1、优质大题 中 国 古 代 数 学 著 作 算 法 统 宗 中 有 这 样 一 段 记载：“隔 墙 听 得 客 分 银，不 知 人 数 不 知 银 七 两 分之 多 四 两，九 两 分 之 少 半 斤 ”大 意 为：有 一 群 人 分 银 子，如 果 每 人 分 七 两，则剩 余 四 两；如 果 每 人 分 九 两，则 还 差 八 两 （注：明 代 时 斤 两，故 有“半 斤 八 两”这 个 成语）请 用 方 程 的 知 识 求 分 银 子 的 有 多 少 人 和 所 分 银子 共 有 多 少 两 解：设 分 银 子 的 有 人，所 分 的 银 子 共 有 两，根 据 题 意 可 得 ，解 得
2、，答：分 银 子 的 有 个 人，所 分 的 银 子 共 有 两 浮 式 起 重 机 是 海 上 打 捞、海 上 救 援 和 海 上 装 卸的 重 要 设 备（如 图），某 公 司 的 浮 式 起 重 机 需更 换 悬 索，该 公 司 设 计 员 构 造 了 一 个 模 型 图（如图），其 中、均 可 看 作 一 条 线段，且，线 段 的 倾 斜 角 为，第 题 图（）求 的 度 数；（）若 ，求 出 悬 索 的 长 （结 果 保留 根 号）解：（）由 题 易 知，又 ，；（）如 解 图，过 点 作 交 的 延 长 线于 点，过 点 作 交 于 点，第 题 解 图在 中，槡槡 ，又 ，（槡 ）
3、，在 中，（槡 ）答：悬 索 的 长 为（槡 ）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，的 直 角 边 在 轴 上（），反 比 例 函数 （）的 图 象 与 相 交 于 点（，）第 题 图（）求 反 比 例 函 数 的 表 达 式；（）将 绕 点 逆 时 针 方 向 旋 转 后 得到，若 点，恰 好 分 别 落 在 轴 和 反 比例 函 数 图 象 上，求 的 长 解：（）反 比 例 函 数 （）的 图 象 经 过点（，），反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 （）；（）设 点 的 坐 标 为（，），由 旋 转 的 性 质 可知，解 得：，在 中，点 的 坐 标 为（，），如 解 图，延
4、 长 交 于 点，易 得 正 方 形，第 题 解 图在 中，根 据 勾 股 定 理 可 得：槡 槡槡 年 度 第 十 九 届“希 望 之 星”英 语 风 采 大 赛 旨在 推 动 我 国 英 语 教 育 事 业 发 展、培 养 多 元 化 人才 为 了 了 解 本 次 参 赛 选 手 平 均 每 天 练 习 英 语 口语 的 时 间，某 市 随 机 调 查 了 部 分 参 赛 选 手，并 将所 得 数 据 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 条 形 统 计 图第 题 图 扇 形 统 计 图第 题 图 请 根 据 统 计 图 中 的 信 息，解 答 下 列 问 题：（）求 本
5、 次 共 调 查 了 多 少 名 参 赛 选 手？（）将 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 补 充 完 整；（）若 该 市 本 次 参 赛 选 手 共 有 名，估 计 参赛 选 手 平 均 每 天 练 习 英 语 口 语 时 间 不 小 于 的 有 多 少 名？（）某 班 现 有 名 参 赛 选 手，其 中 平 均 每 天 练 习时 间 为 的 有 名，平 均 每 天 练 习 时 间 为 的 有 名 若 从 中 选 出 名 同 学 进 行 一 对 一口 语 练 习，求 恰 好 选 出 的 两 名 选 手 平 时 训 练 时间 相 同 的 概 率 解：（）（名），答：本 次 共 调 查
6、 了 名 参 赛 选 手；（）补 全 条 形 统 计 图 如 解 图：第 题 解 图 补 全 扇 形 统 计 图 如 解 图：第 题 解 图【解 法 提 示】练 习 时 间 为 的 人 数 为：（名），所 占 的 百 分 比 为 ，所 占 的 百 分 比 为 （）（）名，答：估 计 参 赛 选 手 平 均 每 天 练 习 英 语 口 语 时 间不 小 于 的 有 名；（）设 平 均 每 天 练 习 时 间 为 的 名 选 手为，平 均 每 天 练 习 时 间 为 的 名 选 手为，画 树 状 图 如 解 图：第 题 解 图 由 树 状 图 可 知，共 有 种 等 可 能 的 结 果，其 中选
7、出 的 两 名 选 手 平 时 训 练 时 间 相 同 的 有 种，所 以 恰 好 选 出 的 两 名 选 手 平 时 训 练 时 间 相 同 的概 率 五 一 期 间，小 林 一 家 与 小 港 一 家 准 备 去 钦 州 旅游，小 林 一 家 开 轿 车 从 南 宁 站 出 发 直 接 去 酒 店，出 发 后，小 港 一 家 才 乘 坐 动 车 从 南 宁 站出 发，到 达 钦 州 东 站 后，再 乘 坐 出 租 车 去 酒 店（换 乘 时 间 忽 略 不 计），两 家 恰 好 同 时 到 达 酒店，他 们 距 南 宁 站 的 距 离（）与 小 林 一 家 开轿 车 从 南 宁 站 出 发
