1、江苏省金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3至第4页全卷满分160分，考试时间120分钟考生注意事项：1 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致2 答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3 答第卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无效4 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：如果事件互斥
2、，那么球的表面积公式 其中表示球的半径如果事件相互独立，那么球的体积公式 如果随机变量 其中表示球的半径A必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1集合，则集合A中所有元素之和为 2如果实数和非零向量与满足，则向量和 （填“共线”或“不共线”）3中，若，则 4设，为常数若存在，使得，则实数a的取值范围是 5已知复数，且与均为实数，则 6右边的流程图最后输出的的值是 7若实数、，且，则曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是 8 已知下列结论： 、都是正数， 、都是正数，则由猜想：、都是正数9某同学五次考试的数学成绩分别是120， 129，
3、 121，125，130，则这五次考试成绩的方差是 10如图，在矩形中， ，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是 11用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 cm3 图1（俯视图） 图2（主视图）12下表是某厂14月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月份1234用水量4.5432.5由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 13已知平面内一区域，命题甲：点；命题乙：点如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是 14设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点
4、和右焦点，则的最小值为 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15直三棱柱中，（1）求证：平面平面；ABCC1A1B1 （2）求三棱锥的体积16某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 17如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、
5、且与轴及直线分别相切于、两点（1）求圆和圆的方程；（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度18已知函数，（1）求函数在内的单调递增区间；（2）若函数在处取到最大值，求的值；（3）若（），求证：方程在内没有实数解（参考数据：，）19已知函数（）的图象为曲线（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由20（本小题满分18分）已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，将集合中的元素按从
6、小到大的顺序排列构成的数列记为（1）若，求数列的通项公式；（2）若，数列的前5项成等比数列，且，求满足的正整数的个数B附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第2326题为选做题，请考生在第2326题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）21（本小题为必做题，满分12分）已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？22（本小题为必做题，满分12分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高
7、校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望23（本小题为选做题，满分8分）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（1）求的值；（2）若的面积为，四边形的面积为，求的值24（本小题为选做题，满分8分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程
8、；（2）判断直线和圆的位置关系25（本小题为选做题，满分8分） 试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =26（本小题为选做题，满分8分）用数学归纳法证明不等式：参考答案A必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 2共线 34 4 5 65 7 8 916.4 10 117 12 132 14二、解答题：（本大题共6小题,共90分）15 （本小题满分14分）解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，则BB1AB，BB1BC，-3分 又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=， 则由AC2+BC2=AB2可知，ACBC，-6分 又由上
9、BB1底面ABC可知BB1AC，则AC平面B1CB， 所以有平面AB1C平面B1CB；-9分（2）三棱锥A1AB1C的体积-14分（注：还有其它转换方法）16（本小题满分14分）解：（1）即（）；-7分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行） （2）由均值不等式得：（万元）-11分 当且仅当，即时取到等号-13分答：该企业10年后需要重新更换新设备-14分17（本小题满分14分）解：（1）由于M与BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为M的半径，则M在BOA的平分线上， 同理，N也在BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为BOA的平分线，M的坐标为，M到轴的距离为1，即M的半
10、径为1，则M的方程为，-4分 设N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC， 由RtOAMRtOCN可知，OM：ON=MA：NC， 即， 则OC=，则N的方程为；-8分 （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心N到该直线的距离d=，- - -11分则弦长=-14分另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，圆心N到该直线的距离=，则弦长=（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）18（本小题满分14分）解：（1）， 令（） 则，-2分 由于，则在内的单调递增区间为和； （注：将单调递增区间写成的形式扣1分）（2）依
11、题意，（），-6分由周期性，；-8分（3）函数（）为单调增函数，且当时，此时有；-10分当时，由于，而， 则有，即，又为增函数，当时， -12分而函数的最大值为，即，则当时，恒有，综上，在恒有，即方程在内没有实数解-14分19 （本小题满分16分）解：（1），则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；-4分（2）由（1）可知，-6分解得或，由或得：；-9分（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B， 则切线方程是：， 化简得：，-11分 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 则有：，得，-13分 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直
12、线与曲线C同时切于两点。-16分20（本小题满分18分）解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7， 由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项， 所以3只可能是数列中的第1，2，3项， 若，则， 若，则，若，则；-4分 （注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分） （2）首先对元素2进行分类讨论： 若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得，这显然不可能； 若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得， 因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的， 所以，则，因此数列的前5项分别为1，2，4， 这样， 则数列的前9项分别为1，2，4，8，上述数列符合要求；-10分若2
13、是数列的第项（），则，即数列的公差， 所以，1，2，4，所以1，2，4在数列的前8项中，由于，这样，以及1，2，4共9项，它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾。综上所述，-12分 其次，当时， ， ，-14分 当时， ，因为是公差为的等差数列， 所以，-16分 所以，此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个。-18分B附加题部分三、附加题部分：21（必做题）（本小题满分12分）解：（1）将代入得，-2分 由可知， 另一方面，弦长AB，解得；-6分（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，-10分即，即位于（4，4）点处-12分22（必做题）（本小题满分12分）解：（
14、1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、；表示事件“恰有一人通过笔试” 则-6分 （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，-9分所以，故-12分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以，于是，23（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）过D点作DGBC，并交AF于G点， -2分 E是BD的中点，BE=DE， 又EBF=EDG，BEF=DEG， BEFDEG，则BF=DG， BF：FC=DG：FC， 又D是AC的中点，则DG：FC=1：2， 则BF：FC=1：2；-4分 （2）若BEF以BF为底，BDC以BC为底， 则由（1）知BF：BC=1：3， 又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为BEF和BDC的高，则，则=1：5 -8分24（选做题）（本小题满分8分）解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-2分即，两边同乘以得，消去参数，得的直角坐标方程为：-4分（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交-8分25（选做题）（本小题满分8分）解：MN = =，-4分 即在矩阵MN变换下，-6分则， 即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为-8分26（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）当时，左边，时成立 -2分（2）假设当时成立，即那么当时，左边时也成立 -7分根据（1）（2）可得不等式对所有的都成立 -8分
