1、22.2事件的相互独立性1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念2能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,1相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立2相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立注意事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)(1)充分性：由定义知P(AB)P(A)P(B)时，事件A，B相互独立(2)必要性：由A，B相互独立得P(B|A)P(B)，所以P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不可能事件与任何一个事
2、件相互独立()(2)必然事件与任何一个事件相互独立()(3)“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件()答案：(1)(2)(3) 若事件E与F相互独立，且P(E)P(F)，则P(EF) 的值等于()A0B.C.D.答案：B 下列事件A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”DA表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”答案
3、：A探究点1相互独立事件的判断判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”；(3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”，事件N：“第二次摸到白球”【解】(1)二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件(2)基本事件1，2，3，4，5，6，事件A2，4，6，事件B3，6，事件AB6，P(A)，P(B)，P(AB)，即P(AB)P(A)P(B)，故事件A与事件B相互独立，A，B不是互斥事件(
4、3)事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P(AB)P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩(2)家庭中有三个小孩解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)
5、，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)
6、P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的探究点2相互独立事件同时发生的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)至多1个人译出密码的概率【解】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码“为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)，P(B).(1)“2个人都译出密码”的概率为：P(AB)P(A)P(B).(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P()P()P()1P(A)1P(B)(1)(1).(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1
7、P(AB)1P(A)P(B)1. 变问法在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率；(2)至少1个人译出密码的概率解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(1)(1).(2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1P()1P()P()1.相互独立事件概率的求解方法(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤：确定各事件是相互独立的；确定各事件会同时发生；先求每个事件发生的
8、概率，再求其积(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法，即三个公式的联用：P(AB)P(A)P(B)(A，B互斥)，P(A)1P(A)，P(AB)P(A)P(B)(A，B相互独立) 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独
9、立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：P0P(A B C)P(A)P(B)P(C).(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB C)P(A BC)P(ABC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.综合(1)(2)(3)可知P1最大所以出现恰有1人合格的概率最大探究点3相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，
10、不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列【解】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A B)P(A)P(B)P(A)1P(B).(或P(A B)(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)，因为X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X0)P(A B C)，P
11、(X1)P(A )P( B )P(A BC)，P(X2)P(A B C)P(BC)P(AC)，P(X3)P(ABC)，所以X的分布列为X0123P概率问题中的数学思想(1)正难则反灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P(A)1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件) (3)方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解一个箱子中原来装有大小相同的5个小球，其中3个红球，2
12、个白球，规定：进行一次操作是指“从箱子中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱子中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱子中”(1)求进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的概率；(2)求进行第二次操作后，箱子中红球个数的分布列解：(1)进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的对应事件为两次操作恰好一次白球一次红球，所以概率为：P.(2)由题意进行第二次操作后，箱子中红球个数的可能取值为3，4，5，P(3)，P(4)，P(5)，所以箱子中红球个数的分布列为：345P1(2018云南曲靖一中期中)某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0
13、.5，则问题由乙答对的概率为()A0.2B0.8C0.4D0.3解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P0.60.50.3，故选D.2甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A. B. C. D.解析：选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A、B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)P(A)P(B).3某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(
