1、章末综合检测(二)学生用书单独成册(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，bBa，bCa，b Da，b解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则Ab，过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.2已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A30 B60C90 D120解析：选B.易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中
2、，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是()解析：选B.分别考虑该六边形在左、右侧面，前、后侧面及上、下底面上的投影，即可发现选项B正好是上、下底面上的投影4在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()解析：选A.A中，因为CD平面AMB，所以CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与CD成45角；D中，AB与CD夹角的正切值为.5如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A平行B相交C异面D相交成60解析：选D.如图所示，ABC为正三角形，故AB，CD相交成60.
3、6如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为()A90 B45C60 D30解析：选D.取BC的中点H，连接EH，FH，则EFH为所求，可证EFH为直角三角形，EHEF，FH2，EH1，从而可得EFH30.7若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1
4、l4，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.8已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. BC. D解析：选C.如图，作DEBC于点E，由l为直二面角，ACl，得AC，进而ACDE，又BCDE，BCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离在RtBCD中，利用等面积法得DE.9在矩形ABCD中，若AB3，BC4，PA平面AC，且PA1，则点P到对角线BD的距离为()A. BC. D解析：选B.如图，过点A作AEBD于点E，连接PE.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以P
5、ABD，又PAAEA，所以BD平面PAE，所以BDPE.因为AE，PA1，所以PE.10在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120解析：选C.如图所示，由ABBC1，ABC90，得AC.因为M为AC的中点，所以MCAM，且CMBM，AMBM，所以CMA为二面角CBMA的平面角因为AC1，MCAM，所以CMA90.11已知P是ABC外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，PA1 cm，PB2 cm，PC3 cm，则ABC的面积为()A. B4C. D5解析：选A.如图，作PDAB于点D，连接
6、CD.因为PCPA，PCPB，PAPBP，所以PC平面PAB，则PCAB，PCPD，又ABPD，PCPDP，所以AB平面PCD，则ABCD.在RtPAB中，PA1 cm，PB2 cm，则AB cm，PD cm.在RtPCD中，PC3 cm，则CD(cm)所以SABCABCD(cm2)12动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于点M，N.设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()解析：选B.取AA1的中点E和CC1的中点F，连接EF，则MN在平面BFD1E内平行移动，且MNEF，当P点移动到BD1的中点时，MN有唯一
7、的最大值，排除答案A，C；当P点移动时，由于总保持MNEF，所以x与y的关系是线性的(例如：取AA11，当x时，y2x.同理，当x时，有y22x，排除答案D)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知平面平面，P是，外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交于点A，B，交于点C，D，且PA6，AC9，AB8，则CD的长为_解析：若点P在平面，的同侧，由于平面平面，故ABCD，则，可求得CD20；若点P在平面，之间，可求得CD4.答案：20或414如图，在ABC中，ACB90，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB的大小_(填“变
8、大”“变小”或“不变”)解析：由于直线l垂直于平面ABC，所以lBC，又ACB90，所以ACBC，所以BC平面APC，所以BCPC，即PCB为直角，与点P的位置无关答案：不变15已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.(1)当满足条件_时，有m；(2)当满足条件_时，有m.解析：利用线面平行和垂直的相关知识得出，由m；由m.答案：(1)(2)16. (2016马鞍山质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为123；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；正方体
9、与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积是.其中正确命题的序号为_解析：设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，则AM平面A1BD，所以AM()2111，解得AMAC1，设对角线AC1与平面B1CD1相交于点N，则NC1平面B1CD1，所以C1N()2111，解得C1NAC1，因此对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分，正确；正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为、，因此它们的表面积之比为444123，正确；以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积为V134，不是，不正确；正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积为V13，正确答案：三、解答题(本大题共6小题，
10、共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分) 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，
11、所以平面EFG平面BDD1B1.18(本小题满分12分)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点 (1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积解：(1)证明：由已知得，ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，则CGAD.同理BGAD，又因为CGBGG，因此AD平面BCG.由题意，EF为DAC的中位线，所以EFAD.所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内作AOCB，交CB的延长线于O(图略)，由于平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，所以AO平面BCD.又G为AD的中点，因此G到平面BCD的距
12、离hAO.在AOB中，AOABsin 60，所以VDBCGVGBCDSBCDh.又在BCD中，连接BF，则BFDC，得BFBCcos 601，所以DC2FC2，所以SBCDDCBF，所以VDBCG.19(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图在直观图中，M是BD的中点侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；(2)求证：平面BDE平面BCD.解：(1)因为M为DB的中点，如图，取BC的中点N，连接MN，AN，则MNDC，且MNDC，又由题图知，AEDC，AEDC，所以MNAE，且
13、MNAE，所以四边形ANME为平行四边形，所以ANEM，所以EM与AC所成的角即为AN与AC所成的角在RtABC中，CAN45，所以异面直线AC与EM所成的角为45.(2)证明：由(1)知EMAN，又因为平面BCD底面ABC，ANBC，所以AN平面BCD，所以EM平面BCD.因为EM平面BDE，所以平面BDE平面BCD.20(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明：(1)因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱
14、柱，所以CC1平面ABC.又因为AD平面ABC，所以CC1AD.因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，且CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又因为AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)法一：因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.又因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，且CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知，AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又因为AD平面ADE，A1F平面ADE，所以直线A1F平面ADE.法二：由(1)知，AD平面BCC1B1，因
15、为BC平面BCC1B1，所以ADBC.因为A1B1A1C1，所以ABAC.所以D为BC的中点连接DF(图略)，因为F是B1C1的中点，所以DFBB1AA1.所以四边形ADFA1是平行四边形所以A1FAD.因为AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.21(本小题满分12分)如图(1)，在矩形ABCD中，已知AB2，AD2，M，N分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平面所成二面角为60，如图(2)(1)求证：BODO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值解：(1)证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AMM
16、N，DMMN，折叠后垂直关系不变，所以AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以AMD60.连接AD，由AMDM，可知MAD是正三角形，所以AD.在RtBAD中，AB2，AD，所以BD，由题可知BOOD，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BODO.(2)如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC，又BD，BC，CD2，所以DCBC，则EFCD.又OFCD，所以CD平面OEF，OECD.又BOOD，所以OEBD，又BDCDD，所以OE平面ABCD.又OE平面BOD，所以平面BOD平面ABCD.过A作AHBD，由面面垂直的性质定理，可得AH平面BOD，连接OH，则O
17、H是AO在平面BOD的投影，所以AOH为AO与平面BOD所成的角又AH是RtABD斜边上的高，所以AH，又OA，所以sinAOH.故AO与平面BOD所成角的正弦值为.22(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，ACB90，AA1BC2AC2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60.解：(1)证明：因为A1C1B1ACB90，所以B1C1A1C1，又由直三棱柱的性质知B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1.所以B1C1CD，由AA1BC2AC2，D为AA1中
18、点，可知DCDC1，所以DC2DCCC4，即CDDC1，又B1C1CD，所以CD平面B1C1D，又CD平面B1CD，故平面B1CD平面B1C1D.(2)当ADAA1时二面角B1CDC1的大小为60.假设在AA1上存在一点D满足题意，由(1)可知B1C1平面ACC1A1，所以B1C1CD.如图，在平面ACC1A1内过C1作C1ECD ，交CD或延长线于点E，连接EB1，因为B1C1C1EC1，所以CD平面B1C1E，所以CDEB1，所以B1EC1为二面角B1CDC1的平面角，所以B1EC160.由B1C12知，C1E.设ADx，则DC，因为DCC1的面积为1，所以1，解得x，即ADAA1，所以在AA1上存在一点D满足题意