1、第九节函数模型及其应用考点高考试题考查内容核心素养函数模型的应用未单独考查命题分析对函数的实际应用问题的考查多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力、函数综合应用能力，以解答题为主，分值12分.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型f(x)axnb(a
2、，b为常数，a0)(2)指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax提醒：(1)解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”)(2)在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案1判
3、断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x的函数值在(0，)上一定比yx2的函数值大()(2)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(4)幂函数增长比直线增长更快()(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.94
4、5.106.12y0.971.591.982.352.61A y2xBylog2xCy(x21)Dy2.61cos x解析：选B由表格知当x3时，y1.59，而A中y238，不合要求，B中ylog23(1,2)，C中y(321)4，不合要求，D中y2.61cos 30，不合要求，故选B3(2018湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：选B运输效率逐步提高的应是选
5、项B4(教材习题改编)一灯具商店发现，某种型号的台灯周销售量与每台的价格间近似地构成如图所示的关系图像，则要使商店收益最大，每台的价格应为()A5元B10元C15元D20分解析：选B设周销售额为y元素，销售每台的价格为x元，则y(402x)x2x240x(0x20)又y2x240x2(x10)2200，当x10时，y最大5某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为_解析：alog33100，a100，y100log39200.答案：200用函数图像刻画实际问题明技法判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1
6、)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案提能力【典例】 (2018邯郸检测)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图像是()解析：选D依题意知当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知，选D刷好题(金榜原创)某地一天内的气温Q(t)(单位：)与时刻t
7、(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段0，t内的温差(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图像表示，则正确的图像是()解析：选D当0t4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；当4t8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A， B，选D已知函数模型解决实际问题明技法利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图像，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题提能力【典例】 (2018贵阳检测)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模
8、的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a、b是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，
9、则有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位刷好题1(2018雅安质检)某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192 h，在22的保鲜时间是48 h，则该食品在33的保鲜时间是()A16 hB20 hC24 hD28 h解析：选C由题意，得(0,192)和(22,48)是函数yekxb图像上的两个点，则解得e11k.所以当储藏温度为33时，保鲜时间ye33kb(e11k)3eb19224(h)2(金
10、榜原创)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.解析：由图像可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.答案：19构建函数模型解决实际问题析考情高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题提能力命题点1：构建一次、二次、分段函数模型解决实际问题【典例1】 (2018铜陵模拟)已知华为公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另
11、投入16万美元设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解： (1)当0x40时，WxR(x)(16x40)6x2384x40，当x40时，WxR(x)(16x40)16x7 360. 所以，W(2)当0x40时，W6(x32)26 104.所以WmaxW(32)6 104；当x40时，W16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5 7
12、60.综合，当x32时，W取最大值为6 104万美元命题点2：构建“对勾”函数模型解决实际问题【典例2】 (2018抚州模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f
13、(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元命题点3：构建指数、对数函数模型解决实际问题【典例3】 (2018漳州模拟)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5%B1.6%C1.7%D1.8%解析：选C设每年人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以10为底的对数，则40 lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得
14、1x1.017，所以x1.7%.悟技法解函数应用题的一般程序第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性刷好题(金榜原创)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利B略有亏损C没有盈利也没有亏损D无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损