14、2)拨号不超过3次而接通电话解：设Ai第i次拨号接通电话，i1，2，3.(1)第3次才接通电话可表示为A1A2A3，于是所求概率为P(A1 A2A3).(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1A1 A2A1A2A3，于是所求概率为P(A1A1A2A1A2A3)P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3). 知识结构深化拓展1.互斥事件与相互独立事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：AB(或AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A
15、)P(B)2与相互独立事件A，B有关的概率计算公式事件A，B的各种情形概率计算公式A，B同时发生P(AB)P(A)P(B)A，B都不发生P(A B)P(A)P(B)1P(A)1P(B)1P(A)P(B)P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P1P(AB)1P(A)P(B)A，B至少有一个发生P1P(A B)1P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)A，B恰好有一个发生PP(A BAB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)2P(A)P(B), A基础达标1(2018广州综合测试)投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，
16、则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.B.C. D.解析：选C.因为P(A)，P(B)，所以P()，P().又A，B为相互独立事件，所以P()P()P().所以A，B中至少有一件发生的概率为1P()1.2把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为()A掷出偶数点，B掷出奇数点；A掷出偶数点，B掷出3点；A掷出偶数点，B掷出3的倍数点；A掷出偶数点，B掷出的点数小于4；A1 B2C3 D4解析：选A.P(A)，P(B)，P(AB)0，所以A与B不独立P(A)，P(B)，P(AB)0，A与B不独立P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)P(A)P(B)，所以A与B独立
17、P(A)，P(B)，P(AB)，P(A)P(B)P(AB)，所以A与B不独立3某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p()A. B.C. D.解析：选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1(1p)4，解得p或p(舍去)故选B.4从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于()A2个球不都是红球的概率B2个球都是红球的概率C至少有1个红球的概率D2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件
18、A、B，则P(A)，P(B)，由于A、B相互独立，所以1P(A)P(B)1.根据互斥事件可知C正确5(2018重庆外国语学校高二期末)已知A，B是相互独立事件，若P(A)0.2，P(ABABAB)0.44，则P(B)()A0.3 B0.4C0.5 D0.6解析：选A.因为A，B是相互独立事件，所以A，B和A，B均相互独立因为P(A)0.2，P(ABABAB)0.44，所以P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.44，所以0.2P(B)0.8P(B)0.21P(B)0.44，解得P(B)0.3.6某自助银行设有两台ATM机在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为，则客户此刻到达需要
19、等待的概率为_解析：客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P.答案：7事件A，B，C相互独立，如果P(AB)，P(BC)，P(A B C)，则P(B)_，P(AB)_解析：因为P(AB)P(AB)P(C)P(C)，所以P(C)，即P(C).又P(BC)P(B)P(C)，所以P(B)，P(B).又P(AB)，则P(A)，所以P(AB)P(A)P(B)(1).答案：8有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是_解析：设“任取一本书是文科书”为
20、事件A，“任取一本书是精装书”为事件B，则A，B是相互独立事件，所求概率为P(AB)据题意可知P(A)，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B).答案：9某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)0.5，P(B)0.6，P(C)0.9.
21、(1)应聘者用方案一考试通过的概率为p1P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.50.60.10.50.60.90.50.40.90.50.60.90.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率为p2P(AB)P(BC)P(AC)0.50.60.60.90.50.90.43.10如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每次都能投中)，记“投中最左侧3个小正方形区域”为事件A，“投中最上面3个小正方形区域”为事件B.(1)求P(AB)，P(B|A)；(2)试判断事件A与事件B是否相互独立.解：(1)根据几何概型，得P(AB)，P(A)，所以P(B|A).(2)
22、根据几何概型，得P(B)，所以有P(B|A)P(B)，即P(B)，因而P(A)P(B)P(AB)由独立事件的定义，得事件A与事件B相互独立B能力提升11设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.设事件A，B发生的概率分别为P(A)x，P(B)y，则P(A B)P(A)P(B)(1x)(1y)，即1xyxy2，当且仅当xy时取“”，所以或(舍去)，所以0xy.所以P(AB)P(A)P(B)xy.12有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是_解
23、析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则DBC，且B与C互斥，又P(A)，P(AB)，P(AC)，故P(D|A)P(BC|A)P(B|A)P(C|A).答案：13在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、，且三个项目是否成功互相独立(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为(1)，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为(1)，只有绿色蔬菜种植和水果种
24、植两个项目成功的概率为(1)，所以恰有两个项目成功的概率为.(2)三个项目全部失败的概率为(1)(1)(1)，所以至少有一个项目成功的概率为1.14(选做题)一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：买饭时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个学生开始买饭时计时(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；(2)X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列解：设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如表：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个学生恰好等待
25、4分钟开始买饭”，则事件A对应三种情形：第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(2)X所有可能的取值为0，1，2，X0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5，X1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49，X2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01