1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在120，130内的学生人数为（）A20B25C30D352二项式的展开式中x的系数为（）A5B10C20D403从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A100B110C120D1804将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）
2、ABCD5已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.156某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元
3、）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元7右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD8已知随机变量X服从正态分布N（，2），且P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，若=4，=1，则P（5X6）=（）A0.1358B0.1359C0.2716D0.27189从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是（）A
4、9B10C18D2010（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A40B20C20D4011某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A84B88C114D11812已知O点为ABC所在平面内一点，且满足+2+3=，现将一粒质点随机撒在ABC内，若质点落在AOC的概率为（）ABCD二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=14将2名教师，4名学生分成
5、两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有种15若（x2+1）（x2）9=a0+a1x+a2x2+a11x11，则a1+a2+a3+a11的值为16一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数（）可以组成多少个不同的四位数？（）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？
6、18随机变量X的分布列为X10123P0.16a20.3（）求a的值；（）求E（X）；（）若Y=2X3，求E（Y）19甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E（注：样本数据x1，x2，xn的方差s2= +，其中表示样本均值）20“特罗卡”是靶向治疗肺癌的一种药物，为了研究其疗效，医疗专家借助一些肺癌患者，进行人体试验，得到如右丢失一些数据的22列联表：疫苗效果试验列
7、感染未感染总计没服用203050服用Xy50总计MN100设从没服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为；从服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为，研究人员曾计算过得出：P（=0）=P（=0）（I）求出列联表中数据x，y，M，N的值（）能否有97.5%的把握认为该药物对治疗肺癌有疗效吗？P（K2k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2=21深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数
8、为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率22请先阅读：在等式cos2x=2cos2x1（xR）的两边求导，得：（cos2x）=（2cos2x1），由求导法则，得（sin2x）2=4cosx（sinx），化简得等式：sin2x=2cosxsinx（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn（xR，正整数n2），证明：（2）对于正整数n3，求证：（i）；（ii）；（iii）2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分在每小题给
9、出的四个选项中，只有一项符合题目要求1从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在120，130内的学生人数为（）A20B25C30D35【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数【解答】解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）10=1，解得a=0.03身高在120，130内的学生人数在样本的频率为0.0310=0.3故身高在120，130内的学生人数为0.3100=
10、30故选C2二项式的展开式中x的系数为（）A5B10C20D40【考点】二项式定理的应用【分析】先求出二项式的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数【解答】解：二项式的展开式的通项为Tr+1=C5rx2（5r）xr=C5rx103r；令103r=1解得r=3二项式的展开式中x的系数为C53=10故选B3从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A100B110C120D180【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，从反面分析，分别求得“10人中任选3人的组队方案”与“没有女生的方案”的方法数，进而由“没有女生的方案
11、”与“至少有一名女生入选的组队方案”互为对立，计算可得答案【解答】解：10人中任选3人的组队方案有C103=120，没有女生的方案有C53=10，所以符合要求的组队方案数为110种；故选B4将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）ABCD【考点】等可能事件的概率；排列数公式的推导【分析】首先用分步乘法计数原理，分析可得，将5本不同的书全发给4名同学的情况总数，再根据排列组合公式，可得每名同学至少有一本书的分法数，由概率的计算方法可得答案【解答】解：将5本不同的书全发给4名同学共有44444=45种分法，其中每名同学至少有一本书的分法有C52A44，故每名同学至少有一本书的
12、概率是P=，故选A5已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.15【考点】模拟方法估计概率【分析】由题意知模拟三次投篮
13、的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随机数，所求概率为=0.25故选B6某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元【考点】线性回归方程【分
14、析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果【解答】解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故选：B7右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不
15、超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=88.4+当X=8或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1=故选C8已知随机变量X服从正态分布N（，2），且P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，若=4，=1，则P（5X6）=（）A0.1358B0.1359C0.2716D0.2718【考点】正态分布曲线的特点及曲
16、线所表示的意义【分析】根据变量符合正态分布，和所给的和的值，根据3原则，得到P（2X6）=0.9544，P（3X5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（，2），P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，=4，=1，P（2X6）=0.9544，P（3X5）=0.6826，P（2X6P（3X5）=0.95440.6826=0.2718，P（5X6）=0.1359故选B9从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是（）A9B10C18D20【考点】排列、组合及简单计数问题【分析
17、】因为lgalgb=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是：202=18故选C10（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A40B20C20D40【考点】二项式系数的性质【分析】
18、由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x）5故其常数项为22C53+23C52=40故选：D11某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A84B88C114D118【考点】计数原理的应用【分析】利用间接法，先求出没有限制条件的选择方法，再排除2门没有选的，1门没有的选的种数，问题得以解决【解答】解：每个学生必须选4门中其中的2门有=216=216种，其中4门课程中有2门没人选的有=6种，4门
