1、3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离目标定位 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.自 主 预 习1.点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.(2)公式：点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2.2.两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.(2)公式：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 之间的距离d|C1C2|A2B2.即 时 自 测1
2、.判断题(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.()(2)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 dy0；到 y 轴的距离 dx0.()(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离.()(4)运用两平行线间的距离公式时，要求的 l1 与 l2 两直线中 x，y 的系数必须分别对应相等.()提示(2)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d|y0|；到 y 轴的距离 d|x0|.2.点(1，1)到直线 xy10 的距离是()A.3 22B.22C.32D.12解析 d|111|12（1）23 22.答案 A3.两条平行直线 xy20 与 xy30 的距离等于()
3、A.52 2B.22C.5 2D.2解析 d|2（3）|12125 22.故选 A.答案 A4.点 P(m，1)到直线 l：2xy10 的距离 d1，则实数 m 的值等于_.解析 由已知|2m11|2212 1，即|m|52，m 52.答案 52类型一 点到直线的距离【例 1】求点 P(3，2)到下列直线的距离：(1)y34x14；(2)y6；(3)x4.解(1)把方程 y34x14写成 3x4y10，由点到直线的距离公式得 d|334（2）1|32（4）2185.(2)法一 把方程 y6 写成 0 xy60，由点到直线的距离公式得 d|03（2）6|02128.法二 因为直线 y6 平行于
4、x 轴，所以 d|6(2)|8.(3)因为直线 x4 平行于 y 轴，所以 d|43|1.规律方法 1.求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式.2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.3.几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点 P0(x0，y0)到直线 ya 的距离 d|y0a|；(2)点 P0(x0，y0)到直线 xb 的距离 d|x0b|.【训练 1】若点(a，2)到直线 l：yx3 的距离是 1，则a_.解析 直线 l：yx3 可变形为 xy30.由点(a，2)到直线 l 的距离为 1，得|a23|1
5、（1）21，解得 a5 2.答案 5 2类型二 两平行线间的距离【例 2】求两平行线 l1：2xy10 与 l2：4x2y30 之间的距离.解 法一 在直线 l1：2xy10 上任取一点，不妨取点 P(0，1)，则点 P 到直线 l2：4x2y30 的距离为d|40（2）（1）3|42（2）2 52.l1 与 l2 间的距离为 52.法二 将直线 l2 的方程化为：2xy320.又 l1 的方程为：2xy10，C11，C232，又 A2，B1，由两平行直线间的距离公式得：d13222（1）2 52.规律方法 1.针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为
6、求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两条平行直线间距离公式 d|C1C2|A2B2.2.当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决.(1)两直线都与 x 轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则 d|x2x1|；(2)两直线都与 y 轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则 d|y2y1|.【训练 2】求与直线 l：5x12y60 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程.解 与 l 平行的直线方程为 5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得|b6|52（12）23，解得 b45 或 b33.所求直线方程为：5x12y450或 5x12y330.类型三
7、 距离公式的综合应用(互动探究)【例 3】已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点.(1)若点 A(5，0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5，0)到 l 的距离的最大值.思路探究探究点一 经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有几条？求直线方程时需注意什么？提示 有且仅有两条，在解决直线方程的问题时，要注意直线斜率是否存在，以免漏解或错解.探究点二 如何求几何最值问题？提示 几何最值问题的求法有两种：(1)利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解.(2)利用几何定理，如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等，找出最值.解 法
8、一 联立2xy50，x2y0得交点 P(2，1)，当直线斜率存在时，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy12k0，|5k12k|k213，解得 k43，l 的方程为 y143(x2)，即 4x3y50.而直线斜率不存在时直线 x2 也符合题意，故所求 l 的方程为 4x3y50 或 x2.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，|5（2）5|（2）2（12）23，即 22520，解得 2 或12，l 的方程为 4x3y50 或 x2.(2)由2xy50，x2y0，解得交点 P(2，1)，过 P 任意作直线 l，设 d 为 A 到 l 的
