1、16微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义2.掌握微积分基本定理的数学表达式3.会利用微积分基本定理求函数的定积分微积分基本定理内容如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)符号f(x)dxF(x)|F(b)F(a)从微积分基本定理可以看出，求定积分的关键是寻找原函数，如此就建立了积分与微分的联系中学阶段的定积分寻找原函数都是关注基本初等函数的导函数的原函数值得注意的是由于f(x)F(x)F(x)c，c为常数，因此原函数有无穷个，但是由于f(x)dxF(x)c|F(b)cF(a)cF(b)F(a)，所以我们一般选取最简单的原函数，不用加任意
2、常数 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若F(x)f(x)，则F(x)唯一()(2)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案：(1)(2)(3) dx等于()A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选D.dxln x|ln 4ln 2ln 2. (ex2x)dx等于()A1 Be1Ce De1解析：选C.(ex2x)dx(exx2)|(e1)1e. sin xdx_解析：sin xdxcos x|(cos )(cos 0)2.答案：2探究点1求简单函数的定积分求下列定积分
3、(1)xndx；(2)(cos xsin x)dx；(3)dx.【解】(1)xndxxn1|1n10n1.(2)(cos xsin x)dx(sin xcos x)(sin 2cos 2)(sin 0cos 0)0.(3)dx(exln x)|(e2ln 2)(e1ln 1)e2eln 2.(1)用微积分基本定理求定积分的步骤求f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a) (2)注意事项有时需先化简被积函数，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.1.dx_解析：dx|(ln 11)ln 2.答案：ln 22求下列定积分(1)
4、sin2 dx；(2)(2x2)(3x)dx；(3)(1)dx.解：(1)sin2，而cos x，所以sin2 dxdx.(2)原式(62x3x2x3)dx|.(3)(1)dx(x)dx|45.探究点2求分段函数的定积分(1)若f(x)求f(x)dx；(2)计算定积分|32x|dx.【解】(1) f(x)dxx2dx (cos x1)dx，又因为x2，(sin xx)cos x1，所以原式x3|(sin xx) (sin 00).(2)|32x|dx (32x)dx (2x3)dx(3xx2) (x23x) .分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算(2
5、)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算 1.e|x|dx_解析：e|x|dxexdxexdxex|ex|e0e1e1e02e2.答案：2e22已知f(x)求f(x)dx.解：f(x)dx(2xex)dxdx(x2ex)|(1e)(0e0)eln 2.探究点3利用定积分求参数(1)若(2x3x2)dx0(k0)，则k等于_(2)已知x(0，1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_【解析】(1)(2x3x2)dx(x2x3)|k2k30，所以k0(舍)或k1.(2)(12x2t)dt(12x)tt222x，即f(x)2x2，因为x(0，1，所以f(1)f(x)f(0)，即0f(x)0时，证明不等式2ln xex22.解：(1)由xf(x)2f(x)得x2f(x)2xf(x)，即x2f(x)，所以x2f(x)ln xc(c为常数)，即x2f(x)ln xc.又x2f(x)ln xdx1，即cdx1，所以cx|1，即2cc1，所以c1.所以x2f(x)ln x1，所以f(x).(2)证明：由第一问知f(x)(x0)，所以f(x)，当f(x)0时，xe，f(x)0时，0xe，f(x)e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以f(x)maxf(e)，所以f(x)，即2ln xex22.