1、 A基础达标 1.若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A.2 B.C. D.解析：选A.因为是纯虚数，所以a2.2.已知复数z1i，z2i，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选D.因为z1i，z2i，所以zi，所以复数z在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.3.对于数25，规定第1次操作为2353133，第2次操作为13333355，第3次操作为5353250，如此反复操作，则第2 018次操作后得到的数是（）A.25 B.250C.55 D.133解析：选C.由规定：第1次操作为2353133，第2次操作为13333355，第3次操作为
2、5353250，第4次操作为235303133，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 01836722，故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数，即55，故选C.4.已知命题12222n12n1（nN*）及其证明：（1）当n1时，左边1，右边2111，所以等式成立；（2）假设当nk时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11，所以当nk1时等式也成立.由（1）（2），知对任意的正整数n等式都成立.则以下说法正确的是（）A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确解析：选B.命题正确，但证明nk1时
3、没有用到假设的结论，故推理不正确.5.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：（ab）2（bc）2（ca）20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立.其中判断正确的个数为（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选B.若（ab）2（bc）2（ca）20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确.ab与bc及ac中最多只能有一个成立，故不正确.由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确.6.已知mR，复数的实部和虚部相等，则m.解析：由，由已知得，则m.答案：7.在平面几何中：ABC中C的内角平分线CE
4、分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图），DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是.解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.答案：8.观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，S4n5n4n3n，S5An6n5n4Bn2，可以推测，AB.解析：由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推测A.又Sk的各项系数的和为1，所以AB1，所以B.故AB.答案：9.已知|x|1，|y|1，用分析法证明：|xy|1xy|.证明：要证|xy|1xy|，即证（xy）2（1xy）2，即证x2y21x2y2，即证（x21）（1y2）0，因为|
5、x|1，|y|1，所以x210，1y20，所以（x21）（1y2）0，不等式得证.10.设f（x），g（x）（其中a0，且a1）.（1）523，请你推测g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解：（1）由f（3）g（2）g（3）f（2），又g（5），因此g（5）f（3）g（2）g（3）f（2）.（2）由g（5）f（3）g（2）g（3）f（2），即g（23）f（3）g（2）g（3）f（2），于是推测g（xy）f（x）g（y）g（x）f（y）.证明：因为f（x），g（x）（大前提）.所以g（xy），g（y），f（y），（小
6、前提及结论）所以f（x）g（y）g（x）f（y）g（xy）.故推测正确.B能力提升11.定义：如果函数yf（x）在定义域内的给定区间a，b上存在x0（ax0b），满足f（x0），则称函数yf（x）是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，例如yx2是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f（x）x3mx是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是.解析：由f（x）x3mx是1，1上的平均值函数，知关于x的方程x3mx在区间（1，1）上有解，即方程x3mxm10在区间（1，1）上有解，就是方程mx2x1在区间（1，1）上有解.因为当x（1，1）时，x2x1，所以m的取值范围是.
7、答案：12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn.可以推测：（1）b2 016是数列an中的第项；（2）b2k1（用k表示）.解析：观察知这些三角形数满足an，nN*，当n5k1或n5k，kN*时，对应的三角形数是5的倍数，为数列bn中的项，将5k1和5k列为一组，所以b2 016是第1 008组的后面一项，即b2 016是数列an中的第51 0085 040项；b2k1是第k组的前面一项，是数列an中的第5k1项，即b2k1a5k1.答
8、案：（1）5 040（2）13.设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.（1）证明：l1与l2相交；（2）证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上.证明：（1）假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为两直线的斜率，则有k1k2，代入k1k220，消去k1，得k20，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1k2，即l1与l2相交.（2）法一：由方程组，解得故l1与l2的交点坐标为.而21.此即表明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上.法二：l1与l2的交点P的坐标（x，y）满足故知x0.从而代入k1k220，得20，整理后，得2x2y21，所以交点P在椭圆2x2y21上.14.（选做题）观察下列各不等式：1，1，1，1，（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n（n2）有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论.解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为1（nN*，且n2）.（2）证明：当n2时，由题设可知，不等式显然成立.假设当nk（k2，kN*）时，不等式成立，即1，那么，当nk1时，有12.所以当nk1时，不等式也成立.根据和，可知不等式对任何nN*且n2都成立.