1、考向一 空间几何体1.讲高考（1）考纲要求空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间几何体(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式（2）命题规律空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，文、理科均考，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，主要以选择题、填空题
2、的形式考查，预测2015年高考会出现给出几何体的三视图，求原几何体的表面积或体积的选择题或填空题例1【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱例2【2014辽宁高考理第7题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D2.讲基础（2）基本面积公式如下表表面积相关公式表面积相关公式棱柱S全S侧2S底，其中S侧l侧棱长c直截面周长圆柱S全2r22rh(r：底面半径，h：高或母线长)棱锥S全S侧S底圆锥S全r2rl(r：底面半径，l：母线长)棱台S全S侧S上底S下底圆台S全(r2r2rlrl)(r：下底半径，r：上底
3、半径，l：母线长)球的表面积S球4R2，其中R为球的半径（3）空间几何体的基本体积计算公式如下体积公式体积公式棱柱VS底h高圆柱Vr2h(r：底面半径，h：高)棱锥VS底h高圆锥Vr2h(r：底面半径，h：高)棱台V(SS)h(S，S：上下底面积，h：高)圆台V(r2rrr2)h(r，r：上下底面半径，h：高)球的体积V球R3，R为球的半径.3.讲典例【例1】【江西省五校第二次联考高三理科数学试卷】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D【趁热打铁】【河南省名校2015届高三上学期期中数学，理8】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图
4、中的x的值是（ ）A2BC D3【例2】【三明一中20142015学年上学期学段考高三理科数学试题】一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则( )A B C3 D5 【趁热打铁】【浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A B C D4.讲方法（1）空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和（2）解决组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分
5、是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差5.讲易错【题目】【2014天津高考理第10题】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_错解:由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为（）【错因】棱锥、球的体积公式容易忽视公式系数.【正解】由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为（）考向二 点、直线、平面之间的位置关系1.讲高考（1）考纲要求点、直线、平面之
6、间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理： 。如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。如果一个平面内的两条相交直线与另一个
7、平面平行，那么这两个平面平行。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 。如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解并能够证明以下性质定理：。如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。如果两个平行平面和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直能证明有关点、直线、平面之间的位置关系的简单命题（2）命题规律该部分的命题主要在三个点展开第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题
8、，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力，这类试题多为选择题或者填空题；第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力，这类试题多数是解答题组成部分；第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角)，设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力，这类试题多数是解答题的重要组成部分高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填空题的形式考查，难度
9、不大；二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度中档偏难，预测2015年考查三视图与柱体、锥体的综合问题例1【2014辽宁高考理第4题】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则例2【2014高考安徽卷理第8题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）A.24对 B.30对 C.48对 D.60对2.讲基础（1）线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a线面平行的性质定理ab线面垂直的判定定理l线面垂直的性质定理ab（2）面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理面面垂
10、直的性质定理a面面平行的判定定理面面平行的性质定理ab提醒使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可（3）平行关系及垂直关系的转化示意图3.讲典例【例1】【浙江省嘉兴市第一中学2015届高三上学期期中考试，理3】已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ）A.若 B.若则C.若 D. 若【趁热打铁】【吉林实验中学2015届高三上学期第三次质量检测，理7】设是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）A若,则B若,则C若,则D若,则【例2】【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考，理7】在正方体ABCDABCD中，点P在线段AD上运动，
11、则异面直线CP与BA所成的角的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【趁热打铁】【河北省唐山市第一中学2015届高三上学期期中考试，理14】已知三棱锥中, 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为【例3】【巴彦淖尔市第一中学2014-2015学年第一学期高三年级10月月考数学试题(理科)】如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD.【趁热打铁】【北京101中学20142015学年度高三第一学期期中模拟试卷数学试题】如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6
12、，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。 （I）求证： （2）求证：平面平面4.讲方法(1)证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法。证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面。这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理。在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无
