1、第2课时计数原理的综合应用1.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题2.会根据实际问题合理分类或分步探究点1组数问题用0，1，2，3，4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解】(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125种(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100种(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字
2、是0，则有4312种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有23318种排法因而有121830种排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数1变问法由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法由分步乘法计数原理共有233236个2变问
3、法在本例条件下，能组成多少个能被3整除的四位数？解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类所以满足题设的四位数共有2332136个解决组数间的方法(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A6B9C12 D24解析：选B
4、.根据0的位置进行分类：第一类，0在个位有2 110，1 210，1 120，共3个；第二类，0在十位有2 101，1 201，1 102，共3个；第三类，0在百位有2 011，1 021，1 012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.2若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A120个 B80个C40个 D20个解析：选C.当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1，2，能组成2个“伞数”；当十位数字为4时，个位数字和百位数字能取1，2，3，能组成326
5、个“伞数”；当十位数字为5时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，能组成4312个“伞数”；当十位数字为6时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，5，能组成5420个“伞数”，所以共能组成26122040个“伞数”探究点2选(抽)取与分配问题高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A16种B18种C37种 D48种【解析】法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有33
6、9种；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有33327种综上所述，不同的分配方案有192737种法二：(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：44433337种方案【答案】C解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，
7、则这3名学生的参赛的不同方法有()A24种 B48种C64种 D81种解析：选A.由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有43224种不同的参赛方法探究点3涂色(种植)问题(1)如图，要给地图上A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？(2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法【解】(1)法一：按ABCD的顺序分步涂色第一步：涂A区域，有4种不同的涂法；第二步：涂B区域，从
8、剩下的3种颜色中任选1种颜色，有3种不同的涂法；第三步：涂C区域，再从剩下的2种不同颜色中任选1种颜色，有2种不同的涂法；第四步：涂D区域，从与B、C区域不同的2种不同颜色中任选1种，有2种不同的涂法根据分步乘法计数原理，共有432248(种)不同的涂法法二：按所用颜色的多少分类涂色第一类：用三种颜色，有4(3211)24(种)不同的涂法；第二类：用四种颜色，有432124(种)不同的涂法根据分类加法计数原理，共有242448(种)不同的涂法(2)分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(
9、i)若第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有224种方法(ii)若第三块田放a：aba第四块有b或c两种方法：若第四块放c：abac第五块有2种方法；若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法综上，共有32(2221)42种方法解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取
10、情况分类，用分类加法计数原理计数 从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的各部分，若要求相邻的部分颜色不同，则不同的涂法共有多少种？解：依题意，可分两类情况：不同色；同色第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成第一步涂，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂与第四步涂时，分别有3种涂法和2种涂法于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为5432120(种)第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成第一步涂，有5种涂法；第二步涂，有4种涂法；第三步涂，有3种涂法于是由分步乘法计数原理得不同的涂法有5436
11、0(种)综上可知，所求的涂色方法共有12060180(种)1(2018苏州模拟)有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有()A6种B5种C4种 D3种解析：选C.若选甲、乙二人，可以甲操作A种车床，乙操作B种车床，或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B种车床，丙操作A种车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B种车床，丙操作A种车床这一种选派方法故共有2114(种)不同的选派方法故选C.2用0，1，9这10个数字，可以组成
12、有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D648解析：选B.0，1，2，9共能组成91010900个三位数，其中无重复数字的三位数有998648个，所以有重复数字的三位数有900648252个3如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A84 B72C64 D56解析：选A.分两种情况：当A，C同色时，A有4种选法，D有3种选法，B也有3种选法，共有43336(种)涂色方法；当A，C不同色时，A有4种选法，C有3种选法，B有2种选法，D也有2种选法，共有43
13、2248(种)涂色方法由分类加法计数原理知总的涂色方法种数为364884.4从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？解：第一类：一位数中除8外符合要求的有8个；第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有89个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有99个，而百位上数字是2的只有200符合所以总共有889991162(个) 知识结构深化拓展解决较为复杂的计数问题综合应用合理分类，准确分步：1处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“
14、分步”的具体标准2分类时要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)；(2)总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准3分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想., A基础达标1把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A24种B4种C43种 D34种解析：选C.第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就
15、做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法2在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有()A512个 B192个C240个 D108个解析：选D.能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有54360个另一类是末位为5，由分步乘法计数原理共有44348个由分类加法计数原理得所求的四位数共有6048108个3(2018福建厦门模拟)集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14C15 D21解析：选B.因为Px，1，Qy，
16、1，2，且PQ，所以xy，2所以当x2时，y3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当xy时，x3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；共有7714种情况即这样的点的个数为14.4(2018福建漳州长泰一中高二下学期期中)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为()A64 B56C53 D51解析：选C.由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8756(个)对数式，其中，log24log39，log42log93，
17、log23log49，log32log94，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为156453.故选C.5(2018湖北八校联考)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有位车主上网自编号码，第一个号码(从左到右)想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码的所有可能情况有()A180种 B360种C720种 D960种解析：选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码的所有可能情况有53444
18、960(种)6从集合1，2，3，11中任选2个元素作为椭圆方程1中的m和n，则落在矩形区域B(x，y)|x|11且|y|9内的椭圆个数为_解析：根据题意，知当m1时，n可等于2，3，8，共对应7个不同的椭圆；当m2时，n可以等于1，3，8，共对应7个不同的椭圆同理可得，当m3，4，5，6，7，8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m9时，n可以等于1，2，8，共对应8个不同的椭圆；当m10时，共对应8个不同的椭圆综上所述，对应的椭圆共有788272(个)答案：727甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有_种推选方法解析：分为三类：
19、甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3515(种)选法；甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有326(种)选法；乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5210(种)选法综上，根据分类加法计数原理，共有1561031(种)推选方法答案：318甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则有_种不同的冠军获得情况解析：可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成
20、这件事分三步：第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况由分步乘法计数原理知，共有4444364种不同的冠军获得情况答案：649有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少
21、种？解：(1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个所以甲有6种不同的获奖情况(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有44464(种)10把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第96项是多少？解：将由1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类，共五类，每类组成的数字数为：432124个(1)万位数字为4，且比43 251小的数的个数有：3213212115个，所以43 251是这个数列
22、的第32415188项(2)因为96424，所以这个数列的第96项是45 321.B能力提升11从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A24种 B18种C12种 D6种解析：选B.法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3216种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3216种不同的种植方法故共有6318种不同的种植方法法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有43224种方法，其中不种黄瓜有3216种方法，故共有24618种不同的种植方法12(2018内蒙古包头一中月考)如图，用5种不同
23、颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有_种解析：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，所以共有5433180(种)不同的涂色方案答案：18013(2018长沙模拟)用1，2，3，4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列an(1)写出这个数列的前11项；(2)若an341，求项数n.解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133；(2)比an341小的数有两类：首位
24、是1或2： 12,313233首位是3：故共有：24413444(项)因此an341是该数列的第45项，即n45.14(选做题)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在，四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若n6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n的值解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为，着色时各自的方法数，再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数(1)为着色有6种方法，为着色有5种方法，为着色有4种方法，为着色也有4种方法所以共有着色方法6544480种(2)与(1)的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n1)(n2)(n3)由n(n1)(n2)(n3)120，所以(n23n)(n23n2)1200.即(n23n)22(n23n)12100.所以n23n100.所以n5.