1、阶段质量检测（三） 空间向量与立体几何(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则()()ABC D.解析：选A在BCD中，因为点G是CD的中点，所以()，从而().2已知a(3,2,5)，b(1,5，1)，则a(a3b)()A(0,34,10)B(3,19,7)C44D23解析：选Ca3b(3,2,5)3(1,5，1)(0,17,2)，则a(a3b)(3,2,5)(0,17,2)0341044.3已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m8j3k，ni5
2、j4k，则mn()A7B20C28D11解析：选C因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.4已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A.BC.D.解析：选B设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.5已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 2x3y4z，则2x3y4z的值为()A1B1C2D2解析：选B由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1
3、，使得x1y1z1且x1y1z11.因此2x3y4z1，故选B.6在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则 P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2B3C4D5解析：选C|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确7已知正四棱锥SABCD的侧棱
4、长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为()A. BC. D. 解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，D(0，1,0)，AB，SD，SO1，S(0,0,1)，E，(0，1，1)cos， ，AE与SD所成角的余弦值为.8在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.BC.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，A1(2,0,4)，(0,2,4)，(2,0,4)，(0,0,4)设平面AB1D1的法向量n(x，y
5、，z)，则即令x2，得n(2，2，1)所以A1到平面AB1D1的距离为d.9已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A.BC.D.解析：选C设点Q(x，y，z)因为点Q在上，所以，可设x，01，则y，z2，则Q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22)，所以62161062.故当时，取得最小值，此时点Q.故选C.10.如图，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A.BC.D.解析：选C如图，作BDAP于点D，作CEAP于点E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，
6、ED.，2222222，cos，.故二面角BAPC的余弦值为.11.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()解析：选A如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为a，M(x，y,0)，则0xa,0ya，P，C(0，a,0)，则| ，| .由|，得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段yx(0xa)，故选A.12三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，N是BC
7、的中点，点P在A1B1上，且满足：，则直线PN与平面ABC所成角取最大值时的值为()A.BC.D.解析：选A如图，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系，则P(，0,1)，N，.易得平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，则直线PN与平面ABC所成的角满足：sin |cos，n|，于是问题转化为二次函数求最值，而，所以当sin 最大时，最大所以当时，sin 最大，为，同时直线PN与平面ABC所成的角取到最大值二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_.解析：由题意知ab，解得2.答案：21
8、4.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，若，为基底，则_.解析：()().答案： 15点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则的取值范围是_解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则()()2()|21.1|，0,4答案：0,416.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则|的值为_解析：设BD中点为O，连接OA，OC，则OC平面ABD，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，所以，(0，0)，所以(0，0)，
9、所以|.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab， bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos .18.(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC13，CD2，且
10、C1CBC1CD60.(1)设a，b，c，试用a，b，c表示；(2)已知O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，求CO的长解：(1)由a，b，c，得abc，所以abc.(2)O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点由已知条件得|a|b|2，|c|3，ab0，a，c60，b，c60.由(1)得abc，则|22(abc)2a2b2c22ab2bc2ac2222320223cos 60223cos 6029.所以A1C的长为，所以CO的长为.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1
11、)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F. (0，a,0)0.，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin .20(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBGC2
12、，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；(2)若F是棱PC上一点，且DFGC，求的值解：(1)以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,4)，故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，4)cos，GE与PC所成角的余弦值为.(2)，D.设F(0，y，z)，则(0，y，z).，0，即(0,2,0)2y30，y.又点F在PC上，即(0,2，4)，z1，故F，3.21(本小题满分12分)如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)证
13、明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小；(3)求点D到平面AMP的距离解：(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)， P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.(2)设n(x，y，z)为平面PAM的法向量，则即取y1，得n(，1，)取p(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，cosn，p.结合图形可知，二面角PAMD为45.(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n(，1，)与平面PAM垂直，则d，即点D到
14、平面AMP的距离为.22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B(0,3,0)，A1(0
15、,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)，(0,0,4)，(4，3,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n(0,4,3)设平面B1BC1的一个法向量为m(a，b，c)，则即令a3，得b4，c0，故平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题意知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时.