13、论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行。线线平行是平行关系的根本。在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直(2)空间角的求法 求异面直线所成角的常用方法：一是平移法，即根据定义找出或作出有关角的图形并证明它符合定义，进而求出角的大小二是补形法，在原几何体上补一个类似的几何体求直线与平面所成角的常用方法定义法：作出斜线在平面内的
14、射影，判断射影在平面内的位置求二面角的平面角的方法：定义法、用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角、作棱的垂面、面积法(cos)(3)空间距离的求法作出两条异面直线的公垂线段然后求之；将异面直线间距离转化为线面之间的距离；将异面直线间距离转化为面面之间的距离；运用“两条异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点距离的最小值”这一概念求之；利用体积法求之.5.讲易错【题目】【浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题】异面直线所成的角为，过空间中定点，与都成角的直线有四条，则的取值范围是 错解: 将异面直线平移使它们相交点，如图平移后的直线分别用表示，作,则,满足与都成角的直线有
15、四条，所以必须在区域SOAB,SOBC,SOCD,SOAD内各有一条直线与AC,BD成60角，当时，在区域SOAB没有满足条件的直线，当，在区域SOAB满足条件的直线只能在平面ABCD内，此时只能有3条，所以，所以的取值范围是.【错因】没有注意到两直线所成角的范围是。【正解】将异面直线平移使它们相交点，如图平移后的直线分别用表示，作,则,满足与都成角的直线有四条，所以必须在区域SOAB,SOBC,SOCD,SOAD内各有一条直线与AC,BD成60角，当时，在区域SOAB没有满足条件的直线，当，在区域SOAB满足条件的直线只能在平面ABCD内，此时只能有3条，所以，因为异面直线所成的角的范围，所
16、以的取值范围是.误区警示：在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性在空间中任意平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是.两异面直线所成的角归结为一个三角形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.考向三 空间向量与立体几何1.讲高考（1）考纲要求 空间向量与立体几何 (1)空间向量及其运算 了解空间向量的概念，了解空问向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直 (2)空间向量
17、的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题（2命题规律该部分的命题非常单纯，就是围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题，考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用，考查空间向量在解决探索性问题中的应用，其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度，考查运算求解能力试题大多是解答题，而且以使用空间向量求解空间角为主求解立体几何问题是高考的必考内容，每套试卷必有立体几何解答题，一般
18、设2至3问，前一问较简单，最后一问难度较大，而选用向量法可以降低解题难度预测2015年高考仍以棱柱或棱锥为载体，第一问求证线面平行、垂直关系，第二或第三问则求角或探索存在性问题，有一定难度例1【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 例2【2014高考安徽卷第20题】如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.（1） 证明：为的中点；（2） 求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3） 若，梯形的面积为6，
19、求平面与底面所成二面角大小.2.讲基础 (1)空间向量中的有关概念共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在实数，使ab.共面向量定理：向量p与两个不共线的向量a，b共面存在实数对x，y，使pxayb.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)，使pxaybzc.向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b空间向量的坐标运算：若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.(2)夹角计算公式线线角：直线与直线所成的角，如两直线的方向向量分别为a，b，则cos|
20、cosa，b|.线面角：直线与平面所成的角，如直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin|cosa，n|.面面角：两相交平面所成的角，两平面的法向量分别为n1，n2，则cos|cosn1，n2|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cos|cosn1，n2|还是cos|cosn1，n2|.(3)距离公式点线距：若直线l的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线l的距离d|sin，a点面距：若平面的法向量为n，平面内任一点为N，则点M到平面的距离d|cos，n|.3.讲典例【例1】【长春市十一高中2014-2015学年度高三上学期阶段性考试数学试题（理）】在长方体中，点是线段上的
21、动点，点为的中点（1）当点是中点时，求证：直线平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长【趁热打铁】【江西省五校第二次联考高三理科数学试卷】如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形. . （1）证明：； （2）求二面角的余弦值.【例2】.【2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）理科数学（一）】如图，中，是的中点，将沿折起，使点与图中点重合（）求证：；（）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；（）在（）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论【趁热打铁】【天津市六校2015届高三联考数学(理)试题】如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点 （）证明：
22、/平面； （）求二面角的平面角的余弦值； （）在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论 4.讲方法对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有xyz(x，y，zR)，四点P，A，B，C共面的充要条件是xyz1.空间一点P位于平面MAB内存在有序实数对x，y，使xy，或对空间任一定点O，有序实数对x，y，使xy.运用空间向量求解空间的角与距离关键是建立空间直角坐标系后，空间角和距离转化为向量的运算使用空间向量解决立体几何计算，直线的标志是它的方向向量，平面的标志是它的法向量，我们可以借助于直线和平面的标志用向量这个工具解决立体几何计算问题5.讲易错【题目】【2014高考陕西第17题】四面体及其
23、三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（1）证明：四边形是矩形；（2）求直线与平面夹角的正弦值.错解: （1）由该四面体的三视图可知：，由题设，面面面面面， .同理， .四边形是平行四边形又平面 ,四边形是矩形（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量,即得，取【错因】直线与平面所成角的范围是，其正弦值的计算公式应为：。【正解】（1）由该四面体的三视图可知：，由题设， 面面面面面， .同理， .四边形是平行四边形又平面 ,四边形是矩形（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量,即得，取误区警示：异面直线所成角的范围；线面角的正弦值是直线的方向向量和平面法向量所成角余弦的绝对值；两相交平面所成的角，两平面的法向量分别为n1和n2，则cos|cosn1，n2|，其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定cos|cosn1，n2|还是cos|cosn1，n2|.