1、福建省泰宁第一中学2020-2021学年高二数学上学期学分认定暨第二次阶段考试试题(考试时间:120分钟;满分:150分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）1. 已知两个向量，且，则的值为 A. 1B. 2C. 4D. 82. 正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是A. 圆柱B. 圆锥C. 圆台D. 两个圆锥3. 若向量，且与的夹角的余弦为，则等于A. 或B. C. 2D. 2或4. 若点为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A. B. C. D. 5. 直线与直线垂直，垂足为，则n的值为A. B. C. 0D.
2、 106. 下列能使向量，成为空间的一个基底的关系式是A. B. C. D. 7. 一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过A. 米B. 3米C. 米D. 米8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A. B. C. D. 二、不定项选择题
3、（本大题共4小题，共20分）9. 已知两条直线l，m及三个平面，下列条件中能推出的是 A. ，B. ，C. ，D. ，10. 已知空间中三点，则不正确的有 A. 与是共线向量B. 的单位向量是C. 与夹角的余弦值是D. 平面ABC的一个法向量是11. 已知点在圆上运动则下列选项正确的是 A. 的最大值为，最小值为B. 的最大值为，最小值为；C. 的最大值为，最小值为；D. 的最大值为，最小值为；12. 已知圆M：，直线l：下列命题中，正确的命题是 A. 对任意实数k和，直线l和圆M有公共点B. 对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切C. 对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切D
4、. 存在实数k与，使得圆M上有一点到直线l的距离为3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13. 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线方程是14. 一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为_15. 在长方体中，点E在棱AB上移动，则直线与所成角的大小是_，若，则_16. 已知向量，满足，则的最小值是_四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知的顶点，是BC的中点求直线AC的方程；求AC边上的高所在直线的方程18.如图，将棱长为2的正方体沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥
5、后得一四面体求该四面体的体积；求该四面体外接球的表面积19.已知直线：，：若，求实数a的值当时，求直线与之间的距离20.如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，点E，F分别为AD，PC的中点证明：平面PBE求点F到平面PBE的距离21.四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点求证：平面ADF；若直线DE与平面ADF所成角为，求线段CE的长；求二面角的余弦值22.在直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切求圆O的方程；设点为直线上一动点，若在圆O上存在点P，使得，求的取值范围；是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当
6、L与圆O交于A，B时，恒有？若存在，求点S的坐标；若不存在，说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题由，则存在实数k使得，即可得出【解答】解：，存在实数k使得，解得，则故选C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义，熟练掌握旋转体的结构特征是解答本题的关键正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，等同于以直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周【解答】解：正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，等同于以直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周，将直角三角形分割成两个小的直角三角形，相
7、当于这两个小的直角三角形绕直角边旋转，易知所得几何体是两个圆锥故选D3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题利用向量的夹角公式即可得出【解答】解：，即，解得或故选A4.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查两直线垂直的判定，属于基础题由垂径定理得到，利用两直线斜率间的关系得到，代入直线方程的点斜式即可求解【解答】解：圆心是点，要使点为圆的弦AB的中点，由题意得，所以，所以，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为，即，故选D5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了两条直线垂直的的运用，考查运算求解能力，属于基础题由两直线
8、垂直得m，再将代入直线得p，即可求出n值【解答】解：由题意，两直线的斜率均存在，由两直线垂直得，解得，将代入直线得，则，将代入直线得，则故选A6.【答案】C【解析】略7.【答案】B【解析】【分析】本题考查点与圆的关系，如图所示，半圆的方程为，由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高此时或，代入，求得y的值，进而即可求得结果【解答】解：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为，由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高此时或，代入，得负值舍去故选B8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了数学文化问题、点
9、关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短【解答】解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故，解得要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，所以“将军饮马”的最短总路程为，故选：A9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查面面垂直的判定定理，属于基础题根据面面垂直的判定定理及性质定理进行判断即可【解答】解：，由面面垂直的判定定理可知，A正确； B.，则存在直线且，又，又，B正确；C.，容易得出又，容易得出则，故C正确； D.，不能得出，故D不正确，如：斜坡内的
