1、第 1 页共 6 页20 届（高三）12 月联考文科数学试题参考答案第卷（选择题，共 60 分）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分题号123456789101112答案CDBACBACADCA第卷（非选择题，共 90 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13214815116 764三解答题：本大题共 6 小题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(1)证明：因为112321nnnnnaSSSn，所以12(21)21nnnSSn，所以122121nnSSnn又11a，所以1101S 数列 21nSn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列6 分(2)由(1)知，122
2、1nnSn，所以1(21)2nnSn所以211 3 25 2(21)2nnTn ，故2321 23 25 2(21)2nnTn -，得2112(222)(21)2nnnTn 2212(21)2(32)231 2nnnnn ，所以(23)23nnTn12 分18解析：（1）如图，矩形 ABCD 中，CBAB，平面 ABCD 平面 ABEF，平面 ABCD 平面 ABEFAB，CB 平面 ABEF，AF 平面 ABEF，AFCB又 AB 为圆O 的直径，AFBF，第 2 页共 6 页CBBFB，CB、BF 平面CBF，AF 平面CBF，AF 平面 ADF，平面 DAF 平面CBF 6 分（2）几何
3、体 FABCD是四棱锥、FBCE是三棱锥，过点 F 作 FHAB，交 AB于 H 平面 ABCD 平面 ABEF，FH 平面 ABCD 则113VABBCFH，21132VEFHFBC1226VABVEF12 分19(1)由题意，根据图中16 个数据的中位数为 8789882，由平均数与中位数相同，得平均数为88，所以9863567992557870 390 616a 88，解得4a 4 分(2)依题意，16 人中，“基本满意”有8 人，“满意”有4 人，“很满意”有4 人“满意”和“很满意”的人共有4 人分别记“满意”的4 人为 a，b，c，d，“很满意”的4 人为1，2，3，4 从中随机抽
4、取2 人的一切可能结果所组成的基本事件共 28 个：(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3),(,4),(,),(,)a ba ca daaaab cb d，(,1)b，(,2)b，(,3)b，(,4)b，(,)c d，(,1)c，(,2)c，(,3)c，(,4)c，(,1)d，(,2)d，(,3)d，(,4)d，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)用事件 A 表示“8 人中至少有1人是很满意”这一件事，则事件 A 由22 个基本事件组成：(,1)a，(,2)a，(,3)a，(,4)a，(,1)b，(,2)b，(,3)b，(,4)b，(,1)c，(
5、,2)c，(,3)c，(,4)c，(,1)d，(,2)d，(,3)d，(,4)d，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有 22 个故事件 A 的概率为2211()2814P A 12 分第 3 页共 6 页20解：(1)依题设12(,0),(,0)AaA a，则1(1,0)FAa ，2(1,0)FAa由121FA FA ，得：(1)(1)1aa ，解得22a，又因为1c ，所以2222 11bac 所以椭圆C 的方程为2212xy 4 分(2)圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形依题意设直线 l 的方程为(1)yk x，设1122(,),(,
6、)A x yB xy，弦 AB 的中点为00(,)M xy，联立22(1)12yk xxy，得：2222(21)4220kxk xk，则2212122242(1),2121kkxxx xkk，所以212022221xxkxk，002(1)21kyk xk，则直线 MD 的方程为22212()2121kkyxkkk，令0y，得2221Dkxk，则22(,0)21kDk，若四边形 ADBE 为菱形，则0022EDEDxxxyyy，所以2023221EDkxxxk，022221EDkyyyk，若点 E 在椭圆C 上，则22222132()()142121kkkk，第 4 页共 6 页即4222982
7、(21)kkk，整理得42k，解得4 2k ，所以椭圆C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形12 分21解析：（1）由题意10f，所以 1110efba ，又 1 exfxxba，所以111eebfa ，解得1,1,ab 或1,e2e,ab 由于0b，而 2e0，故1a ，1b 5 分（2）由（1）可知 1 e1xf xx，00,10ff，由0m，20 x，可得2xmxx，要证明 2f xmxx，只需证()f xx令 1e1xg xxx，则 2 e2xgxx，令 (3xh xg xh xxe）则，当3x 时，()0h x，()g x在(,3)上单调递减，且()0g x；当3x 时，()
8、0h x，()g x在(3,)上单调递增；且(0)0g，所以()g x 在0，上当单调递减，在(0,)上单调递增，且(0)0g，故 00,1e1xg xgxx即，即()f xx恒成立，所以2()f xmxx12 分22解：(1)由 32sin 得22 sin3，将222sinxyy代入上式中，得曲线C 的普通方程为22230 xyy4 分第 5 页共 6 页(2)将l 的参数方程2cos,1sin,xtyt (t 为参数)代入曲线C 的普通方程，消去,x y 得得24(sincos)40tt因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以216(sincos)160，因为22sincos1，所以s
9、incos0，又0，所以 2，设方程的两根为 12,t t，则 121 24(cossin)0,40ttt t，所以 120,0tt，所以1212|()4(sincos)4 2 sin()4AMANtttt，由 2得，3444，所以2sin()124，从而44 2 sin()4 24，即|AMAN的取值范围是(4,4 2 10 分23解：（1）(1)(1)|1|1|1ffaa，若1a 时，则111aa，即21，即1a 时恒成立；若 11a 时，则1(1)1aa，解得12a ，所以112a ；若1a 时，则 1(1)1aa，即 21 不成立，此时不等式无解综上所述，a 的取值范围是1(,)2 5 分（2）由 题 意 知，不 等 式 对 于,(,)x ya 恒 成 立，等 价 于maxmin5()(|)4f xyya，当(,)xa 时，222()()24aaf xxaxx ，所以2max()()24aaf xf，第 6 页共 6 页又因为555|()()|444yyayyaa，当且仅当5()()04yya即54ya时，等号成立，所以min55(|)44yyaa，所以2544aa，解得 15a，结合0a，所以a 的取值范围是(0,510 分
