1、1.3.3函数的最值与导数 基本练习夯基一、选择题1(2015漳州模拟)曲线yx2在点M(，)的切线的倾斜角的大小是()A30B45C60D90答案B解析y2x，当x时，y1，得切线的斜率为1，所以k1；1tan，0180，45，故选B.2(2015长春外国语学校高二期中)若f(x)sincosx，则f()等于()AcosBsinCsincosD2sin答案B解析f(x)sinx，f()sin.易错警示本题函数f(x)中，自变量为x，故sin为常数，常见错误是错选C.3(2015胶州市高二期中)函数f(x)x33x21是减函数的区间为()A(2，)B(，2)C(，0)D(0,2)答案D解析由f
2、(x)3x26x0，得0x2，函数f(x)x33x21是减函数的区间为(0,2)故选D.4(2015海南文昌高二期中)函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值答案C解析由y3x26x93(x1)(x3)0，得x1，x3，当x0；当1x2时，y0，解得a2或a0，所以f(x)在(1,3)上单调递增，又f(1)30，所以f(x)在(1,3)内与x轴只有一个交点三、解答题10(2015泉州市南安一中高二期末)设函数f(x)x2ax2lnx(aR)在x1时取得极值(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)f
3、(x)xa，因为当x1时f(x)取得极值，所以f(1)0，即1a20，解得a3，经检验，符合题意(2)由(1)得：f(x)x23x2lnx，f(x)x3，(x0)，令f(x)0解得0x2，令f(x)0解得1xbcBcabCcbaDbac答案D解析(x1)f(x)0，当x1时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增又f(1.9x)f(0.1x)，f(x)f(2x)，f(3)f2(1)f(1)，10，f(1)f(0)f()，f(3)f(0)0，解得x1，因此函数在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，又x1时，y2；x2时，y2；x0，y0，函数yx3
4、3x，x0,2的值域是2,2，故m2,2，m2,2，故选A.二、填空题15若函数f(x)x22xa在区间，3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.答案解析f(x)2x32，当10，当x1时，f(x)0.f(x)在，1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)12a3an.又f()5a，f(3)a，f()0.三、解答题17(2015郑州登封市高二期中)已知函数f(x)(e是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x1x2，f(x1)f(x2)时，证明：x1x20.解析(1)由f(x)(x1)得：f(x)，x1，令f(x)0得：x0，令f(x)0得：x0且x1，所以函
5、数f(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，1)，(1,0)(2)当x(，1)时，f(x)0，由(1)知f(x)在(1,0)上为减函数，在(0，)上为增函数，若f(x1)f(x2)，x1x2，则必有x1，x2(1，)，不妨设x1(1,0)，x2(0，)若证x1x20，即证x2x10，只需证f(x2)f(x1)，又f(x1)f(x2)，即证f(x1)f(x1)，设g(x)f(x)f(x)，x(1,0)，即证g(x)0在x(1,0)上恒成立，即证(1x)e2x(1x)0在(1,0)上恒成立设h(x)(1x)e2x(1x)，x(1,0)，则h(x)e2x(12x)1，令(x)e2x(12x)1
6、，则(x)4xe2x0，(x)在(1,0)上单调递增，则h(x)是(1,0)上的增函数，故h(x)h(0)0，所以原命题成立18(2015唐山市一模)已知函数f(x)x2lnx1，g(x)ex(2lnxx)(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值解析(1)由题意得x0，f(x)1.由函数f(x)在定义域上是增函数得，f(x)0，即a2xx2(x1)21(x0)因为(x1)211(当x1时，取等号)，所以a的取值范围是1，)(2)g(x)ex，由(1)得a2时，f(x)x2lnx1，因为f(x)在定义域上是增函数，又f(1)0，所以，当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0.所以，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0.故x1时，g(x)取得最大值g(1)e.