9、距离，则 d|PA|(当 lPA 时等号成立)，dmax|PA|10.规律方法 1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条.一定要注意直线斜率是否存在.2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.【训练 3】两条互相平行的直线分别过点 A(6，2)和 B(3，1)，如果两条平行直线间的距离为 d，求：(1)d 的变化范围；(2)当 d 取最大值时，两条直线的方程.解(1)如图，当两条平行直线与 AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为 d|AB|（63）2（21）23 10，当两条平行
10、线各自绕点 B，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于 0，所以 07 B.a7 或 a7 或3a3，解得 a7 或 a3.答案 C3.已知两点 A(3，2)和 B(1，4)到直线 mxy30 的距离相等，则 m 等于()A.0 或12B.12或6C.12或12D.0 或12解析 由题意知直线 mxy30 与 AB 平行或过线段 AB 的中点，则有m4213或 m312 242 30，所以 m12或 m6.答案 B4.倾斜角为 60，且与原点的距离是 5 的直线方程为_.解析 因为直线斜率为 tan 60 3，可设直线方程为 y 3xb，化为一般式得 3xyb0.由直线与原点距离为 5，
11、得|00b|（3）2（1）25|b|10.所以 b10.所以直线方程为 3xy100 或 3xy100.答案 3xy100 或 3xy1005.若点 P 在直线 xy40 上，O 为原点，则|OP|的最小值是_.解析|OP|的最小值，即为点 O 到直线 xy40 的距离.d|004|1212 2 2.答案 2 26.直线 l 过原点，且点(2，1)到 l 的距离为 1，求 l 的方程.解 由题意可知，直线 l 的斜率一定存在.又直线 l 过原点，设其方程为 ykx，即 kxy0.由点(2，1)到 l 的距离为 1，得|2k1|k211.解得 k0 或 k43.直线 l 的方程为 y0 或 4x
12、3y0.7.求直线 3xy40 关于点 P(2，1)对称的直线 l 的方程.解 法一 设直线 l 上任一点为 M(x，y)，则此点关于点 P(2，1)的对称点为M1(4x，2y)，且 M1 在直线 3xy40 上，所以 3(4x)(2y)40，即 3xy100，所以所求直线 l 的方程为 3xy100.法二 在直线 3xy40 上任取两点 A(0，4)，B(1，1)，则点 A(0，4)关于点 P(2，1)的对称点为 A1(4，2)，点 B(1，1)关于点 P(2，1)对称点为B1(3，1)，由两点式方程，可得直线 l 的方程为 3xy100.法三 直线 l 与已知直线平行，可设 l 的方程为
13、3xym0，点 P(2，1)到直线 3xy40 的距离 d 310，由于点 P(2，1)到两直线距离相等，所以|7m|10 310，解得 m10 或 m4(舍去)，所以直线 l 的方程为 3xy100.能 力 提 升8.已知直线 l 过点 P(3，4)且与点 A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为()A.2x3y180B.2xy20C.3x2y180 或 x2y20D.2x3y180 或 2xy20解析 设所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0，由已知，得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或 k23.所求直线 l 的方程为 2xy20 或 2x3y
14、180.答案 D9.两平行线分别经过点 A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离 d 满足的条件是()A.0d5 B.0d13C.0d12 D.5d12解析 当两平行线与 AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以0d13.答案 B10.若直线的被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为2 2，则 m 的倾斜角可以是15，30，45，60，75，其中正确答案的序号是_.(写出所有正确答案的序号)解析 两平行线间的距离为 d|31|11 2，由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30，l1 的倾斜角为 45，所以直线 m 的倾斜角等于 304575或 45
15、3015.答案 11.已知点 P(a，b)在线段 AB 上运动，其中 A(1，0)，B(0，1).试求(a2)2(b2)2 的取值范围.解 由(a2)2(b2)2 联想两点间距离公式，设 Q(2，2)，又 P(a，b)则|PQ|（a2）2（b2）2，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值.如图所示：当 P 与 A 或 B 重合时，|PQ|取得最大值：（21）2（20）2 13.当 PQAB 时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为 Q 点到直线 AB 的距离，由 A、B两点坐标可得直线 AB 的方程为 xy10.则 Q 点到直线 AB 的距离 d|2（2）1|1212 525 22，252(a2)
16、2(b2)213.探 究 创 新12.已知直线 l：3xy10 及点 A(4，1)，B(0，4)，C(2，0).(1)试在 l 上求一点 P，使|AP|CP|最小；(2)试在 l 上求一点 Q，使|AQ|BQ|最大.解(1)如图，设点 C 关于 l 的对称点为 C(a，b)，则b0a213，且 3a22 b0210，解得 C(1，1)，所以直线 AC的方程为 y1.由y1，3xy10得 l 与直线 AC的交点 P23，1，此时|AP|CP|取最小值为 5.(2)如图，设点 B 关于 l 的对称点为 B(m，n)，则n4m013，且 3m02n4210，解得 B(3，3)，所以直线 AB的方程为 2xy90，由2xy90，3xy10得 AB与 l 的交点 Q(2，5)，此时|AQ|BQ|取最大值为 5.