10、一条直线与斜坡与水平面的交线垂直，显然斜坡与水平面不垂直故答案为ABC10.【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查向量之间的运算，即向量坐标形式的数量积运算、向量坐标形式的共线与利用向量的数量积运算求平面的法向量，属于基础题分别表示出向量1，即可以判断与是否共线，与夹角大小，以及平面ABC的法向量【解答】解：根据题意两个向量的坐标表示，可得1，则，所以与不共线，所以A错误；B.结合题意可得：向量的模长等于，所以B错误；C.1，所以，所以C错误D.设平面ABC的一个法向量是，利用，即取，得，则平面ABC的一个法向量是，所以 D正确故选ABC11.【答案】BC【解析】本题重点考查与圆有关的最值
11、问题、点到直线的距离公式和斜率公式，考查推理能力和计算能力，属于中档题利用该直线与圆相切时，取得最大值与最小值即可求解；利用当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值即可求解12.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及判定，属于中档题求出圆的圆心与半径，利用圆心的轨迹方程经过原点，即可判断直线与圆的位置关系【解答】解：因为圆恒过定点，直线l：也恒过定点，所以直线l与圆M总有公共点，故A正确；对任意实数，直线l和圆M不一定相切，也可能相交，所以B不正确；因为圆心到直线的距离：，所以对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆M相切，故C正确；显然直线与圆不可能相离，所以D不正确，故
12、选AC13.【答案】【解析】【分析】本题考查点到直线的距离公式、圆的标准方程、直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系及判定，属于基础题写出圆的标准方程，写出圆心和半径，切线方程为，利用，求出k，即可求出结果【解答】解：圆的标准方程为，设切线方程为，则，解得，因为切点在第三象限，所以，则，所以直线方程为故答案为14.【答案】或【解析】【分析】本题主要考查点关于直线的对称、直线的点斜式方程、直线与圆相切等知识属于基础题先求出已知点关于y轴对称点，根据该点在反射光线上设出点斜式方程，最后根据相切关系求得斜率k即可【解答】解：点关于y轴的对称点为，易知反射光线所在直线的斜率存在，所以可设反射光线所在直线
13、的方程为，即因为反射光线所在直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，化为，解得或，故答案为或15.【答案】 1【解析】解：在长方体中，点E在棱AB上移动，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，0，0，0，2，设t，则t，0，直线与所成角的大小是t，解得，故答案为：，1以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设t，分别求出和，由，能求出直线与所成角的大小；分别求出，由，能求出AE的长本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用16.【答案】【解析】【分析】本题考查向量垂直的判断与证明，向
14、量的数量积，平面向量的坐标运算，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查分析问题解决问题的能力，化归与转化思想，数形结合思想，属于综合题由题意，向量与垂直，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，由，可得的终点C在以点为圆心，2为半径的圆上运动，令，则有，则点D在直线上运动，表示圆上点C和直线l上点D的连线的长，的最小值即为圆心到直线l的距离减半径即可【解答】解：由题意，向量与垂直，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，如图，由，设，则，整理得，可得的终点C在以点为圆心，2为半径的圆上运动，令，消去x得，则点D在直线上运动，表示圆上点C和直线l上点D的连线的长，
15、的最小值即为圆心到直线l的距离减半径，而圆心到直线l：的距离为，的最小值为故答案为17.【答案】解：设，由题意得直线AC的方程为；，边上的高所在直线的斜率，边上的高所在直线方程为：，即【解析】先设，再结合中点坐标公式求解即可；所求直线与AC直线垂直，可算出斜率，又直线过点B，利用点斜式即可求解；本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.【答案】解：切去的每个小三棱锥的体积为，正方体的体积为，故四面体的体积四面体的外接球也是正方体的外接球，故外接球的半径为，外接球的表面积为【解析】用正方体的体积减去四个小三棱锥的体积即可；四面体的外接球也是正方体的外接球，球的半径为正方体体对角线的一
16、半，从而可得出球的表面积本题考查了棱锥的体积计算，棱锥与外接球的位置关系，属于基础题19.【答案】解：当时，与不垂直，当时，因为，解得，由题意得且，解得或当时，与重合，故舍去；当时，为，为，即，综上：当时它们间的距离是【解析】本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想属于中档题当两条直线垂直时，斜率之积等于，解方程求出a的值利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值，则根据两平行线之间的距离公式计算即可20.【答案】证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则，且且，且，四边形DEGF为平行四边形，又平面PBE，平面PBE，平面PBE；解：由知，平面
17、PBE，点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，利用等体积法：，即，【解析】取PB的中点G，连接EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得且，得四边形DEGF为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定可得平面PBE；利用等积法可得：，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题21.【答案】解：证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得0，0，3，3，y，0，向量，向量，即，所以平面ADF解：设为平面ADF的法向量，则，不妨令，可得为平面
18、ADF的一个法向量，向量直线DE与平面ADF所成角为，于是有，所以，得，舍1，3，线段CE的长为2设b，为平面PED的法向量，则，不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，又为平面ADE的一个法向量，二面角的余弦值为：【解析】以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ADF求出平面ADF的法向量和平面ADF的一个法向量，利用向量法能求出线段CE的长求出平面PED的法向量，和平面ADF的一个法向量，平面ADE的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值本题考查线面垂直的证明，考查线段长和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题22.【答案】解：直线l：交x轴于，圆心半径，所以圆的方程如图，直线NP与圆相切，设，则，根据图象，N越靠近O点，ON越小，越大，由，得，设，由距离公式，解得，所以，若直线L的斜率不存在，显然S点存在；当斜率存在时，设L：，L与圆的交点，根据题意只需，即，把，带人并化简得，把L与圆联立解方程，得，带入上式，化简得，即，所以L：，恒过点【解析】本题考查了直线与圆的关系，是一般题根据直线与圆相切求出圆的半径即可求出圆的方程；判断出N的临界点，根据几何法，ON越小，越大，求出N的横坐标的范围；分两种情况讨论，对于斜率存在时，相当于斜率和为0，根据韦达定理，求出，判断出S
