1、文科数学一、单选题1已知全集，集合，（ ）ABCD【答案】A【解析】解一元二次不等式求得全集，由此求得.【详解】由，解得，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.2若为纯虚数，则z（ ）AB6iCD20【答案】C【解析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】 为纯虚数，且得，此时故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.3已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A7B10C63D18【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合等差中项性质即可得到答案.【详解】等差数列的首项为，公差为所以，所以，
2、所以，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，属于基础题.4 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()ABCD【答案】B【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有条
3、对角线且为实线的正方形，故选B.【考点】1、阅读能力及空间想象能力；2、几何体的三视图.5已知为锐角，且，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】由可得，再利用计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.6若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解.【详解】；.故选：B【点睛】本题考查指对数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.已知函数是定义域为的偶函数，当时，则的解集为A B C D8已知在边长为
4、3的等边中，则（ ）A6B9C12D6【答案】A【解析】转化,利用数量积的定义即得解.【详解】故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.【详解】解：由得，且，当时，此时，排除B,C函数的导数，由得，即时函数单调递增，由得且，即或时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.10如图是函数图象的一部分，对
5、不同的，若，有，则（ ）A在上是减函数B在上是减函数C在上是增函数D在上是减函数【答案】C【解析】由条件根据函数的图象特征，求得，再根据，求得的值，可得的解析式，再根据正弦函数的单调性，即可得出结论.【详解】由函数图象的一部分，可得，函数的图象关于直线对称，.由五点法作图可得，.再根据，可得，.在上，故在上是增函数，故选：C.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，考查了函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题.11定义在上的偶函数，满足，当时，则不等式的解集为（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】先根据已知求得的周期为4，且图象关于对称，再求时，的解集为，根据对称性，在一个周期时
6、，的解集为；再利用周期性推广到时，得不等式的解集.【详解】，所以的周期为4，且图象关于对称，所以时，的解集为，又因为图象关于对称，得时，解的解集为，所以时，的解集为，.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的对称性，周期性，奇偶性解决不等式问题，是中档题.12设函数在定义域内只有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据极值点存在的条件可知，在定义域只有一个根，即可求出【详解】由题意可知在定义域只有一个根，显然，所以，即函数在上的图象与直线只有一个交点作出函数在上的图象，如图所示：所以，即故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，涉及转化思想的应用，属于基
7、础题二、填空题13函数在处的切线方程是_.【答案】【解析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：由函数，求导可得，所以，又，即函数在处的切线方程是，即，故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14如表是某厂2020年14月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份x1234用水量y2.5344.5由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是,预测2020年6月份该厂的用水量为_百吨.【答案】5.95【解析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出,然后代入x6,推出结果即可.【
8、详解】解：由题意可知,；又线性回归方程是,经过样本中心,所以,解得：,所以,x6时,0.76+1.755.95（百吨）.预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨.故答案为：5.95.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题.15已知数列满足，则的最小值为_.【答案】.【解析】由累加法求出数列的通项公式，进而可得到的解析式，再根据基本不等式可求得的最小值.【详解】，这个式子累加可得，又，则，当且仅当时取等号，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，考查基本不等式在最值中的应用，注意需写出取等号时的值，属于中档题.16已知边长
9、为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为_【答案】【解析】先计算出正三角形外接圆半径，再由与平面所成的角为，求出球的半径，进而可求出结果.【详解】设正的外接圆圆心为，易知，在中，故球的表面积为.【点睛】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可求解，属于基础题型.三、解答题17已知的三个内角，的对边分别为，.（1）求的最小值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；（2）由已知结合正弦定理，和差角公式及辅助角公式进行化简可求，然后结合同角平方关系即可求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理可得，即，又，即，
10、由余弦定理可得，当且仅当时取等号，故的最小值；（2）由（1）知，又结合正弦定理可得，；，整理可得，；由可得，故；.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在三角函数中化简求值的应用，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题.18四棱锥PABCD中，ABCD，ABBC，ABBC1，PACD2，PA底面ABCD，E在PB上.（1）证明：ACPD；（2）若PE2BE，求三棱锥PACE的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）过A作AFDC于F，推导出ACDA，ACPA，从而AC平面PAD，由此能求出ACPD（2）由VPACEVPABCVEABC，能求出三棱锥PACE的体积
11、【详解】（1）过A作AFDC于F，因为ABCD，ABBC，ABBC1，所以CFDFAF1，所以DAC90，所以ACDA，又PA底面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPA，又PA，AD平面PAD，PAADA，所以AC平面PAD，又PD平面PAD，ACPD.（2）由PE2BE，可得VPACEVPABCVEABC，所以，所以三棱锥PACE的体积VPACEVPABCVEABC.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，
12、求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据已知条件求出，即可求出通项公式.（2）用错位相减法，即可求出数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，即是与的等比中项，即，解得数列的通项公式为；（2）由（1）问可知两式相减并化得【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.202015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办.某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛.随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图.成绩在平均分以上（含平
13、均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下（不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.（1）在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率.附表及公式：，其中0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）.【解析】（1）由茎叶图求得平均数，再根据男生与女生分组情况填写二联表，求得再查表即可判断；（2）由分层抽样求出甲组和乙组人数，结合列举法
14、和古典概型公式即可求解；【详解】（1）由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人.作出列联表如下：甲组乙组合计男生6410女生41115合计101525将列联表数据代入公式计算得，.所以有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.（2）由分层抽样知，甲组应抽2人（记为、，乙组应抽3人（记为，.从这5人中抽取2人的情况分别是，共有10种.其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是，.故至少有1人在甲组的概率是.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，分层抽样法的应用，古典概型概率的求法，属于基础题21已知函数.（1）若，求的最大值；（2）当时，讨论的极值点的个数.【答案】（1
15、）；（2）答案见解析.【解析】（1）当，时，利用导数求出的单调性即可；（2）求出，然后分、三种情况讨论即可.【详解】（1）当，时，此时，函数的定义域为，由得：；由得：，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，（2）当时，函数定义域为，当时，对任意的恒成立，在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；当时，设，（i）当，即时，对任意的恒成立，即在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；（ii）当，即时，记方程的两根分别为，则，所以都大于0，即在上有2个左右异号的零点，所以此时极值点的个数为2.综上所述时，极值点的个数为0个；时，极值点的个数为2个.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、最值和
16、极值点，考查了分类讨论的思想，属于较难题.22在极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用互化公式，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出和的坐标，即可求出.【详解】解：（1）由于的极坐标方程为，根据互化公式得，曲线的直角坐标方程为：当时，当时，则曲线与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，围成图形的面积.（2）由得，其直
17、角坐标为，化直角坐标方程为，化直角坐标方程为，.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23已知函数，函数的定义域为R.（1）求实数的取值范围；（2）求解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）问题转化为：当时，不等式恒成立，根据绝对值的性质求出函数的最小值进行求解即可；（2）利用绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数的形式，然后分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为函数的定义域为R，所以，当时恒成立，即当时，不等式恒成立，因此只需，因为，当且仅当时取等号，即时，取等号，所以，因此，所以实数的取值范围为；（2）.当时，；当时，显然成立，所以；当时，综上所述：不等式的解集为：【点睛】本题考查了已知函数的定义域求参数取值范围，考查了解绝对值不等式，考查了绝对值的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.