1、福建省漳州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（
2、 ）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础
3、题.4.设，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的
4、概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所
5、以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，；当时，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项
6、共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.下列命题中真命题的是（ ）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，所以方程有
7、实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题.10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比
8、较平稳【答案】BCD【解析】【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）A.
9、B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.对于C选项，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】
10、本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.12.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增B. 函数在区间单调递减C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题三、填空题：本大题共4题，每小题5
11、分，共20分13.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 【答案】【解析】【详解】列表如下：从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等点数的和为5的结果共有4种：（1，4），（2，3），（4，1），（3，2）点数的和为5的概率P=故答案为14.已知函数，为的导函数，则的值为_【答案】【解析】【分析】求得函数的导函数，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查导数的计算，属于基础题.15.已知向量，且满足，则的值为_【答案】【解析】【分析】先求得，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，即
12、，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，考查空间向量的线性运算，属于基础题.16.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为_，_【答案】 (1). 1 (2). 8【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，求得点坐标的表达式，根据两点的纵坐标相同列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得.【详解】由于点满足，所以是线段中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的
13、纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.故答案为：(1). 1 (2). 8【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值与最小值【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求得函数在时的导数，由点斜式求得切
14、线方程.（2）利用导数求得单调区间，区间端点的函数值和极值点的函数值，由此求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以在上的最大值为，最小值为.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数的最值，属于基础题.18.已知双曲线的两个焦点为，并且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用，以及列方程组，解方程组求得，由此求得双曲线的方程.（2）当直线斜率不存在时，直线与双
15、曲线没有交点.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，消去得到，根据二次项系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）由已知可设双曲线的方程为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，联立，得，当，即或，方程只有一解，直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线方程为，综上所述，直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查双曲线方程的求法，考查根据直线和双曲线交点个数求参数，属于中档题.19.某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.
16、用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：（1）根据上面的数据计算得，求出关于的线性回归方程；（2）若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过，则手机厂商可以获利，现从表格中的种保费任取种，求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出关于的线性回归方程.（2）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
17、【详解】（1）由，得所以关于的回归直线方程为.（2）现从表格中的种保费任选种，所有的基本事件有：，共有种.其中至少有一种保费能使厂商获利的基本事件有：，共种.所以从表格中的种保费任选种，其中至少有一种保费能使厂商获利的概率为.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查古典概率问题的求解，属于基础题.20.在如图所示的六面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，平面平面，.（1）在图中作出平面 与平面的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）求证：平面；（3）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长与相交于点，连接，根据公理和公理可
18、知，即是所求.（2）通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（3）利用勾股定理计算出，建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）延长与相交于点，连接，则直线 就是平面与平面的交线.（2）因为，所以是的中位线，故，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，因面，面，所以平面.（3）在平面内，过点作的平行线交于点，又，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以为直角三角形，且，.在平面内，过点作的垂线交于点，又因为平面平面，平面平面，所以面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，
19、所以，设是平面的法向量，则，即，所以可取.因为是平面的法向量，所以，所以平面与平面所成角的余弦值.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线，的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率、的面积、列方程组，解方程组求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，由此求得直线的方程，进
20、而求得两点的坐标，由此求得，求得.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，结合韦达定理计算.由此证得为定值.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，直线方程为，联立，得，不防设，则直线方程为，令，得，则，此时，同理，所以，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，设，则，直线方程为，令，得，则，同理，所以，所以综上所述，为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22.
21、已知函数，为的导函数（1）若，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若恰有一个零点，求的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）利用列方程，解方程求得的值.（2）求得函数的导函数，对分成等四种情况，分类讨论的单调区间.（3）结合（1）求得的的单调区间，判断出的单调区间，结合的取值范围、零点的存在性定理进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）由，得，得；（2）当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得，i）当时，所以在上单调递增；ii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；iii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在
22、单调递减；综上：当时，在上单调递增；在单调递减；i）当时，在上单调递增；ii）当时，在和单调递增，在单调递减；iii）当时，在和单调递增，在单调递减；（3）当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，又因为，所以恰有一个零点，符合题意；i）当时，在单调递增，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，符合题意；ii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，因为 ，所以是函数的一个零点，且，当时，取且，则，所以，所以在恰有一个零点，所以在区间有两个零点，不合题意；iii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，又因为，所以是函数的一个零点，且，又因为，所以，所以在区间有两个零点，不合题意；综上的取值范围为或.【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
