1、3三个正数的算术几何平均不等式1.探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值3会用平均不等式解决实际中的应用问题,学生用书P9)1三个正数的算术几何平均不等式(定理3)如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值()(2)只对n2和n3的情形适用()(3)算数几何平均不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立()答案：(1)(2)(
2、3)2若a，b，c都是正数且abc6，则abc的最大值为()A2B27C8 D3解析：选C.因为a0，b0，c0，abc6，所以abc8，当且仅当abc2时“”成立3函数y2x2(xR)的最小值为()A6 B7C8 D9答案：A用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式学生用书P9已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：.【证明】因为abcd，所以ab0，bc0，cd0，ad0，所以(ad)(ab)(bc)(cd)339，即，当且仅当abbccd时，等号成立证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明(2
3、)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子 1.已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3.证明：因为x0，y0，xy0，所以2x2y2(xy)(xy)(xy)33，等号成立的条件是xy，即xy1.所以2x2y3.利用三个正数的算术几何平均不等式求最值学生用书P10求函数yx(x1)的最小值【解】因为x1，所以x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立即ymin4.用平均
4、不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等 (2)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性若x0，求函数y4x2的最小值解：因为x0，所以y4x24x23 3.当且仅当4x2(x0)，即x时，取“”，所以当x时，y4x2(x0)的最小值为3.应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题学生用书P10如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯众所周知，灯挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，
5、桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知道，桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？【解】因为r，所以Ek(00，y0，z0，且4(xyz)72，即xyz18.所以体积Vxyz216.当且仅当xyz6时，Vmax216.因此当长方体的长、宽、高均为6 cm时，其体积最大，最大值为216 cm3.2已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由
6、相似三角形的性质可得，所以r(Hh)所以V圆柱r2h(Hh)2h(0h0，b0，c0，等号成立的条件是abc.(2)与都是的特例，它们统称为均值不等式因此与基本不等式的应用是一样的(3)将不等式a3b3c33abc中的a，b，c分别以，代替就可得到.2定理3的两个推论(1)当abc为定值时：abc3，当且仅当abc时取等号(2)当abc为定值时：abc，当且仅当abc时取等号3用定理3求最值时的关注点一“正”：项或因式为正二“定”：项(因式)的和或积为定值三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立1正实数x，y，z满足xyz2，则()Axyz的最大值是3Bxyz的最大值是3Cxyz的最小值是3
7、Dxyz的最小值是3解析：选D.由三个正数的算术几何平均不等式，得xyz33，当且仅当xyz时，xyz取得最小值3.2设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为()A2B3C4 D6解析：选C.因为ab24a444134，当且仅当a1时，等号成立即ab2的最大值为4.3已知0x，则x2(12x)的最大值为_解析：因为0x，所以12x0，则x2(12x)xx(12x).当且仅当x12x，即x时等号成立故x2(12x)的最大值为.答案：4当x0时，(1)求yx的最小值(2)求yx的最小值解：(1)因为x0，所以yx33.当且仅当，即x2时，ymin3.(2)因为x0，所以yx44.当且仅当，即x3时，ymin4.