1、4简单线性规划4.1二元一次不等式(组)与平面区域学习目标1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).(数学抽象)2.了解二元一次不等式的几何意义.(直观想象)3.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.(直观想象)必备知识自主学习导思1.如何理解“以线定界,以点定域”?2.如何作出二元一次不等式(组)所表示的平面区域?1.二元一次不等式与平面区域(1)概念背景:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三部分,即自身和它的两侧.直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c0;直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐
2、标满足ax+by+c0所表示的平面区域,只需在直线ax+by+c=0的某一侧的平面区域内选取一个特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.(3)画法注意点:若把直线l:ax+by+c=0画成实线,表示平面区域包括这一边界直线;若把直线画成虚线,则表示平面区域不包括这一边界直线.如何判定二元一次不等式表示平面区域?提示:以线定界,以点(原点)定域(以ax+by+c0为例).(1)“以线定界”,即画二元一次方程ax+by+c=0表示的直线定边界,其中要注意实线或虚线;(2)“以点定域”,由于对在直线ax+by+c=0同侧的点,实数ax+by+c的值的符号都相
3、同,故为了确定ax+by+c的符号,可采用取特殊点,如取原点等.2.二元一次不等式组与平面区域的作图具体步骤如下:(1)画线画出不等式对应方程表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则画成虚线);(2)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;(3)求“交”在确定了各个不等式所表示的平面区域之后,再求这些区域的公共部分,该公共部分就是不等式组表示的平面区域.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)不等式yx表示直线y=x左上方的半平面(不含直线).()(2)直线x+y+1=0左下方的半平面(含直线)用不等
4、式x+y+10表示.()(3)点(2,4)在不等式x+2y0不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域.()(5)不等式Ax+By+C0与Ax+By+C0表示的平面区域是相同的.()提示:(1).因为直线y=x将坐标平面分为左上方和右下方两个半平面,不等式yx表示直线y=x左上方的半平面(不含直线),不等式y0,那么直线右上方的平面区域用不等式x+y+10表示(含直线),直线左下方的平面区域用不等式x+y+10表示(含直线).(3).由于2+24=101,所以点(2,4)不在不等式x+2y0表示直线x=右侧的平面区域.(5).不等式Ax+By+C0表示的平面区域不包含直线Ax+By+C=0上
5、的点,而Ax+By+C0表示的平面区域则包含直线Ax+By+C=0上的点.2.不等式3x+2y-60表示的平面区域是()【解析】选D.作出直线3x+2y-6=0,代入点(0,0)得3x+2y-6=-60成立,则点在不等式x-3y+60所表示的平面区域内.将点代入x-y+20不成立,则点不在不等式x-y+20所表示的平面区域内.所以不等式组,表示的平面区域(阴影部分)为下图.关键能力合作学习类型一二元一次不等式(组)与平面区域(直观想象)1.(2020西安高一检测)原点和点(1,1)在直线x+y=2a两侧,则a的取值范围是()A.a1B.0a1C.a=0或a=1D.0a1【解析】选B.直线方程一
6、般式为x+y-2a=0,而原点和点在直线x+y=2a两侧,则-2a(2-2a)0,解得0a1.2.(2020六安高一检测)(x+2y+1)(x-y+4)0表示的平面区域为()【解析】选B.由题得或先作出不等式对应的可行域,是选项B中上面的一部分;再作出对应的可行域,是选项B中下面的一部分.3.画出不等式组表示的平面区域.【解析】如图所示不等式表示直线x+y-1=0的上方(包括直线)的平面区域;不等式表示直线x-y=0下方(包括直线)的平面区域;不等式表示直线x=2左方(包括直线)的平面区域.所以,原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分).画二元一次不等式组表示的平面区域的一般步骤【补偿
7、训练】画出不等式组所表示的平面区域.【解析】先画出直线2x+y-4=0,由于含有等号,所以画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0,0),由于20+0-42y表示直线x=2y右下方的区域,不等式y0表示x轴及其上方的区域.取三个区域的公共部分,就是上述不等式组所表示的平面区域,如图所示.类型二二元一次不等式组表示平面区域的面积(数学运算)角度1求平面区域的面积【典例】(2020重庆高一检测)不等式组表示的平面区域的面积为.【思路导引】由题画出平面区域,进而求得面积即可.【解析】作出平面区域如图所示:所以面积S=32=3.答案:3(2020安阳高一检测)在平面直角坐标系中,不等式组表
8、示的平面区域的面积是.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平面区域为一个三角形及其内部,三个顶点的坐标分别为,所以平面区域的面积为S=1=.答案:角度2由平面区域的面积求参数值【典例】若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是()A.B.C.D.【思路导引】注意直线y=kx+平分平面图形的面积,由平面图形的形状以及直线过三角形的一个顶点,所以该直线还应过另一个边的中点.【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB的中点时,直线y=kx+能平分平面区域.因为A(1,1),B(0,4),所以AB的中点坐标为
