1、台州市 2024 届高三第一次教学质量评估试题数学2023.11命题：丁君斌（台州一中）王强（三门中学）审题：庄丰（玉环中学）本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共 60 分）一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 1,2,2,1A，,|1Bx yxy，则 AB（）A2,1B 2,1C 1,2D1,22若coscos3，则 的取值可以为（）A 6B 3C 56D 233已知非零向量 a，b，c满足 ab，1
2、3ca，若 c为b在 a上的投影向量，则向量 a，b夹角的余弦值为（）A 12B 13C 14D 154设，是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，且 a，b，则“/a b”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5杭州第 19 届亚运会火炬 9 月 14 日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8 公里从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑假设某段线路由甲、乙等 6 人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A288 种B360 种C480 种D504 种6函数 y
3、f x的图象如图所示，则如图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A112yfxB112yfx C42yfxD42yfx 7已知二面角l 的平面角为02，A，B，Cl，Dl，ABl，AB 与平面 所成角为 6 记ACD的面积为1S，BCD的面积为2S，则12SS的最小值为（）A2B3C32D 128已知1tan 2a，2tanb，3c，则（）A acbBcabC abcDbca二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，
4、2，3，4，5，6，从中有放回的随机取 5 次，每次取一个球记录每次取到的数字，统计后发现这 5 个数字的平均数为 2，方差小于 1，则（）A可能取到数字 4B中位数可能是 2C极差可能是 4D众数可能是 210已知等差数列 na中，14a，公差为 2，tannnba，记nS 为数列 na的前 n 项和，则下列说法正确的是（）A1nnb B1123112nnbbbb C若nnnca b，则112314nnnccccD若nnndb S，则2123224nnndddd 11已知 A 为双曲线C：221169xy 上位于第一象限内一点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 M，点 B 与点 A关于原点
5、对称，点 F 为双曲线C 的左焦点，则（）A若10AB，则 AFBFB若 AFBF，则ABF的面积为 9C2AFAM D AFAM的最小值为 812已知 g x 是定义域为 R 的函数 f x 的导函数，01f，10f，20g xgx，01f xg xx，则下列说法正确的是（）A 21fB 13ef（e 为自然对数的底数，e2.71828）C存在0 x R，00f xD若00,1x，则00,1f x非选择题部分（共 90 分）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若12i2z（i 为虚数单位），则 z _14浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权
6、甲、乙、丙三所学玟分别有 75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为1:1:2，现从这三所学玟中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为_15在ABC中，角 A，B，C 所对的分别为 a，b，c 若角 A 为锐角，3b，4c，则ABC的周长可能为_（写出一个符合题意的答案即可）16抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴过抛物线C：24yx上的点 P（不为原点）作C 的切线l，过坐标原点O 作OQl，垂足为Q，直线 PF（F为抛物线的焦点）与直线OQ 交于点T，点0,2A，则 TA 的取值范围是_四、解答题：本题共 6
7、小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知等比数列 na的各项均为正数，前 n 项和为nS，若*1212nnnaaanN，5121S（）求数列 na的通项公式；（）若lnnnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT 18已知 sinsincosf xxxxR（）当0 时，求 f x 的最小正周期以及单调递减区间；（）当2 时，求 f x 的值域19如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，4AB，2ADAE将ADE沿 AE折起，使点 D 到达点 P 的位置（第 19 题）（）若平面 APE 平面 ABCE，求证：APBE；（）若点 A 到直线 PC
8、 的距离为333，求二面角 PAEB的平面角的余弦值20为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绕（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）表一编号12345学习时间 x3040506070数学成绩 y65788599108（）请根据所给数据求出 x，y 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为 100 分钟时的数学成绩：（参考数据：5122820iiix y，51435iiy，ix 的方差为 200）（）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习经过一学期的实施后，抽样调查了 220 位学生按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步
