 4分在中，。 6分（2）法1：先求由为中点及三角形面积公式得：即,故, 9分在中,由余弦定理得化简可得,故为等腰直角三角形，即。 1
7、1分 从而易得 14分法2：先求在中,由正弦定理得：（1）在中,由正弦定理得：（2） 8分由（1）（2）及为中点可得， 10分 设则，在中,由余弦定理得可解得，故， 12分故为等腰直角三角形，即。 14分法3：先求取中点,连接，则.在中,由正弦定理得： 8分,可得,故， 10分以下解法同法220（本小题满分15分）已知正方形的边长为2，将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示 （1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值（1）证明：根据题意，在中，所以，所以因为是正方形的对角线，所以 因为，所以 5分（2）解法1：由（1）知，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立如
8、图的空间直角坐标系， 则有，ABCDOyxz设，则， 又设面的法向量为，则即 所以，令，则所以 因为平面的一个法向量为，且二面角的大小为，所以，得因为，所以解得所以设平面的法向量为，因为，则，即令，则所以 设二面角的平面角为，所以所以ABCDOHK 所以二面角的正切值为15分解法2：折叠后在中，在中， 所以是二面角的平面角， 即 在中，所以 如图，过点作的垂线交延长线于点，因为，且，所以平面 因为平面，所以又，且，所以平面过点作作，垂足为，连接， 因为，所以平面 因为平面，所以所以为二面角的平面角 在中，则，所以 在中，所以在中，所以二面角的正切值为15分21（本小题满分15分）如图，已知圆经过椭圆的右焦点F及上顶点B过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点 （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求的取值范围解：（1）圆G：经过点F、BF（2，0），B（0，）， ，故椭圆的方程为 5分 （2）设直线的方程为由消去得由=，解得又，设，则，= =点F在圆G的外部，即，解得或又， .15分22（本小题满分14分） 已知函数（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，求实数a的取值范围解：（1），定义域为 设，则因为，所以在上是减函数，又，于是，；，所以的增区间为，减区间为 6分
