1、1.3.4三角函数的应用 1会用三角函数解决一些简单的实际问题(重点)2体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型(难点)小组合作型三角函数在物理学中的应用已知电流IAsin(t)A0，0，|在一个周期内的图象如图1315.图1315(1)根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？ 【导学号：06460036】【精彩点拨】可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定的值【自主解答】(1)由图知，A300.，T，150.I300sin(150t)由为第一个关键点，1500，所求解析式为I3
2、00sin，t0，)(2)由题意T，即，300942，所求的最小正整数值是943.1三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法2将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型yAsin(x)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题再练一题1弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小【解】(1)设振幅为A
3、，则2A20(cm)，A10(cm)设周期为T，则0.5(s)，T1(s)，f1(Hz)(2)振子在1T内通过的距离为4A，故在t5 s内通过的路程为5T，即s54A20A2010 cm200 cm2 m.5 s末物体处在B点，所以它相对平衡位置的位移为10 cm.三角函数在实际生活中的应用如图1316所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面
4、60.5米时，用了多长时间？图1316【精彩点拨】.【自主解答】(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y40.540cos t，t0，由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6，即.所以y40.540cost(t0)(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.540.540cost0，得cost0，所以t0或t0，解得t08或4.所以t8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟)解三角函数应用问题的基本步骤再练一题2如图1317，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yA
5、sin(x)b.图1317(1)求这一天614时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式【解】(1)由图可知：这段时间的最大温差是20 ；(2)从图可以看出：从614是yAsin(x)b的半个周期的图象，1468，T16.T，.又y10sin20.将点(6,10)代入得：sin1，2k，kZ，2k，kZ，取，y10sin20(6x14)探究共研型三角函数的数据拟合问题探究1在利用已收集到的数据解决实际问题时，我们首先要对数据如何处理？【提示】先画样本数据散点图，通过分析其变化趋势确定合适的函数模型探究2当散点图具有什么特征时，可以用正(余)弦函数模型来解决实际问题【提示】当散点图具有波浪形的
6、特征时，便可考虑应用正(余)弦函数模型来解决实际问题某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间图1318【精彩点拨】【自主解答】(1)描出所给点如图所示：(
7、2)由(1)知选择yAsin(t)b较合适令A0，0，|.由图知，A0.4，b1，T12，所以.把t0，y1代入y0.4sin1，得0.故所求拟合模型的解析式为y0.4sint1(0t24)(3)由y0.4sint10.8，则sint，则2k2k(kZ)，即12k1t12k7(kZ)，注意到t0,24，所以0t7，或11t19，或23t24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下：(1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”；(2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型
8、；(3)通过图象或解析式研究函数的性质；(4)用得到的性质解决提出的实际问题.再练一题3某港口的水深y(m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，下面是水深数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图1319所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数yAsin tb的图象图1319(1)试根据以上数据，求出yAsin tb的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离
9、港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)【解】(1)由拟合曲线可知，函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此，12，.又当t0时，y10；当t3时，取最大值13.b10，A13103.所求函数表达式为y3sin x10.(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故船舶在航行时水深y应大于等于74.511.5(m)由拟合曲线可知，一天24 h，水深y变化两个周期令y3sin x1011.5, 可得sin x.2kx2k(kZ)，12k1x12k5(kZ)取k0，则1x5；取k1
10、，则13x17；取k2时，则25x29(不合题意)从而可知，该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16个小时构建体系1电流I随时间t变化的关系式是IAsin t，t0，)，若10 rad/s，A5，则电流I变化的周期是_，当t s时，电流I_.【解析】由已知得I5sin 10t，T.当t s时，I50sin 105sin .【答案】2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)bA0，0，|的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元
11、，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为_. 【导学号：06460037】【解析】由题意，可得A2，b7，周期T2(73)8，f(x)2sin7.当x3时，y9，2sin79，即sin1.|，.f(x)2sin7(1x12，xZ)【答案】f(x)2sin7(1x12，xZ)3某地一天内的温度变化曲线满足y3sin(0.2x25)15，则在一天内，该地的最大温差是_【解析】因为函数y3sin(0.2x25)15的振幅为A3，可以判断该地的最大温差是2A6.【答案】64一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：t00.10.20.30.
12、40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为_【解析】由样本数据可知，T0.8，且该物体的位移y和时间t之间的位置关系近似的用yAcos t来表示又A0.4，.y0.4cost.【答案】y0.4cos t5弹簧上挂的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置的位移h(cm)由下列函数关系式决定：h3sin.(1)以t为横坐标，h为纵坐标作出图象(0t)；(2)求小球开始振动时的位置；(3)经过多长时间，小球往返一次？(4)每秒内小球往返几次？【解】(1)所求函数图象如图所示：(2)当t0时h(
13、cm)；(3)T3.14(s)，即每经过3.14 s小球往返振动一次；(4)由(3)可知，每秒内小球往返次我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十三)三角函数的应用(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为_【解析】最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T s s.【答案】 s2如图1320所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是_该简谐运动的振动周期为0.7 s；该简谐运动的振幅为5 cm；该质点在0.1 s和0
14、.5 s时振动速度最大；该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零图1320【解析】由图象知，振幅为5 cm，(0.70.3)s0.4 s，故T0.8 s，故错误；该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故错误；该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故错误【答案】3如图1321是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是_图1321【解析】半个周期后，丁由最高点到最低点【答案】丁4已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高
15、度h40sin50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续_分钟. 【导学号：06460038】【解析】依题意，即40sin5070，即cost，从而在一个周期内持续的时间为t，4t8，即持续时间为4分钟【答案】45已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1322所示，此图可以视为yAsin(x)的图象的一部分，此函数解析式是_图1322【解析】由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和3.A3.由图象知，T，2，y3sin(2x)由图象知，点是第三个关键点，2，所求函数解析式为y3sin.【答案】y3sin6动点A(x，y)在圆x2y21上
16、绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是_【解析】由题意可知，ysin(t)又t0时，A，又由T12可知，ysin.令2kt2k，kZ,12k5t12k1，kZ，0t12，令k0,1，得0t1或7t12，故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为0,1，7,12【答案】0,1，7,127如图1323所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为_图1323【解析】将其看成yAsin(x)的
17、图象，由图象知：A6，T12，下面确定，将(6,0)看成函数第一特殊点，则60，.函数关系式为：y6sin6sinx.【答案】y6sinx8(2016南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1324所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为_图1324ysin；ysin；ysin；ysin.【解析】由题意可得，sin ，函数的初相是，排除.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T60，0，所以|，即，故选.【答案】二、解答题9已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y
18、10sin20，x4,16(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【解】(1)由函数易知，当x14时函数取最大值，即最高温度为30 ，当x6时函数取最小值，即最低温度为10 ，所以，最大温差为30 10 20 .(2)令10sin2015，可得sin，而x4,16，所以x.令10sin2025，可得sin，而x4,16，所以x.故该细菌的存活时间为：小时能力提升1一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1325所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(米)与时间t(分钟
19、)之间(h(0)2)的函数关系式为_图1325【解析】那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)y(t)2.所以，只需要考虑y(t)的解析式又设P的初始位置在最低点即y(0)0.在RtO1PQ中，cos ，y(t)8cos 8.而，所以t，y(t)8cos t8，h(t)8cos t10.【答案】h(t)8cos t102下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x月份1，以平均气温为y轴(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是cos；cos；cos；sin.【解】(1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，716，T12.(4)2A最高气温最低气温73.021.451.6，A25.8.(5)x月份1，不妨取x211，y26.0，代入，得1cos ，错误；代入，得0cos ，错误；同理错误，正确