9、统计，得到 2 2列联表（表二）依据表中数据及小概率值0.001 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：121niiiniixxyybxx，aybx22n adbcabcdacbd0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821已知椭圆 ：22211xyaa 的上、下顶点分别为 A，B，点Q 在线段 AB 上运动（不含端点），点1,0P，直线 PQ 与椭圆交于C，D 两点（点C 在点 P 左侧），PD 中点
10、 M 的轨迹交 y 轴于 E，F 两点，且32EF（）求椭圆 的方程；（）记直线 AC，AD 的斜率分别为1k，2k，求12kk的最小值22设 lnxfxx（）求证：21xf xx；（）若 2ln 1f xnx恒成立，求整数 n 的最大值（参考数据ln 20.693，ln31.099）台州市 2024 届高三第一次教学质量评估试题数学参考答案及评分标准 2023.11一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B2C3B4A5C6A7D8A二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选
11、项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9BD10BCD11ABD12ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 3214 4780159（答案不唯一，8,12 内的任何一个值均可）1651,51四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）解：（）设 na的公比为 0q q，依题意得：212nnnaqa qa，即2120qq，解得3q 或4q （舍去）又由5151 31211 3aS，解得11a，故1113nnnaa q；（）因为131 ln3nnb
12、n，所以012112333331231ln3nnnTbbbbn 1311ln31 3ln31 322nnnnnn 18（本小题满分 12 分）解：（）当0 时，sincos2 sin4f xxxx，令322242kxk，k Z，得52244kxk，k Z，所以函数 f x 的最小正周期为 2，单调递减区间为52,244kkkZ（）设sincos22xxtt，则2sin 21xt，令 21g ttt ，2,2t ，又 21524g tt，故当2t 时，g t 取得最大值12，当12t 时，g t 取得最小值54，所以 f x 的值域为5,12419（本小题满分 12 分）（）证明：因为四边形 A
13、BCD 为平行四边形，且ADE为等边三角形，所以120BCE 又 E 为CD 的中点，所以CEEDDACB，所以BCE为等腰三角形，故30CEB，所以18090AEBAEDBCE ，即 BEAE因为平面 APE 平面 ABCE，平面 APE 平面 ABCEAE，BE 平面 ABCE，所以 BE 平面 APE，又 AP 平面 APE，所以 APBE（）取 AE 的中点O，连接 PO，因为APE为等边三角形，所以 POAE，取 AB 的中点G，则/OG BE，由（）得 BEAE，所以OGAE，所以POG即为二面角 PAEB的平面角，记为 以点O 为坐标原点，以OA，OG，OZ 所在直线分别为 x
14、轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则1,0,0A，2,3,0C，0,3cos,3sinP，1,3cos,3sinPA；2,33cos,3sinPC，所以点 A 到直线 PC 的距离为2221 3cos4106cosPA PCAPPC，由21 3cos334106cos3，解得1cos3 ，或7cos9，所以二面角 PAEB的平面角的余弦值为13或 7920（本小题满分 12 分）解：（）3040506070505x，435875y，又ix，i1,2,3,5的方差为52112005iixx，所以 55115215228205 50 871.075 2001000iiiiiiiixx
15、yyxyx ybxx，87 1.07 5033.5aybx，故 1.0733.5yx，当100 x 时，140.5y，故预测每天课后自主学习数学时间达到 100 分钟时的数学成绩为 140.5 分（）零假设为0H：学生周末在校自主学习与成绩进步无关根据数据，计算得到：22222025 13035 3011012.22165 55 60 1609n adbcabcdacbd，因为12.2210.828，所以依据0.001 的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关21（本小题满分 12 分）解：（）设 PD 中点00,M xy，则0021,2Dxy，因为点Q 在线段 AB 上，可得00
16、21xa，即01122ax，由点 D 在椭圆 ：2221xya 上，所以 202022141xya，令00 x，得021112ya，由0322y，解得24a，故椭圆 的方程为2214xy（）设CD：1yk x，1k，11,C x y，22,D xy由22114yk xxy得2222418410kxk xk，2122841kxxk，21224141kx xk，又111111111ykxkkkkxxx，221kkkx，2422222112212122161644141113111114141kkkkxxkkkkkkxxx xkkk，令10,2tk，得22123641134632ttkkttt ，当
17、43t 即13k 时取等号，所以12kk的最小值为3222（本小题满分 12 分）解：（）要证：2ln1xxxx，（0 x，1x），只要证：1ln1xxx，因为1xx 与ln x 同号，只要证：1ln1xx，即证：1ln10 xx 令 1ln1g xxx，（0 x，1x），22111xgxxxx，由 0gx，得1x，所以 g x 在0,1 上递减，在1,上递增，所以 10g xg，故原不等式得证（）因为0,1x，当12x 时，有1ln32ln 22ln 2n，则1112,32 2ln 2ln3 ln 221.386 1.0990.6932 0.287 0.693n，所以整数2n 当2n 时，由（）可得22222ln 11xxx，下证：222ln1xxxx，0,1x，只要证：11ln2xxx令 12lnh xxxx，0,1x，因为 222221212110 xxxh xxxxx ，所以 h x 在0,1 上单调递减，故 10h xh，所以得证综上所述，整数 n 的最大值为 2
