1、1.4定积分与微积分基本定理14.1曲边梯形面积与定积分曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x1，x2，y0和曲线f(x)x2所围成的曲边梯形，问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？提示：不能问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以1曲边梯形曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形2求曲边梯形面积的方法求由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形如图的面积的步骤：分割：把区间a，b分成许多小区
2、间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积定积分问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？提示：分割、近似代替、求和、取极限问题2：你能将区间a，b等分吗？提示：可以定积分的概念设函数yf(x)定义在区间a，b上，用分点ax0x1x2xn10)与直线xy60及y0所围成图形的面积解：由题意，作图形，并解方程组得x2，y4.所
3、以y28x与直线xy60的交点为(2,4)所以所求面积为Sdx(6x)dx.利用定积分的几何意义求定积分例3(12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分(1)3dx；(2)2xdx；(3)dx.精解详析(1)3dx表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，所以3dx6.(4分)(2)2xdx表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5.2xdx5.(8分)(3)dx表示的是图(3)中阴影部分的面积，该图形是一个以原点为圆心，半径为a的上半圆的面积，其面积为a2.dxa2.(12分)一点通利用定积分的几何意义求定积分f(x)dx，关键是确定由曲线
4、yf(x)和直线xa，xb及x轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算5不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式(1)xdx_x2dx；(2)xdx_xdx；(3)dx_2dx.答案：(1)(2)g(x)，阴影部分的面积为f(x)g(x)dx.答案：C5把ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_解析：当0x0，ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.答案：sin xdx.6用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S1_(如图1)；(2)S2_(如图2)；(3)S3_(如图3)答案：(1)sinxdx(2)dx(3)xdx7利用定积分表示曲线yx2与xy2所围成图形的面积解：由得交点的横坐标为x1及x2，如图，S (2x)x2dx (2xx2)dx.8用定积分的几何意义求dx.解：由y可化为x2y24(y0)，其图像如图dx等于圆心角为60的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin .S矩形ABBC2.dx2.
