1、7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概
2、念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 1
3、.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(2)不等式x2y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()(3)不等式组表示的平面区域是下图中的阴影部分.()(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(6)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.()2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.(1,1)C.(1,3)D.(2，3)答案C解析把各点
4、的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.3.若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A.3B.C.2D.2答案C解析因为直线xy1与xy1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|，|AC|2，其面积为|AB|AC|2.4.(2013湖南)若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A.B.0C.D.答案C解析画出可行域如图.设zx2y，平行移动直线yxz，当直线yx过点M时，z取最大值，所以(x2y)max.5.(2013浙江)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.答案2解析作出可行域
5、如图阴影部分所示：由图可知当0k时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于()A.B.C.1D.2答案(1)B(2)B解析(1)由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，、z最大，将点(，2)的坐标代入zxy得z的最大值为4.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故选B.
6、题型三实际生活中的线性规划问题例3(2012江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50思维启迪根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题.答案B解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数zx0.9y的最大
7、值，根据题意画可行域如图阴影所示.当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大.思维升华线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；(3)求值解方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为1
8、0吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z为()A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元答案C解析设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为目标函数z450x350y.作出约束条件所表示的平面区域如图，然后平移目标函数对应的直线450x350y0(即9x7y0)知，当直线经过直线xy12与
9、2xy19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z450735054 900.题型四求非线性目标函数的最值例4(1)设实数x，y满足则的最大值为_.(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|的最小值是_.思维启迪与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.答案(1)(2)解析(1)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，)处取到最大值.(2)依题意得，(x1，y)，|可视为点(x，y)与点(1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在
10、该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，因此|的最小值是.思维升华常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2是与1关于直线3x4y90对称的区域，对于1中的任意一点A与2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.B.4C.D.2答案B解析由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值
11、的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小，故|AB|的最小值为24，选B.线性规划问题中忽视参数范围致误典例：(5分)已知x，y满足约束条件|x|2|y|2，且zymx(m0)的最小值等于2，则实数m的值等于_.易错分析本题容易出现的错误主要有两个方面：(1)没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域；(2)没有对参数m的取值情况进行分类讨论，造成漏解，只得到m1.解析原不等式等价于以下四个不等式组：因此可画出可行域(如图)：由zymx得ymxz.(1)当m时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)处取得最小值，因此202m，解得m
12、1.(2)当0m时，由图形可知，目标函数在点D(0，1)处取得最小值，因此21m0，m无解.(3)当m时，由图形可知，目标函数在点C(2,0)处取得最小值，因此202m，解得m1.(4)当m0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为()A.或B.3或1C.1D.答案C解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由解得交点B(t，t1)，在yx1中，令x0得y1， 即直线yx1与y轴的交点为C(
13、0,1)，由平面区域的面积S，得t22t30，解得t1或t3(不合题意，舍去)，故选C.2.直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个答案B解析在坐标平面内画出直线2xy100与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个.3.(2013天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A.7B.4C.1D.2答案A解析可行域如图阴影部分(含边界)令z0，得直线l0：y2x0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值.由得A(5,3).zmin3257，选A.4.O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，若点N(x，y)的坐
14、标满足则的最大值为()A.B.2C.D.2答案B解析如图，点N在图中阴影区域内，当O、M、N共线时，最大，此时N(，)，(1,1)(，)2，故选B.5.(2013山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上 一动点，则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.D.答案C解析画出图形，数形结合得出答案.如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分.由得A(3，1).当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM.二、填空题6.已知z2xy，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为_.答案5解析在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的
15、点(2，1)时，相应直线在x轴上的截距最大，此时z2xy取得最大值，最大值是z22(1)5.7.设z2xy，其中x，y满足，若z的最大值为6，则k的值为_，z的最小值为_.答案22解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xy6，结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xy6与xy0的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最小值，最小值是z2(2)22.8.铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：ab(万吨
16、)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元).答案15解析设购买铁矿石A、B分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则，目标函数z3x6y，由得记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z3x6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.三、解答题9.若直线xmym0与以P(1，1)、Q(2,3)为端点的线段不相交，求m的取值范围.解直线xmym0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ与直线xmym0不相交，则点P、Q在同一区域内，于是，或所以，m的取值范围是m.10.已知x，y满
17、足条件，求4x3y的最大值和最小值.解不等式组表示的区域如图所示.可观察出4x3y在A点取到最大值，在B点取到最小值.解方程组，得，则A(1，6).解方程组，得.则B(3,2)，因此4x3y的最大值和最小值分别为14，18.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.(2012课标全国)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A.(1，2)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,1)答案A解析如图，根据题意得C(1，2).作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2
18、z0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_.答案解析画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.4.当x，y满足约束条件(k为负常数)时，能使zx3y的最大值为12，试求k的值.解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示).当直线yxz经过区域中的点A时，截距最大.由得xy.点A的坐标为(，).则z的最大值为3()k，令12，得k9.所求实数k的值为9.5.(2013湖北)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的载
19、客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6).由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆.