1、11命题及其关系11.1四种命题学习目标1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系知识链接在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答：判断一件事情的句子叫命题如：有两边相等的三角形是等腰三角形预习导引1命题的概念(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论2四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四
2、种不同形式的命题：原命题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换3四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真要点一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由(1)求证是无理数(2)若xR，则x24x70.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数(5)xy是有理数，则x、
3、y也都是有理数(6)60x94.解(1)祈使句，不是命题(2)是真命题，因为x24x7(x2)230对于xR，不等式恒成立(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数(5)是假命题，如x，y.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定规律方法判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题跟踪演练1下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假(1)4是集合1,2,3的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行解
4、(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题要点二四种命题的关系例2下列命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题其中是真命题的是_答案解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是
5、“若ab，则ac2bc2”，是假命题所以真命题是.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握跟踪演练2有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“同位角相等”的逆命题其中真命题的个数是_答案1解析“若xy0，则x，y不是相反数”，是真命题“若a2b2，则ab”，取a0，b1，a2b2，但ab，故是假命题“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43不是不等式的解，故是假命题“相等的角是同位角”，是假
6、命题要点三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集真假判断如下：抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a1，则4a70，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假解m0，12m0，12m40.方程x22x3m0的判别式12m40.原命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”为真又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题
7、也为真1下列语句不是命题的有_个21；x1；若x2，则x1；函数f(x)x2是R上的偶函数答案1解析可以判断真假，是命题；不能判断真假，所以不是命题2下列命题中的真命题是_互余的两个角不相等；相等的两个角是内错角；若a2b2，则|a|b|；三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案解析由平面几何知识可知三项都是错误的3命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_，它是_命题(填“真”或“假”)答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4给出以下命题：“若x2y20，则x、y不全为0”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题其中为真
8、命题的是_答案解析否命题是“若x2y20，则x，y全为0”，真命题逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题14m，若m0时，0，x2xm0有实根，即原命题为真逆否命题为真命题1.根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可2任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中3写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构
9、写出所有命题4每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论5判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.一、基础达标1若“a0，则ab0”的逆否命题是_答案若ab0，则a02命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是_答案若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题是既否定条件又否定结论因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数”3命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_答案2解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a6，则a3”，这是假命题，从而否命题也是假命
10、题，因此只有两个真命题4“若x，y全为零，则xy0”的否命题为_答案若x，y不全为零，则xy0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy0”5下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；正方形的四条边相等；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_(填序号)答案和和和6有下列三个命题：“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题其中真命题的序号为_答案解析命题：可考虑其逆命题“面积相等的三角形
11、是全等三角形”是假命题，因此命题是假命题；命题：“若x22xq0有实根，则q1”是真命题；命题是假命题7已知命题p：“若ac0，则二次方程ax2bxc0没有实根”(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论解(1)命题p的否命题为：“若ac0，则二次方程ax2bxc0有实根”(2)命题p的否命题是真命题证明如下：ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有实根该命题是真命题二、能力提升8命题“当ABAC时，ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有_个答案2解析原命题为真命题，逆命题“当ABC是等腰三角形时，ABAC”为假命题，否命题“当
12、ABAC时，ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当ABC不是等腰三角形时，ABAC”为真命题9已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”其中所有正确叙述的序号是_答案解析原命题的逆命题、否命题叙述正确逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”10给出下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面
13、内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，是真命题的是_(填序号)答案解析命题是假命题，“两条直线”应改为“两条相交直线”；命题是面面垂直的判定定理，是真命题；命题是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题11写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假(1)已知a，b，c，d是实数，若ab，cd，则acbd；(2)已知a，b，cR，若ac0，则ax2bxc0有两个不相等的实数根解(1)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab，cd，是假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若ab或cd，则acbd，是假
14、命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab或cd，是真命题(2)逆命题：已知a，b，cR，若ax2bxc0有两个不相等的实数根，则ac0.否命题：已知a，b，cR，若ac0，则ax2bxc0没有两个不相等的实数根，是假命题逆否命题：a，b，cR，若ax2bxc0没有两个不相等的实数根，则ac0，是真命题12判断命题：“若b1，则关于x的方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题的真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可方程判别式为4b24(b2b)4b，因为b1，所以40，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真
15、方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x22bxb2b0无实根，则b1”方程判别式为4b24(b2b)4b，因为方程无实根，所以0，即4b0，所以b1成立，即原命题的逆否命题为真三、探究与创新13已知函数f(x)在(，)上是增函数，a、bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解(1)逆命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，为真命题由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”为真命题因为ab0，则ab，ba.因为f(x)在(，)上为增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)因此否命题为真命题，即逆命题为真命题(2)逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，为真命题因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题因为ab0，所以ab，ba.又因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)所以f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命题为真命题