9、.当y=kx+过点时,=+,所以k=.与平面区域有关的计算方法(1)画出不等式组表示的平面区域,并计算端点的坐标.(2)根据平面区域的形状特点,选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积,不规则的图形可用分割法求其面积.(3)注意转化思想方法的应用,如把最大、最小问题转化为两点间的距离,点到直线的距离等.1.不等式组所表示的平面区域的面积是.【解析】如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.由得A(1,3).同理得B(-1,1),C(3,-1).因为|AC|=2,而点B到直线2x+y-5=0的距离为d=,所以SABC=|AC|d=2=6.答案:62.(2020泸州高一检测)不等式组表
10、示的平面区域的面积为()A.36B.36C.72D.72【解析】选A.不等式组表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分,联立解得可得点A,同理可得B,C,=12,点A到直线x=3的距离为d=6,ABC的面积为SABC=d=126=36.因此不等式组表示的平面区域的面积为36.3.(2020九江高一检测)已知不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的取值范围为()A.1B.-1C.0D.-2【解析】选A.作不等式组所表示的可行域如图所示,由于直线x=1与直线x+y-4=0不垂直,因此直线kx-y=0与直线x=1或直线x+y-4=0垂直.若直线kx-y=0与直线x=1垂直,则k=0,直
11、线kx-y=0为x轴,此时可行域为腰长为3的等腰直角三角形,此时三角形的面积为;若直线kx-y=0与直线x+y-4=0垂直,则k=1,此时,直线x-y=0与直线x=1与直线x+y-4=0分别交于点与点,则可行域是腰长为的等腰直角三角形,此时可行域的面积为=1.【补偿训练】 (2020焦作高一检测)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的部分区域的面积为()A.1B.1.5C.0.75D.1.75【解析】选D.如图,不等式组表示的平面区域是AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1,知ADC是斜边为3的等腰直角三角形,EOC
12、是直角边为1的等腰直角三角形,所求区域的面积为S阴影=SADC-SEOC=3-11=1.75.类型三用二元一次不等式组表示实际问题(数学建模)【典例】某人上午7:00乘汽车以v1千米/时(30v1100)匀速从A地出发到距离300 km的B地,在B地不停留,然后骑摩托车以v2千米/时(4v220)匀速从B地出发到距离50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x,y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x,y的范围阴影部分如图表示正确的是()【思路导引】先将实际问题,转化为二元一次不等式与平面区域问题,再画出图形即可得出答案.【解析】选B.由
13、题可得,v1=,v2=.所以即作图得B.平面区域表示实际问题相关量取值范围的基本方法(1)用字母表示量:根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量,用字母表示.(2)用不等式表示不等关系:把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.(3)用区域表示不等式(组):把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.某厂使用两种零件A,B装配甲、乙两种产品,该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件,每月生产乙产品最多1 200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙产品需要6个A,8个B.某月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个,用不等式将甲、乙两种产品产量之间
14、的关系表示出来,并画出相应的平面区域.【解析】设甲、乙两种产品产量分别为x,y件,由题意得二元一次不等式组在平面直角坐标系中,画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.课堂检测素养达标1.已知点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,则m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-1,+)D.(-,2)【解析】选A.若点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,将两点分别代入直线方程中,则0,即0,所以-2m0,于是2x-y+20表示直线2x-y+2=0右下方的平面区域,再结合所给图形,可知C符合.3.(教材二次开发:习题改编)直角坐标系内的一动点,运动时该点坐标满足不等式xy,则这个动点的运动区域(用阴影表示)是()【解析】选A.由题意可知,xx+5,即5x-2y+100.答案:5x-2y+1005.在平面直角坐标系中,求不等式组表示的平面区域面积.【解析】如图所示,不等式组表示的平面区域为ABC边界及其内部的部分.由可得A(1,5),同理可得B(-2,2),C(1,-1),故AC=6,ABC中AC边上的高h=3,所以SABC=ACh=9.
