1、第2课时数量积的坐标表示1理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点)2能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式(重点)3能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点、难点)基础初探教材整理1平面向量数量积的坐标运算阅读教材P86“思考”以上内容，完成下列问题若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和1已知a(1，1)，b(2,3)，则ab_.【解析】a(1，1)，b(2,3)，ab1231.【答案】12已知a(2，x)，b(0,1)，若ab3，则x_
2、.【解析】a(2，x)，b(0,1)，abx3.【答案】3教材整理2向量的长度、夹角、垂直的坐标表示阅读教材P86“思考”P87“例2”以上部分内容，完成下列问题1向量的模：设a(x，y)，则a2x2y2，即|a|.2向量的夹角公式：设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为，则cos .特别地，若ab，则x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，则ab.1已知a(5,5)，b(0，3)，则|a|_，a与b的夹角为_【解析】ab15，|a|5，|b|3，cos ，又0，.【答案】52已知a(3,1)，b(x，5)，若ab，则x_.【解析】ab，ab0，3x50，x.【
3、答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型数量积的坐标运算已知a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c.【精彩点拨】先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解【自主解答】(1)ab123517.(2)ab(3,8)，2ab(4,11)，(ab)(2ab)1288100.(3)(ab)c17c(34,17)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进
4、行求解.再练一题1已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.【解】(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab122410，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)向量的夹角已知A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值【精彩点拨】先求，再代入向量夹角公式求BAC的余弦值【自主解答】(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公
5、式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.再练一题2已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为_【解析】ab10，(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos .又0，180，120.【答案】120探究共研型向量平行与垂直的综合应用探究1已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则其坐标间满足什么等量关系？ab呢？【提示】abx1y2x2y10；abx1x2y1y20.探究2在ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？【提示】设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及0可求点D的坐标，进而可求|.已知在ABC中，A(2
6、，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标 【导学号：06460063】【精彩点拨】设D(x，y)，由及0可求D，进而求|.【自主解答】设点D坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1)，(1,2)，|，即|，D(1,1)1向量的垂直问题主要借助于结论：abab0x1x2y1y20，把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中
7、有关垂直问题十分有效，应熟练掌握2两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆再练一题3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m与向量n的夹角的大小【解】(1)ab，3x360，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.构建体系1已知a(1,3)，b(2，1)，则a与b的夹角为_【解析】cos ，又0,2，.【答案】2已知a(4,7)，b(5，
8、2)，则|ab|_.【解析】因为ab(9,9)，所以|ab|9.【答案】93向量m(x5,1)，n(4，x)，mn，则x_.【解析】4(x5)x0，x4.【答案】44设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是_|a|b|；ab；ab与b垂直；ab.【解析】由题知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直【答案】5已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度 【导学号：06460064】【解】(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)则
9、1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x，y)，则(x1，y4)，从而有即C点的坐标为(0,5)(4,2)，|2，即矩形ABCD的对角线的长度为2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二十二)数量积的坐标表示(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1设a(1，2)，b(3,1)，c(1,1)，则(ab)(ac)等于_【解析】ab(4，1)，ac(2，3)，(ab)(ac)24(1)(3)11.【答案】112已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么ab的值为_【解析】依题意得ab(3，k2)，由ab与a共线
10、，得3k1(k2)0，解得k1，所以ab22k4.【答案】43(2016南通高一检测)已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为_. 【导学号：06460065】【解析】a(2,3)，b(4,7)，ab2(4)3713，|a|，|b|，cos ，a在b上的射影为|a|cos .【答案】4已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为_【解析】由于2ab(4,2)，则b(4,2)2a(2,0)，则ab2，|a|，|b|2.设向量a，b的夹角为，则cos .又0，所以.【答案】5(2016南京高一检测)已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量(1,2)，(3，m)若
11、AOB是直角三角形，则m_.【解析】在RtAOB中，(4，m2)，若OAB为直角时，0，可得m4；若AOB为直角时，0，可得m；若OBA为直角时，无解【答案】或46设a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，则实数t的值为_【解析】atb(4，3)t(2,1)(42t，t3)，(atb)b(42t)2(t3)15t5.|atb|.由(atb)b|atb|b|cos 45，得5t5，即t22t30，t3或t1，经检验t3不合题意，舍去t1.【答案】17已知a(4,2)，则与a垂直的单位向量b_.【解析】设b(x，y)，则由得或【答案】或8(2016盐城高一检测)已知向量a(1,2)，
12、b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.【解析】不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)又c(ab)，则有3mn0，m，n，c.【答案】二、解答题9已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值【解】(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.10已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为
13、钝角；(3)a与b的夹角为锐角【解】设a与b的夹角为，|a|，|b|，ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，即ab0且a与b不反向由ab0，得120，故0且cos 1，即ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向，得2，所以的取值范围为(2，)能力提升1(2016泰州高一检测)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.【解析】|a|b|1，a，b60，ab，|b|21，bctab(1t)b2t(1t)1t0，t2.【答案】22以原点O及点A(5,2)为顶
14、点作等腰直角三角形OAB，使A90，则的坐标为_【解析】设(x，y)，由|，得.由，得5x2y0联立，解得x2，y5或x2，y5.故(2,5)或(2，5)【答案】(2,5)或(2，5)3如图243，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_图243【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，x.又，x1，(1，2)，22.【答案】4已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对于(1)中求出的点C，求cosACB.【解】(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，设t，则(2t，t)(12t,7t)，(52t,1t)(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28.当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)当(4,2)时，(3,5)，(1，1)，所以|，|，8.所以cosACB.
