1、22椭圆22.1椭圆的标准方程学习目标1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆知识链接命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和PAPB2a (a0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的_条件答案必要不充分解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有PAPB2a (a0且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件若PAPB2a (a0且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆这是因为：仅当2aAB时，P点的轨迹是椭圆；而当2aAB时，P点的轨迹是线段AB；当2ab0)1 (ab0)焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、
2、b、c的关系c2a2b2c2a2b2要点一用待定系数法求椭圆的标准方程例1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程解(1)方法一椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1 (ab0)由椭圆的定义知2a2，a.又c2，b2a2c21046.所求椭圆的标准方程为1.方法二设标准方程为1 (ab0)依题意得解得所求椭圆的标准方程为1.(2)方法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的标准方程为1 (ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求
3、椭圆的标准方程为1 (ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则与ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.方法二设椭圆方程为mx2ny21 (m0，n0，mn)椭圆过(2,0)和(0,1)两点，综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出
4、的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程跟踪演练1求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10,2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为1.要点二由方程确定曲线的类型
5、例2当3k9时，指出方程1所表示的曲线解3k0且k30.(1)若9kk3，即3k6时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)若9kk3，即k6时，则方程表示圆x2y23；(3)若9kk3，即6k9时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆规律方法本题易错点是没有讨论“k6”以及焦点在哪个坐标轴上跟踪演练2方程1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围解由题意得即故所求实数m的取值范围为(，0).要点三与椭圆有关的轨迹问题例3已知B、C是两个定点，BC8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示由BC8，
6、可知点B(4,0)，C(4,0)由ABACBC18，得ABAC10BC8，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10；但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)规律方法利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程特别注意点A不在x轴上，因此y0.跟踪演练3已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，PBr.又圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA10r，即
7、PAPB10(大于AB)点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a10,2cAB6.a5，c3.b2a2c225916.点P的轨迹方程为1.1设F1，F2为定点，F1F26，动点M满足MF1MF26，则动点M的轨迹是_答案线段解析MF1MF26F1F2，动点M的轨迹是线段2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_答案8m25解析依题意有解得8m25，即实数m的取值范围是8m25.3“1m3”是“方程1表示椭圆”的_条件答案即不充分又不必要解析当方程1表示椭圆时，必有所以1m3且m2；当1mF1F2时，轨迹是椭圆；当2aF1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免
8、分类讨论，达到了简化运算的目的一、基础达标1设F1，F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为_答案18解析PF1F2的周长为PF1PF2F1F22a2c.因为2a10，c4，所以周长为10818.2椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为_答案8解析由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是1028.3以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的方程是_答案x21解析设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，则解得椭圆方程为x21.4设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是_三角形答案直角解析由椭圆定义知PF1PF22
9、a8.又PF1PF22，PF15，PF23.又F1F22c24，PF1F2为直角三角形5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_答案1解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22；又因为a2b29，解得b29，a218.6已知P是椭圆1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P点的坐标是_答案(，)解析c2a2b225169，c3，椭圆的左焦点为(3,0)、右焦点为(
10、3,0)设P点坐标为(x，y)，则解得7已知椭圆两焦点为F1、F2，a，过F1作直线交椭圆于A、B两点，求ABF2的周长解如图所示，设椭圆方程为1 (ab0)，又a.ABF2的周长为AF1AF2BF1BF24a6.二、能力提升8如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_答案(6，2)(3，)解析椭圆焦点在x轴上，即a3或6a0)，则点P的轨迹是_答案椭圆或线段解析a26，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，PF1PF26F1F2，点P的轨迹是线段F1F2；当a0，且a3时，PF1PF26F1F2，点P的轨迹是椭圆10F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245
11、，则AF1F2的面积为_答案解析1，a29，b27，c22.a3，b，c.F1F22.设AF1x，则AF26x，AF1F245，(6x)2x284x.x.SAF1F22.11已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A，0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2aAF1AF24.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.12如图，已知椭圆的方程为1，P点是椭圆上的一点
12、，且F1PF260，求PF1F2的面积解由已知得a2，b，c1，F1F22c2，在PF1F2中，F1FPFPF2PF1PF2cos60，4(PF1PF2)22PF1PF22PF1PF2cos60，4163PF1PF2，PF1PF24，PF1PF2sin604.三、探究与创新13已知在RtABC中，CAB90，AB2，AC，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持PAPB的值不变，求曲线E的方程解如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在RtABC中，BC，PAPBCACB2，且PAPBAB，由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a，c1，b1.所求曲线E的方程为y21.