1、选修42矩阵与变换A最新考纲1了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系2了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示3理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质4理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵5理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1矩阵的乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.设A是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，、1、2是任意三个实数，则A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)两个二阶矩阵
2、相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：性质：一般情况下，ABBA，即矩阵的乘法不满足交换律；矩阵的乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)；矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1，A1B.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A(detAadbc0)，它的逆矩阵为A1.(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A可逆，那么该方程组有唯一解1，其中A1.3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量
3、的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设是二阶矩阵A的一个特征值，它的一个特征向量为，则A，即满足二元一次方程组故(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式0.记f()为矩阵A的特征多项式；方程0，即f()0称为矩阵A的特征方程(3)特征值与特征向量的计算如果是二阶矩阵A的特征值，则是特征方程f()2(ad)adbc0的一个根解这个关于的二元一次方程，得1、2，将1、2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解记1，2.则A111、A222，因此1、2是矩阵A的
4、特征值，1，2为矩阵A的分别属于特征值1、2的一个特征向量诊 断 自 测1. _. 解析. 答案2若A，B，则AB_.解析AB. 答案3设A，B，则AB的逆矩阵为_解析A1，B1(AB)1B1A1 .答案4函数yx2在矩阵M变换作用下的结果为_解析 xx，y4y，代入yx2，得yx2，即yx2.答案yx25若A，则A的特征值为_解析A的特征多项式f()(1)(2)302328(7)(4)，A的特征值为17，24.答案7和4考点一矩阵与变换【例1】 (2014苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M所对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值解设点(x，y)是直线xy1上任意一点
5、，在矩阵M的作用下变成点(x，y)，则 ，所以因为点(x，y)，在直线x2y1上，所以(22b)x(a2)y1，即所以规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键【训练1】 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A(0,3)，B(1，1)，试求变换S对应的矩阵T.解设T，则T： ，解得T： ，解得综上可知T.考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标解依题意得由M，得|M|1，故M1.从而由得，故A(2，3)为所求规律方法
6、求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(AB)1B1A1性质的应用【训练2】 已知矩阵A，(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组解(1)法一设逆矩阵为A1，则由，得解得A1.法二由公式知若A，(2)已知方程组可转化为即AXB，其中A，X，B，且由(1)，得A1.因此，由AXB，同时左乘A1，有A1AXA1B.即原方程组的解为考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知aR，矩阵A对应的线性变换把点P(1,1)变成点P(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量解由题意 ，得a13，即a2，矩阵A的特征多项式为f()(1)24(1
7、)(3)，令f()0，所以矩阵A的特征值为11，23.对于特征值11，解相应的线性方程组得一个非零解因此，是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量；对于特征值23，解相应的线性方程组得一个非零解因此，是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量规律方法 已知A，求特征值和特征向量，其步骤为：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量【训练3】 (2014扬州质检)已知矩阵M，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量解由矩阵M的特征多项式f()(3)210，解得12，24，即为矩阵M的特征值设矩阵M的特征向量为，当12时，由M2
8、，可得可令x1，得y1，1是M的属于12的特征向量当24时，由M4，可得取x1，得y1，2是M的属于24的特征向量用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M对应的变换T将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：xy4，求l的方程审题视点(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法解(1)设M，则，所以且解得所以M.(2)因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，直线l的方程是xy20.反思感悟(1)本
9、题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误【自主体验】(2014南京金陵中学月考)求曲线2x22xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M，N.解MN.设P(x，y)是曲线2x22xy10上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，y)，则，于是xx，yx，代入2x22xy10，得xy1.所以曲线2x22xy10在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy1.一、填空题1已知变换T：，则该变换矩阵为_解析可写成.答案2计算等于
10、_解析.答案3矩阵的逆矩阵为_解析5，的逆矩阵为.答案4若矩阵A把直线l：2xy70变换成另一直线l：9xy910，则a_，b_.解析取l上两点(0,7)和(3.5,0)，则，.由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在l上，代入得a0，b1.答案015矩阵M的特征值为_解析f()(6)(3)180.0或3.答案0或36已知矩阵M，则M(24)_.解析24，M(24).答案7曲线C1：x22y21在矩阵M的作用下变换为曲线C2，则C2的方程为_解析设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，则，即因为P是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x2y)2y2
11、1.答案(x2y)2y218已知矩阵A，B，则满足AXB的二阶矩阵X为_解析由题意，得A1 AXB，XA1B. 答案9已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，则矩阵A为_解析设A，由，得由3，得所以所以A.答案二、解答题10(2012江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值解因为AA1E，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.11已知矩阵A，A的一个特征值2，其对应的特征向量是1.(1)求矩阵A；(2)若向量，计算A5的值解(1)A.(2)矩阵A的特征多项式为f()2560，得12，23，当12时，1，当23时，得2.由m1n2，得解得m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.12(2012福建卷)设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解(1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21，依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2.所以|A2|1，(A2)1.