1、2三角形中的几何计算 关键能力合作学习类型一求线段长度问题(直观想象)1.(2020镇江高一检测)已知ABC中,AB=2,BC=3,CA=4,则BC边上的中线AM的长度为()A.B.C.2D.2.在ABC中,A=105,B=30,a=,则B的角平分线的长是()A.B.2C.1D.3.如图所示,在四边形ABCD中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求BC的长.【解析】1.选A.延长AM至D,使MD=AM,连接BD,CD,如图所示:由题意知四边形ABDC是平行四边形,且满足AD2+BC2=2(AB2+AC2),即32+(2AM)2=2(22+42),解得AM=,所以B
2、C边上的中线AM的长度为.2.选C.设B的角平分线的长为BD.易知ACB=180-105-30=45,BDC=180-15-45=120.在CBD中,有=,可得BD=1.3.在ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,设BD=x,则有142=102+x2-210xcos 60,所以x2-10x-96=0,所以x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.在BCD中,由正弦定理知=,所以BC=sin 30=8.1.三角形的高的计算公式在ABC中,边BC,CA,AB对应的边长分别为a,b,c,边上的高分别记为ha,hb,hc,则ha=bsin C=csin B,hb=
3、csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.2.求线段长度问题的解题策略在平面几何中,求线段的长度往往归结为求三角形的边长,求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理,恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键.【补偿训练】 (2020福州高一检测)在ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为()A.4B.3C.2D.【解析】选A.在ABC中,AB=2,C=,则ABC外接圆直径2R=4,AC+BC=4sin B+4sin A=4sin+4sin A=4sin(A+),其中sin =,cos =,由于0A,0,所以0A+b,则B等于()A.B.C.D.(2)如图,在AB
4、C中,D是AC边上的点,且AB=AD=BD,BC=2BD,则sin C的值是.【解析】(1)选A.根据正弦定理知asin Bcos C+csin Bcos A=b等价于sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=.因为ab,所以A+C=,所以B=.(2)设AB=x,则AD=x,BD=x,BC=x.在ABD中,由余弦定理得cos A=,则sin A=.在ABC中,由正弦定理得=,解得sin C=.答案:类型三平面几何中的面积及最值问题(数学运算、逻辑推理)角度1三角形面积求解问题【典例】(2020启东高一检测)在ABC中,AB=1,AC=,BC=2,D为ABC所在平面内一点
5、,且=2+,则BCD的面积为()A.2B.C.D.【思路导引】由题意作图得矩形,利用三角形面积公式求解即可.【解析】选D.由题可作如图所示的矩形,则易知BCA=,则BCD=,则sinBCD=,所以SBCD=BCDCsinBCD=23=.(2020泰安高一检测)在ABC中,已知A=60,b=16,SABC=220,那么a等于()A.20B.41C.49D.51【解析】选C.由于A=60,b=16,SABC=220,则SABC=bcsin A=220,解得c=55.在ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=2 041,解得a=49或a=-49(舍去).角度2三角形面积最值问题【
6、典例】已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,求ABC面积的最大值.【思路导引】依据题设条件写出面积的表达式,然后求最值.【解析】由正弦定理得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos C=,因为C(0,),所以C=.所以S=absin C=2Rsin A2Rsin B=R2sin Asin B=R2sin Asin=R2sin A=R2(sin Acos A+sin2A)=R2=R2.因为A,所以2A-,所以sin,所以S,所以面积S的最大值为R2.1.公式(1)三角形面积公式
7、S=ah.(2)三角形面积公式的推广S=absin C=bcsin A=casin B.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).2.求三角形面积取值问题的解题策略一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元),再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值.1.(2020西安高一检测)在ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30,ABC的面积为,那么b=()A.B.1+C.D.2+【解析】选B.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,又面积SABC=acsin B=ac=,即a
8、c=6.因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,代入上式可得b2=4b2-12-6,整理得b2=4+2,解得b=1+.2.(2020南昌高一检测)在ABC中,已知B=45,C=60,a=2(+1),则ABC的面积S=.【解析】A=180-45-60=75,=,=,所以b=4,S=absin C=6+2.答案:6+23.已知圆O的半径为,在它的内接ABC中,有2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B成立,求ABC面积S的最大值.【解析】因为ABC的外接圆的半径R=,由已知条件得(2R)2(sin2A-sin2C)=2Rsin B(a-b),所以a2-c2=ab-b2,所以cos C=,因为C(0,),所以C=,A+B=.所以S=absin C=ab=4R2sin Asin B=2sin Asin=2sin A=2(sin Acos A+sin2A)=2=sin+1.所以当2A-=,即A=时,面积S取得最大值+1.