1、1.1.2弧度制1了解弧度制2会进行弧度与角度的互化(重点、难点)3掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式(难点、易错点)基础初探教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题1角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制2弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度()【答案】(1)(2)(3)教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教
2、材P8的全部内容，完成下列问题1角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度3602rad2 rad360180rad rad1801rad0.017 45 rad1 rad度57.302.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0130456090弧度0角度120135150180270360弧度23.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)_；(2)_；(3)120_rad；(4)210_rad.【解析】(1)180108；(2)18030；(3)120120；(4)210210.【答案】(1)108(2)30(3)(4)教材整理3扇形的弧长
3、公式及面积公式阅读教材P9的全部内容，完成下列问题1弧度制下的弧长公式：如图117，l是圆心角所对的弧长，r是半径，则圆心角的弧度数的绝对值是|，弧长l|r.特别地，当r1时，弧长l|.图1172扇形面积公式：在弧度制中，若|2，则半径为r，圆心角为的扇形的面积为Sr2lr.若扇形的圆心角为，半径r1，则该扇形的弧长为_，面积为_【解析】，r1，弧长lr1，面积Slr1.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型角度制与弧度制的互化把下列弧度化成角度或角度化成弧度；(1)450；(2)；(3)；(4)11230.
4、【精彩点拨】利用“180”实现角度与弧度的互化【自主解答】(1)450450 rad rad；(2) rad18；(3) rad240；(4)11230112.5112.5 rad rad.角度制与弧度制换算的要点： 再练一题1把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).【解】(1)7272 rad rad；(2)300300 rad rad；(3)2 rad2114.60；(4) rad40.用弧度制表示角的集合用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图118所示). 【导学号：06460003】图118
5、【精彩点拨】先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合【自主解答】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)，(2)，(3).表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“2k(kZ)”中，必须是用弧度制表示的角，在“k360，(kZ)”中，必须是用角度制表示的角.再练一题2如图119，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)图119【解】(1)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)，所以阴影部分内的角的集合为.(2)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ
6、)不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1，M22k2k，kZ.所以阴影部分内的角的集合为M1M22k或2k2k，kZ.探究共研型扇形的弧长及面积问题探究1公式l|r中，“”可以为角度制角吗？【提示】公式l|r中，“”必须为弧度制角探究2在扇形的弧长l，半径r，圆心角，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明【提示】已知任意两个量可求其余两个量，如已知，r，可利用l|r，求l，进而求Slr；又如已知S，可利用S|r2，求r，进而求l|r.一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【精彩点拨】【自主解答】设扇形的圆心角为，
7、半径为r，弧长为l，则lr，依题意l2r20，即r2r20，.由l202r0及r0得0r10，S扇形r2r2(10r)r(r5)225(0r10)当r5时，扇形面积最大为S25.此时l10，2，故当扇形半径r5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.再练一题3已知扇形OAB的圆心角为120，半径为6，求扇形的弧长和面积【解】120.又r6，弧长lr64.面积Slr4612.构建体系1将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(
8、1)_；(2)_；(3)920_；(4)72_.【解析】(1)18024.(2)180216.(3)920920 rad.(4)7272 rad.【答案】(1)24(2)216(3) rad(4) rad2(2016北京高一检测)半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为_【解析】Slrr2424.【答案】43圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的_倍【解析】设圆最初半径为r1，圆心角为1，弧长为l，圆变化后的半径为r2，圆心角为2，则1，2.又r23r1，.【答案】4用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_【解析】若角的终边落在x轴的上
9、方，则2k2k，kZ.【答案】5设1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在720，0)范围内找出与它们终边相同的所有角 【导学号：06460004】【解】(1)180 rad，157057022，275075022.1的终边在第二象限，2的终边在第一象限(2)1108，设108k360(kZ)，则由7200，即720108k3600，得k2，或k1.故在720，0)范围内，与1终边相同的角是612和252.260，设60k360(kZ)，则由72060k3600，得k1，或k0.故在720，0)范围内，与2
10、终边相同的角是420.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)弧度制(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1下列命题中，是假命题的序号为_“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；1的角是周角的，1 rad的角是周角的；1 rad的角比1的角要大；用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】正确，错误，角的大小与圆的半径无关【答案】2下列各式正确的是_270；405；335；705.【解析】270270；405405；335335；705705.故正确【答案】3下列表示中不正确的是_终边在x轴上的角的集合是|k，kZ；终边在y轴上的角的集合是；终边
11、在坐标轴上的角的集合是；终边在直线yx上的角的集合是2k，kZ.【解析】错误，终边在直线yx上的角的集合是.【答案】4(2016南通高一检测)如图1110所示，图中公路弯道处的弧长l_(精确到1 m)图1110【解析】根据弧长公式，lr4547(m)【答案】47 m5(2016泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm，面积为2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_【解析】设圆心角为，半径为r，弧长为l，则解得r1，l4或r2，l2，1或4.【答案】1或46已知角的终边与的终边相同，在0,2)内终边与角的终边相同的角为_. 【导学号：06460005】【解析】由题意得2k(kZ)，故(kZ)，又02
12、，所以当k0,1,2时，有，满足题意【答案】，7(2016扬州高一检测)如图1111，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是_图1111【解析】4040，3030，Sr2r2.【答案】8(2016镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为_【解析】设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为.【答案】二、解答题9已知2 000.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式(2)与的终边相同，且(4，6)求.【解】(1)2 000536020010.(2)与的终边相同，故2k，kZ，又(4，6)，所以k2时，4.10如图1112所
13、示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合图1112【解】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成故满足条件的角的集合为.(2)若将终边为OA的一个角改写为，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为2k，kZ.(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转 rad而得到，所以满足条件的角的集合为.(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转 rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.能力提升1(2016泰州高一检测)已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声
14、响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是_【解析】8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是4.【答案】2若角的终边与的终边关于直线yx对称，且(4，4)，则_.【解析】与终边相同的角的集合为.(4，4)，42k4，化简得：k，kZ，k2，1,0,1，.【答案】，3已知集合Ax|2kx2k，kZ，集合Bx|4x4，则AB_.【解析】如图所示，AB4，0，【答案】4，0，4用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，l302r，从而Slr(302r)rr215r2.又r0，且l302r0，0r15，当半径r cm时，l30215(cm)，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad，当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，最大面积为 cm2.