1、湖北省襄阳市、宜昌市、荆州市、荆门市2020-2021学年高二数学下学期期末联考试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.祝考试顺利注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.
2、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，向量，若，则（ ）A. B. C.1 D.32.已知随机变量的分布列如表所示，则（ ）01A. B.0 C. D.3.已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）A.外离 B.外切 C.相交 D.内含4.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为（ ）A. B. C. D.5.已知函数在处取得极值，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B.C. D.6.
3、2021年是“十四五”开局之年，“三农”工作重心转向全面推进乡村振兴.某县现招录了5名大学生，其中3名男生，2名女生，计划全部派遗到三个乡镇参加乡村振兴工作，每个乡镇至少派遣1名大学生，乡镇只派2名男生.则不同的派遣方法总数为（ ）A.9 B.18 C.36 D.547.如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的命题有（ ）A.
4、利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心B.设随机变量，则C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好10.已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）A.B.展开式中二项式系数之和为256C.展开式中系数最大的项为第3项D.展开式中的系数为11.如图所示，在棱长为1的正方体中中，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A.平面B.平面C.异面直线和所成的角的正切值为D.若为直线上
5、的动点，则三棱锥的体积为定值12.已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，直线交抛物线于两点，点，则下列说法正确的是（ ）A.存在直线，使得两点关于对称B.的最小值为6C.当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切D.若分别以为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则两点的纵坐标之和的最小值为4三填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量，且，则_.14.已知等差数列的公差为2，且成等比数列，是数列的前项和，则_.15.已知函数在上连续且可导，为偶函数且，其导函数满足，则函数的零点个数为_.16.已知正四面体的棱长为是该正四面体内切球球面上的动点，则的最小值为_.四解答题：本题共6
6、小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.(10分)已知圆经过点，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于两点，求弦长.18.(12分)已知数列的前项和为，且是等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.19.(12分)如图，在三棱柱中，已知侧面，（1）求证：平面；（2）若是的中点，求二面角的余弦值.20.(12分)为庆祝中国共产党成立100周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史知奋进”党史知识竞赛活动，设置一二三等奖若干名.为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50
7、名学生的获奖情况后得到如下列联表：没有获奖获奖合计选修历史420没有选修历史合计12（1）请完成上面列联表；并判断是否有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；(结果保留一位小数)（2）在上述样本中从选修历史的学生中抽取4名学生，设抽到没有获奖的人数为，求(概率用组合数表示即可)；若将样本频率视为概率，从全校获奖的学生中随机抽取14人，求这些人中选修了历史学科的人数的数学期望.下面的临界值表供参考(参考公式，其中)21.(12分)已知双曲线的方程为，椭圆的焦点为和，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）不经过椭圆的焦点的直线与以坐标原点为圆心为半径的圆相
8、切，且与椭圆交于两点，试判断的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.22.(12分)已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，若存在两个不相等的正数，满足，求证：.襄阳市、宜昌市、荆州市、荆门市2020-2021学年高二下学期期末联考数学参考答案一选择题题号12345678答案DACCDBAA二选择题题号9101112答案ABDACBCBCD三填空题13. 14.108 15.3 16.四解答题17.解：（1）过切点且与垂直的直线为，即，则其经过圆心.直线方程为直线的中垂线过圆心，联立，解得.圆心为半径，所求圆的方程为.（2）直线的方程为，圆心到直线的距离，设的中点为，连接，则必
9、有，在中，18.解：（1）由题意得，设等差数列的公差为，则.当时，也满足，（2）19.解：（1）平面，又又平面.（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.则有设为平面的法向量，即不妨取，则.因为平面，所以在方向上取平面的法向量所以，故二面角的余弦值为.法2：三棱柱中，由（1）知且.则且是中点，.又平面，又，平面.即为二面角的平面角.故二面角的余弦值为.20.解：（1）补充完整的列联表如下：没有获奖获奖合计选修历史41620没有选修历史181230合计222850故有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关（2）显然，随机变量服从超几何分布，取值为3表示抽到选修了历史但没有获奖的人数恰好为3人.故.从全校获奖的学生中随机抽取1人，则此人选修了历史学科的概率为.设从全校获奖的学生中随机抽取14人，这些人中选修了历史学科的人数为Y，则.故.21.解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意得，.双曲线的离心率为，椭圆的离心率.故椭圆的方程：.（2）由题意，即圆心到直线的距离为，则，设，由，得，由，得，则又周长，周长为定值22.解：（1）令解得(舍)或.当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递增，在上单调递减.（2），由（1）不妨设.设.则.当时，恒成立，则在上单调递增.由，则可得.而在上单调递减，.