19、课程中有1门没人选的有4（3）=96，故符合题意的有216696=114，故选C12已知O点为ABC所在平面内一点，且满足+2+3=，现将一粒质点随机撒在ABC内，若质点落在AOC的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】要求该概率即求SAOC：SABC=的比值由+2+3=，变形为，3，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率【解答】解：以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，则+2+3=，3，作AB的两个三等分点E，F，则，O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图SAOC=SABC将一粒
20、黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在AOC内的概率为P=；故选：B二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30【考点】分层抽样方法【分析】学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人【解答】解：学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，n=30，故答案为：3014将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名
21、教师2名学生组成，不同的安排方案共有12种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】不妨设2名教师为A，B，利用分步计数原理即可求得不同的安排方案种数【解答】解：设2名教师为A，B，第一步，先分组，与A同组的2名学生公有种，另两名学生与B同组有种方法，第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有种方法，由分步计数原理可得，共有=12种，故答案为：1215若（x2+1）（x2）9=a0+a1x+a2x2+a11x11，则a1+a2+a3+a11的值为510【考点】二项式系数的性质【分析】用赋值法，在所给的等式中，分别令x=0和1，即可求出对应的值【解答】解：在（x2+1）（x2）9=a0+a1x
22、+a2x2+a11x11中，令x=0，得（0+1）（02）9=a0，即a0=512；令x=1，得（1+1）（12）9=a0+a1+a2+a11=2，a1+a2+a3+a11=2（512）=510故答案为：51016一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=2【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望E（X）【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2
23、 3 PE（X）=2故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数（）可以组成多少个不同的四位数？（）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？【考点】计数原理的应用【分析】（）用间接法，先分析从6个数中，任取4个组成4位数的情况数目，再计算其中包含0在首位的情况数目，计算可得答案；（）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意（）按四位数从小到
24、大的顺序，先计算千位是1的四位数的数目，再计算千位是2，百位是0或1的四位数的数目，与85比较可得答案【解答】解：（1）用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A64种情况，但其中包含0在首位的有A53种情况，依题意可得，有A64A53=300个，（）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意，故有A51C53A22=100个，（）千位是1的四位数有A53=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A42=24个，第85项是230118随机变量X的分布列为X10123P0.16a20.3（）求a的值；（）
25、求E（X）；（）若Y=2X3，求E（Y）【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（）根据概率和为1，列出方程即可求出a的值；（）根据X的分布列，即可计算数学期望值E（X）；（）根据随机变量的数学期望计算公式，计算E（Y）=E（2X3）=2E（X）3【解答】解：（）根据题意得，0.16+a2+0.3=1，整理得50a2+15a27=0，解得a=0.6或a=0.9（不合题意，舍去），所以a的值为0.6；（）根据X的分布列，得E（X）=10.16+0+10.62+2+30.3=1.34；（）当Y=2X3时，E（Y）=E（2X3）=2E（X）3=21.343=0.3219甲、乙两名同学在5次英语口语
26、测试中的成绩统计如图的茎叶图所示（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E（注：样本数据x1，x2，xn的方差s2= +，其中表示样本均值）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】（1）根据茎叶图的数据，利用平均数及方差公式，即可求得结论；（2）求得取值及（3，），求出相应概率，可得的分布列，从而可求数学期望E【解答】解：（1）=86，=86，=37.6，=42.4，因为，所
27、以派甲去更合适（2）甲高于80分的频率为，从而每次成绩高于80分的概率P=，取值为0，1，2，3，（3，），直接计算得P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=，的分布列为0123P所以，E=0+1+2+3=，20“特罗卡”是靶向治疗肺癌的一种药物，为了研究其疗效，医疗专家借助一些肺癌患者，进行人体试验，得到如右丢失一些数据的22列联表：疫苗效果试验列感染未感染总计没服用203050服用Xy50总计MN100设从没服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为；从服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为，研究人员曾计算过得出：P（=0）=P（=0）（I）求出列联表中数据x，y，M
28、，N的值（）能否有97.5%的把握认为该药物对治疗肺癌有疗效吗？P（K2k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2=【考点】独立性检验的应用【分析】（）依题意， =，由此能求出求出列联表中数据x，y，M，N的值（2）由题意求出K24.765.024，从而可知不能够以97.5%的把握认为对治疗肺癌有疗效【解答】解：（）依题意，P（=0）=，P（=0）=，=，解得x=10，y=40，M=30，N=70（2）由题意K2=4.76由参考数据，3.841K25.024，从而可知不能够以97.5%的把握认为对治疗肺癌有疗效21深圳市某校中学生篮球队假期集
29、训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论【解答
30、】解：（1）的所有可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即=i）”为事件Ai（i=0，1，2）因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（=0）=；P（A1）=P（=1）=；P（A2）=P（=2）=，所以的分布列为012P的数学期望为E=0+1+2=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=+=22请先阅读：在等式cos2x=2cos2x1（xR）的两边求导
31、，得：（cos2x）=（2cos2x1），由求导法则，得（sin2x）2=4cosx（sinx），化简得等式：sin2x=2cosxsinx（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn（xR，正整数n2），证明：（2）对于正整数n3，求证：（i）；（ii）；（iii）【考点】微积分基本定理；二项式定理；类比推理【分析】（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式（2）（i）对（1）中的x 赋值1，整理得到恒等式（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值1化简即得证（iii）对二项式定理的两边求定积
32、分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式【解答】证明：（1）在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n1=Cn1+2Cn2x+（n1）Cnn1xn2+nCnnxn1移项得（*）（2）（i）在（*）式中，令x=1，整理得所以（ii）由（1）知n（1+x）n1=Cn1+2Cn2x+（n1）Cnn1xn2+nCnnxn1，n3两边对x求导，得n（n1）（1+x）n2=2Cn2+32Cn3x+n（n1）Cnnxn2在上式中，令x=1，得0=2Cn2+32Cn3（1）+n（n1）Cn2（1）n2即，亦即（1）又由（i）知（2）由（1）+（2）得（iii）将等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn两边在0，1上对x积分由微积分基本定理，得所以2016年8月2日高考资源网版权所有，侵权必究！