1、提能拔高限时训练26 不等式性质、算术平均数与几何平均数一、选择题1.“a+b2c”的一个充分非必要条件是（ ）A.ac或bc B.ac且bcC.ac且bc D.ac或bc解析：由不等式基本性质，知ac且bca+b2c,C项是a+b2c的充分非必要条件.答案：C2.若ab0,下列不等式不成立的是（ ）A. B. C.|a|b| D.a2b2解析：方法一:(特殊值法)令a=-2,b=-1,则,故选B.方法二:(排除法)ab0,ab0-a-b0|a|b|,ab0-a-b0a2b2.故知不成立的是B.方法三:(应用不等式性质)ab0,a-b0.-b0,a-ba.又(a-b)a0,.答案：B3.若a,
2、bR，则使|a|+|b|1成立的一个充分不必要条件是（ ）A.|a+b|1 B.|a|且|b|C.b-1 D.a1解析：对于A,取,则|a+b|=1,但|a|+|b|=1,|a+b|1|a|+|b|1.同理|a|且|b|a|+|b|1.而b-1,则|b|1,|a|+|b|1;但反过来不成立.而在D中,取a=1,b=0,则可知a1|a|+|b|1.故选择C.答案：C4.0a1,G=1+a,那么F、G、H中最小的是（ ）A.F B.G C.H D.不能确定解析：直接法:易证HGF.间接法:取,得三者的大小关系.答案：A5.若|x-a|m,|y-a|n,则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|2
3、m B.|x-y|2nC.|x-y|n-m D.|x-y|m+n解析：由绝对值不等式的性质可得|x-y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|y-a|m+n.答案：D6.如果a0,b0,那么,下列不等式中正确的是（ ）A. B. C.a2b2 D.|a|b|解析：a0,b0,.答案：A7.若a,b,x,yR,则是成立的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：若则由同向不等式相加、相乘运算性质,得即故充分性成立.若由式知,x-a与y-b同号,又由式得(x-a)+(y-b)0,x-a0,y-b0,即xa且yb,故必要性也成立.答案：C8.对于0a1
4、,给出下列四个不等式:loga(1+a);loga(1+a);a1+a;a1+a.其中成立的是（ ）A. B. C. D.解析：0a1,1a,11+a.y=logax与y=ax在各自定义域内都单调递减,loga(1+a),a1+a.不对,正确.答案：D9.已知a,b都是负实数,则的最小值是（ ）A. B. C. D.解析：令m=a+2b0,n=a+b0,由此解得a=2n-m,b=m-n,故的最小值是.答案：B10.若x、y是正数,则的最小值是（ ）A.3 B. C.4 D.解析：又,当且仅当时等号成立,即时，的最小值为4.答案：C二、填空题11.设a、b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+
5、b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是_.解析：中a取，b取时,a+b1,但a、b均不大于1，所以不能推出“a、b中至少有一个数大于1”.中a=b=1时满足a+b=2,而不满足a、b中至少有一个数大于1的条件,所以不符合条件.中不妨设ab,则有2aa+b2,a1.符合条件.中取a=-2,b=-1,则a2+b2=52,但a1,b1,所以不符合条件.中取a=-2,b=-1,则ab=21,但a1,b1,不符合条件.故填.答案：12.如果0abcde,则把变量_的值增加1会使S的值增加最大.(填入a,b,c,d,e中的某个字母)解析：经分析可知,只有将
6、a、c增大,才能使S增大.若a增加1,则,若c增加1,则.又0bd,则,S1S2.答案：a13.设a0,a1,函数有最大值,则不等式loga(x2-5x+7)0的解集为_.解析：要使有最大值,则0a1,所以loga(x2-5x+7)0,即,解得2x3.答案：x|2x314.如图，某药店有一架不准确的天平（其两臂长不相等）和一个10克的砝码.一个患者想要买20克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者;然后又将砝码放在右盘中,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者一次实际购买的药量为m(克),则m_20克.(请选择填“”“=”或“”)解析：设两次售货员分别在盘中
7、放置m1克、m2克药品，则由得100ab=m1m2ab,m1m2=100,m1m2,m=m1+m2.答案：三、解答题15.(1)求函数(x-1)的最小值.(2)已知x0,y0,且3x+4y=12.求lgx+lgy的最大值及相应的x,y的值.解：(1)x-1,x+10.当且仅当,即x=1时,“=”成立.当x=1时,函数(x-1)的最小值为9.(2)x0,y0,且3x+4y=12,.lgx+lgy=lgxylg3.当且仅当3x=4y=6,即x=2,时“=”成立.当x=2,时,lgx+lgy取最大值lg3.16.设xR,比较与1-x的大小.解：.当x=0时,即,.当1+x0,即x-1时,1-x.当1
8、+x0,且x0,即-1x0或x0时,0,1-x.综上,当x=0时,;当x-1时,1-x;当-1x0或x0时,1-x.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架如右图所示,要求ACB=60,BC长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC长度为多少米?解：设BC=a(a1),AB=c,AC=b,.c2a2+b2-2abcos60,将代入,得,化简,得.a1,a-10.当且仅当时,取“=”，即时，b有最小值.【例2】已知a、b是正常数，a+b=10，又x、yR+,且,x+y的最小值为18.求a、b的值.解：.当且仅当时取等号.由解得当x=6,y=12时,x+y的最小值为18.同理,.由得或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m