1、必考问题 19 概率、随机变量及其分布列(2012湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率(注
2、：将频率视为概率)答案：解(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1)15100 320，P(X1.5)30100 310，P(X2)2510014，P(X2.5)2010015，P(X3)10100 110.X 的分布列为X11.522.53P3203101415110X 的数学期望为E(X)1 3201.5 3102142.5153 1101.9.(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分
3、钟”，Xi(i1,2)为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则P(A)P(X11 且 X21)P(X11 且 X21.5)P(X11.5 且 X21)由于各顾客的结算相互独立，且 X1，X2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21)320 320320 310 310 320 980.故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 980.结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用本部分复习要从整体上，知识的相关关系上进行离散型随
4、机变量问题的核心是概率计算，而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心，在解题中要充分分析事件之间的关系.必备知识互斥事件有一个发生的概率若 A、B 是互斥事件，则 P(AB)P(A)P(B)，P(A)P(A)1.相互独立事件与n 次独立重复试验(1)若 A1，A2，An 是相互独立事件，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)如果在一次试验中事件 A 发生的概率为 p，事件 A 不发生的概率为 1p，那么在 n次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率为：Pn(k)Cknpk(1p)nk.离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，
5、期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布(2)基本公式：E()x1p1x2p2xnpn；D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn；E(ab)aE()b，D(ab)a2D()；二项分布：B(n，p)，则 P(k)Cknpk(1p)nk，E()np，D()np(1p)正态分布(1)若 X 服从参数为 和 2 的正态分布，则可表示为 XN(，2)(2)N(，2)的分布密度曲线关于直线 x 对称，该曲线与 x 轴所围成的图形的面积为1.(3)当 XN(，2)时，0.683P(X)，0.954P(2X2)，0.997P(3X3)以上三个概率值具有重要的应用，要熟记，不可混用必备方法
6、1在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答2相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质3求解一般的随机变量的期望和方差的基本
7、方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算互斥事件与相互独立事件的概率互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，试题多来源于生活，考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力 【例 1】(2012陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理
8、业务的概率；(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望审题视点 听课记录审题视点(1)第三个顾客恰好等待 4 分钟的情况有三种可能：第一个顾客需 1 分钟，第二个顾客需 3 分钟；第一个顾客需 3 分钟，第二个顾客需 1 分钟；两个顾客都需要 2 分钟(2)找出第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 X 的所有可能取值，其取值分别为 0,1,2；求出分布列，得出期望，本问最难的是分布列的求解解 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟
9、开始办理业务”，则事件 A 对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟所以 P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(2)法一 X 所有可能的取值为 0,1,2.X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以 P(X0)P(Y2)0.5；X1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超
10、过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟，所以 P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以 P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；所以 X 的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.法二 X 的所有可能取值为 0,1,2.X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以 P(X0)P(Y2)0.5；X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以 P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)
11、P(X2)0.49；所以 X 的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.在概率的计算中，一般是根据随机事件的含义，把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小的事件再分为几个相互独立事件的乘积，然后根据相应的概率公式进行计算【突破训练 1】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局(1)求再赛 2 局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率解 记 Ai 表示事件：第 i 局甲获胜，i3,4,5，
12、Bj 表示事件：第 j 局乙获胜，j3,4.(1)记 A 表示事件：再赛 2 局结束比赛AA3A4B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.60.60.40.40.52.(2)记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前 2 局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 BA3A4B3A4A5A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P
13、(B4)P(A5)0.60.60.40.60.60.60.40.60.648.独立重复试验与二项分布以实际生活或生产为背景来考查二项分布是高考的“永久”热点，难点是透过问题的实际背景发现 n 次独立重复试验模型及二项分布，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键 【例 2】(2012天津)现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这 4 个人中去参加
14、甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|.求随机变量 的分布列与数学期望 E()审题视点 听课记录审题视点(1)利用二项分布的概率公式求解；(2)利用二项分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望解 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i0,1,2,3,4)，则 P(Ai)Ci4 13i 234i.(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率P(A2)C24 132 232
15、 827.(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 BA3A4.由于 A3 与 A4 互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C34 133 23 C44 13419.所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故 P(0)P(A2)827，P(2)P(A1)P(A3)4081，P(4)P(A0)P(A4)1781.所以 的分布列是024P82740811781 的期望 E()0 827240814178114881.(1)判断一个随机变量是否
16、服从二项分布，要看两点：是否为 n 次独立重复试验；随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数(2)在 n 次独立重复试验中，恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n.【突破训练 2】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”给予 5 万元的资助；若未能获得“支持”，则不予资助，求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率解(1)设 A 表示“资
17、助总额为零”这个事件，则 P(A)126 164.(2)设 B 表示“资助总额超过 15 万元”这个事件，则 P(B)15 1266 126 1261132.离散型随机变量的分布列、期望 与方差以考生比较熟悉的实际应用问题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件、独立事件及独立重复事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算的能力 【例 3】(2012新课标全国)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解
18、析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率()若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差；()若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由审题视点 听课记录审题视点(1)根据日需求量分类求出函数解析式；(2)()根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差()比较两种情况的方差或数学期望即可解(1)当日需求量
19、n16 时，利润 y80.当日需求量 n16 时，利润 y10n80.所以 y 关于 n 的函数解析式为y10n80，n16，80，n16(nN)(2)()X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X 的分布列为X607080P0.10.20.7X 的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X 的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.()答案一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y55657
20、585P0.10.20.160.54Y 的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y 的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然 E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进 16 枝玫瑰花答案二：花店一天应购进 17 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y 的数学期
21、望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进16 枝时的平均利润故花店一天应购进 17 枝玫瑰花(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率公式求概率(2)求随机变量期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解【突破训练 3】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙
22、两种保险中的 1 种的概率；(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望解 记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)D C，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100,0.2)，即 X 服从二项分布，所以期望 E(X)1000.220.二项展开式的通项与二项分布的概率
23、公式的“巧合”一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A，每次试验中 P(A)p0.我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，也称为伯努利试验在 n 次独立重复试验中，每次试验事件 A 发生的概率均为 p(0p1)，即P(A)p，P(A)1pq.由于试验的独立性，n 次试验中，事件 A 在某指定的 k 次发生，而在其余 nk 次不发生的概率为 pkqnk.而在 n 次试验中，事件 A 恰好发生 k(0kn)次的概率为 Pn(k)Cknpkqnk，k0,1,2，n.它恰好是(qp)n 的二项展开式中的第 k1 项【示例】(2012四川)某
24、居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 110和 p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求 p 的值；(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求 的概率分布列及数学期望 E()满分解答(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1P(C)1 110p4950，解得 p15.(4 分)(2)由题意，P(0)C03110311 000，P(1)C1311021 110 271 000，P(2)C231101 1102 2431 000，P(3)C331 11
25、03 7291 000.(8 分)所以，随机变量 的概率分布列为0123P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量 的数学期望：E()011 0001 271 0002 2431 0003 7291 0002710.(12 分)老师叮咛：对于1，依据题意及相互对立的两个事件的概率间的关系列出相关的方程，通过解方程得出结论；对于2，根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而利用期望的定义公式通过计算得出期望值.【试一试】某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望(2)求这名同学总得分不为负分(即 0)的概率解(1)的可能取值为300，100,100,300.P(300)0.230.008，P(100)30.220.80.096，P(100)30.20.820.384，P(300)0.830.512.所以 的概率分布为300100100300P0.0080.0960.3840.512根据 的概率分布，可得 的期望E(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(0) 高考资源网%