8、 的 时 间（）之 间 的 函 数 关系 如 图 所 示，请 结 合 图 象 回 答 下 列 问 题：第 题 图（）求 出 南 宁 站 到 钦 州 东 站 的 距 离 及 动 车 运 行的 平 均 速 度；（）求 线 段 对 应 的 函 数 关 系 式 及 当 小 港 一家 到 达 钦 州 东 站 时，小 林 一 家 距 酒 店 的 距 离；（）若 小 林 一 家 恰 好 提 前 分 钟 到 达 酒 店，则 轿车 的 平 均 速 度 必 须 达 到 多 少？解：（）由 题 意 可 知，段 表 示 的 是 小 港 一 家 乘动 车 距 南 宁 站 的 距 离 与 小 林 一 家 开 轿 车 从
9、南 宁站 出 发 的 时 间（）之 间 的 函 数 关 系，南 宁 站 到 钦 州 东 站 的 距 离 为 ，且 乘 坐动 车 用 了 ，动 车 运 行 的 平 均 速 度 为 ；（）设 段 函 数 解 析 式 为 ，将（，），（，）代 入 得，解 得 ，线 段 对 应 的 函 数 关 系 式 为 （）；故 把 代 入 ，得 ，设 线 段 的 解 析 式 为 ，当 时，得 ，当 时，（），小 林 一 家 距 酒 店 的 距 离 为 ；（）把 代 入 ，得 ，即 实 际 行 驶 时 间 为 ，轿 车 的 平 均 速 度 为 ，小 林 一 家 恰 好 提 前 分 钟 到 达 酒 店，轿 车 的平
10、均 速 度 必 须 达 到 如 图，抛 物 线 与 轴 交 于、两 点（点 在 点 左 侧），与 轴 交 于 点，直 线 经 过 点、第 题 图（）求 的 值、点 的 坐 标 及 抛 物 线 的 对 称 轴；（）求 证：是 直 角 三 角 形；（）若 点 是 抛 物 线 上 第 一 象 限 内 的 动 点，是否 存 在 点，使 得 直 线 将 的 面 积 分 为 的 两 部 分，若 存 在，求 出 点 的 坐 标，若 不 存在，请 说 明 理 由（）解：直 线：，当 时，点 的 坐 标 为（，），将（，）代 入 中，得 ，解 得 ，抛 物 线 的 解 析 式 为 ，当 ，即 ，解 得 ，点 在
11、 点 左 侧，（，），（，），抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 ；（）证 明：（，），（，），（，），（），（）（），（）（），是 直 角 三 角 形；（）解：存 在，如 解 图，设 直 线 交 直 线 于点，过 点 作 轴 交 于 点，第 题 解 图（，），（，），直 线 的 解 析 式 为 ，设 点（，），由 题 意 可 得 ，（），直 线 将 的 面 积 分 为 的 两 部 分，或 ，（）当 时，即 ，解 得 ，将 代 入 中，得 ，点 的 坐 标 为（，），根 据（，），（，）易 得 直 线 的 解 析式 为 ，联 立 ，解 得 （舍）或 ，点 的 坐 标 为（，）；（）当 时，
12、即 ，解 得 ，将 代 入 中，得 ，点 的 坐 标 为（，），根 据（，），（，）易 得 直 线 的 解 析式 为 ，联 立 ，解 得 （舍）或 ，点 的 坐 标 为（，）；综 上 所 述，存 在 满 足 条 件 的 点，点 的 坐 标 为（，）或（，）如 图，在 中，过 点、作，使 圆 心 在 上，与 相 交 于 点，且 第 题 图（）求 证：与 相 切；（）若 点 是 的 中 点，求 的 值；（）若 ，设 点 是 优 弧)上 的一 个 动 点（不 与，重 合），求 阴 影 部 分 面 积的 最 大 值（）证 明：如 解 图，连 接，又 ，第 题 解 图 ，又 ，即，又 是 的 半 径，与
13、 相 切；（）解：如 解 图，连 接，点 是 的 中 点，设 ，槡槡，是 的 直 径，是 的 中 位 线，槡，槡 槡，即 槡，槡，槡 ，槡 槡 ；（）由 图 可 知 阴 影 部 分 的 面 积 可 看 成 两 部 分，的 面 积 和 弓 形 的 面 积)不 变，的 底 边 不 变，当 点 运 动 到 优 弧)的 中 点 时，高 最 大，即面 积 最 大，为 等 边 三 角 形 又 ，槡 ，又 ，槡 ，即 槡 ，由（）知，即 ，在 中，边 上 的 高 最 大 为 槡 ，（槡 ）槡 槡 槡，又 弓 形 扇 形 槡 （槡）图 中 阴 影 部 分 面 积 弓 形 （槡 槡）（）如 图，在 中，点是 上
14、 一 点，过 点 作 交 于 点，保 持 固 定 不 动，将 绕点 顺 时 针 旋 转（），得 到，其 中 点 和 点 对 应，点 与 点 对 应，连接，（）如 图，当 点 在 线 段 上 时，设 交 于 点 直 接 写 出 的 度 数；求 证：；若 ，求 的 长；（）在 旋 转 过 程 中，当与 的 边 平 行时，请 直 接 写 出 此 时 旋 转 角 的 值 第 题 图解：（）；【解 法 提 示】中，是 由 绕 点 旋 转 得 到 的，证 明：，在 和 中，由 得 ，；，设 ，则 ，（），解 得 槡 或 槡 （舍 去），槡 ；（）或【解 法 提 示】当 与 平 行 时，或，都 不 符 合 题 意；当 与 平 行 时，此 时 点在 上，此 时 ；当 与 平 行 时，如 解 图，此 时 第 题 解 图