1、23双曲线23.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题知识链接1与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M到两定点F1、F2距离之差的绝对值为定值2a”中，“绝对值”三个字去掉答：不能否则所得轨迹仅是双曲线一支2如何判断双曲线1(a0，b0)和1(a0，b0)的焦点位置？答：x2系数是正的焦点在x轴上，否则焦点在y轴上预习导引1双曲线的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在
2、x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c，c2a2b2要点一求双曲线的标准方程例1根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P(3，)，Q(，5)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解(1)方法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，点P(3，)和Q(，5)在双曲线上，解得 (舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得解之得双曲线的标准方程为1.方法二设双曲线方程为1(mn0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.方法二焦点在x轴
3、上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，则解得双曲线的方程为1.(2)方法一设双曲线方程为1(a0，b0)由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线方程为1.方法二设双曲线方程为1 (4k16)，将点
4、(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.要点二由方程判断曲线的形状例2已知0180，当变化时，方程x2cosy2sin1表示的曲线怎样变化？解(1)当0时，方程为x21，它表示两条平行直线x1.(2)当090时，方程为1.当045时0，它表示焦点在y轴上的椭圆当45时，它表示圆x2y2.当450，它表示焦点在x轴上的椭圆(3)当90时，方程为y21.它表示两条平行直线y1.(4)当90180时，方程为1，它表示焦点在y轴上的双曲线(5)当180时，方程为x21，它不表示任何曲线规律方法像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：定型：以x2和y2的系数的正负来
5、确定；定量：以a、b的大小来确定跟踪演练2方程ax2by2b(ab0)表示的曲线是_答案焦点在y轴上的双曲线解析原方程可化为y21，ab0，0，知曲线是焦点在y轴上的双曲线要点三与双曲线有关的轨迹问题例3如图，在ABC中，已知AB4，且三内角A，B，C满足2sinAsinC2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sinA，sinB，sinC(R为ABC的外接圆半径)2sinAsinC2sinB，2ac2b，即ba，从而有CACBAB2)规律方法求解与双曲线有关的点的
6、轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪演练3如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有MF1R1，MF2R4，MF2MF131，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是
7、_答案焦点在y轴上的双曲线解析将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断原方程可化为1.k1，k210,1k0.已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线3过点(1,1)且的双曲线的标准方程是_答案y21或x21解析由于，b22a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，代入(1,1)点，得a2.此时双曲线方程为y21.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为x21.4平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足PF1PF26，则动点P的轨迹方程是_答案1(x3)解析根据双曲线的定义可得1.双曲线定义中|PF1PF2|2a (2ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a
8、2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21 (mn1解析依题意应有m10，即m1.3已知A(0，5)、B(0,5)，PAPB2a，当a3或5时，P点的轨迹为_答案双曲线一支或一条射线解析当a3时，2a6，此时AB10，点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)当a5时，2a10，此时AB10，点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线4设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_答案x2y21解析由题意
9、可知，双曲线的焦点在x轴上，且c，a1，则b2c2a21，所以双曲线C的方程为x2y21.5已知动圆M过定点B(4,0)，且和定圆(x4)2y216相切，则动圆圆心M的轨迹方程为_答案1解析设动圆M的半径为r，依题意有MBr，另设A(4，0)，则有MAr4，即MAMB4.亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又40)，另两边的斜率之积等于m(m0)求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形解设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB，kAC.由题意，得m，即1(y0)当m0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；当m0且m1时，轨迹是中心在原点，以坐
10、标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当1m0时，椭圆焦点在x轴上；当m0)，则由QF1QF2，得kQF1kQF21，1，c5，设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过点P(4，3)，1，又c2a2b225，a216，b29，双曲线的标准方程为1.9在平面直角坐标系xOy中，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为_答案(1,3)解析将方程化为1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k10且3k0，即1k5，则c2mm59，m7；(2)当焦点在y轴上时，有m0，则c2m5m9，m2；综上，m7或m2.12已知方程kx2y24，其中kR，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型解(
11、1)当k0时，方程变为y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程变为x2y24表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程变为1，表示焦点在y轴上的双曲线(4)当0k1时，方程变为1，表示焦点在y轴上的椭圆三、探究与创新13已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且MF1MF26，试判断MF1F2的形状解(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为1(a0，b0)，则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M点在右支上，则有MF1MF22，又MF1MF26，故解得MF14，MF22，又F1F22，因此在MF1F2中，MF1边最长，而cosMF2F10，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形
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