1、22.2 椭圆的简单几何性质第二课时 直线与椭圆的位置关系预习课本 P4748，思考并完成以下问题1点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？2直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？3直线被椭圆截得的弦长公式是什么？新知初探1点与椭圆的位置关系点 P(x0，y0)与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系：点 P 在椭圆上x20a2y20b21；点 P 在椭圆内部x20a2y20b21.2直线与椭圆的位置关系直线 ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系，判断方法：联立ykxm，x2a2y2b21，消 y 得一元二次方程当 0 时，方程有两解，直线与椭圆相交；当 0 时，方程有一解
2、，直线与椭圆相切；当 0 时，方程无解，直线与椭圆相离3直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦(2)求弦长的方法交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求根与系数的关系法：如果直线的斜率为 k，被椭圆截得弦 AB 两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|1k2x1x224x1x211k2y1y224y1y2.小试身手1已知点(2,3)在椭圆x2m2y2n21 上，则下列说法正确的是()A点(2,3)在椭圆外B点(3,2)在椭圆上C点(2，3)在椭圆内D点(2，3)在椭圆上答案：D2直线 yx
3、1 被椭圆x24 y221 所截得的弦的中点坐标是()A.23，53B43，73C.23，13D.132，172答案：C3设 F1，F2 分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为_答案：4直线与椭圆的位置关系典例 对不同的实数值 m，讨论直线 yxm 与椭圆x24 y21 的位置关系解 由yxm，x24 y21，消去 y，得x24(xm)21，整理得 5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当 5m0，直线与椭圆相交；当 m 5或 m 5时，0，直线与椭圆相切；当 m 5时，0直线与
4、椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离 活学活用若直线 ykx1 与焦点在 x 轴上的椭圆x25 y2m1 总有公共点，求 m 的取值范围解：直线 ykx1 过定点 A(0,1)由题意知，点 A 在椭圆x25 y2m1 内或椭圆上，025 12m1，m1.又椭圆焦点在 x 轴上mb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，由，得 1a2(x21x22)1b2(y21y22)0，变形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0，即 kABb2x0a2y0.活学活用 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的
5、离心率为 22，点(2，2)在 C 上(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有 a2b2a 22，4a2 2b21，解得 a28，b24.所以 C 的方程为x28 y241.(2)证明：法一：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb 代入x28 y241，得(2k21)x24kbx2b280.故 xMx1x22 2kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直线 OM 的斜率 kOM
6、yMxM 12k，即 kOMk12.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则x218 y2141，x228 y2241，得x1x2x1x28y1y2y1y240，kABy1y2x1x24x1x28y1y212xMyM.又 kO MyMxM，kABkOM12.直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值与椭圆有关的综合问题典例 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e 22，且点P(2,1)在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)斜率为1 的直线与椭圆 C 相交于 A，
7、B 两点，求AOB 面积的最大值解(1)由题意得eca 22，4a2 1b21，a2b2c2，a 6，b 3，椭圆 C 的方程为x26 y231.(2)设直线 AB 的方程为 yxm，联立yxm，x26 y231，得 3x24mx2m260，0，x1x24m3，x1x22m263，|AB|112|x1x2|439m2，原点到直线的距离 d|m|2.SOAB12439m2|m|2 239m2m2 23 9m2m223 22.当且仅当 m3 22 时，等号成立，AOB 面积的最大值为3 22.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结
8、合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 活学活用 已知椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，左、右焦点分别是 F1，F2，若椭圆 C 上的点 P1，32到 F1，F2 的距离和等于 4.(1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；(2)直线 l 过定点 M(0,2)，且与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，若AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解：(1)由题意得 2a4，得 a2，又点 P1，32 在椭圆x2a2y2b21 上，1434b21，解得 b21.椭圆 C 的方程
9、为x24 y21，焦点 F1(3，0)，F2(3，0)(2)由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l：ykx2，代入x24 y21，整理得(14k2)x216kx120，(16k)24(14k2)1216(4k23)0，得 k234.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2 16k14k2，x1x21214k2.AOB 为锐角，cos AOB0，则 OA OBx1x2y1y20，又 y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)1214k22k 16k14k2 444k214k2 0，k24.由得34
10、k24.解得2k 32 或 32 kb0)的焦点 F(c,0)的弦中最短弦长是()A.2b2aB2a2bC.2c2aD.2c2b解析：选 A 最短弦是过焦点 F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦将点(c，y)的坐标代入椭圆x2a2y2b21，得 yb2a，故最短弦长是2b2a.3若直线 kxy30 与椭圆x216y241 有两个公共点，则实数 k 的取值范围是()A.54，54B.54，54C.，5454，D.，54 54，54解析：选 C 由ykx3，x216y241得(4k21)x224kx200，当 16(16k25)0，即k 54 或 k 54 时，直线与椭圆有两个公共点故选 C.4已
11、知椭圆 C：y29x21，过点 P12，12 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且弦 AB被点 P 平分，则直线 AB 的方程为()A9xy40B9xy50C4x2y30D4x2y10解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)点 A，B 在椭圆上，y219x211，y229x221.，得y1y2y1y29(x1x2)(x1x2)0.P12，12 是线段 AB 的中点，x1x21，y1y21，代入得y1y2x1x29，即直线 AB 的斜率为9.故直线 AB 的方程为 y129x12，整理得 9xy50.5已知椭圆 C：x22 y21 的右焦点为 F，直线 l：x2，点 Al，线段
12、 AF 交椭圆 C于点 B，若 FA3 FB，则|AF|()A.2B2C.3D3解析：选 A 设点 A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆 C：x22 y21 知 a22，b21，c21，即 c1.右焦点 F(1,0)由 FA3 FB得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且 n3y0.x043，y013n.将 x0，y0 代入x22 y21，得12 43213n 21.解得 n21，|AF|212n2 11 2.6已知斜率为 2 的直线 l 经过椭圆x25 y241 的右焦点 F1，与椭圆交于 A，B 两点，则|AB|_.解析：因为直线 l 经过椭圆的右焦点 F1(1,0)，且斜率为 2，
13、则直线 l 的方程为 y2(x1)，即 2xy20.由2xy20，x25 y241得 3x25x0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x253，x1x20，所以|AB|1k2x1x224x1x2122 53240 5 53.答案：5 537已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_解析：MF1MF2，点 M 在以 F1F2 为直径的圆上，又点 M 在椭圆内部，cb，c2b2a2c2，即 2c2a2，c2a212，即ca0，0eb0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45
14、的直线被 C 所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入 C 的方程得16b21，b4.又 eca35，得a2b2a2 925，即 116a2 925，a5，C 的方程为x225y2161.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3)设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程 y45(x3)代入 C 的方程，得x225x32251，即 x23x80，解得 x1x23，AB 的中点坐标 x0 x1x2232，y0y1y2225(x1x26)65，即中点坐标为32，65.10.如图，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦
15、点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且AF22F2B，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2 为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即 bc.所以 a 2c，eca 22.(2)由题知 A(0，b)，F2(1,0)，设 B(x，y)，由AF22F2B，解得 x32，yb2.代入x2a2y2b21，得94a2b24b21，即 94a2141，解得a23，b22，所以椭圆方程为x23 y221.层级二 应试能力达标1若直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x
16、29 y241 的交点个数为()A2 B1C0D0 或 1解析：选 A 由题意，得4m2n2 2，所以 m2n24，则2m2，2nb0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291解析：选 D 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去 y，得a24 b2 x232a2x94a2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为32a22a24 b2 1，即
17、 a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3.所以 E 的方程为x218y291.5过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，根据题意有 x1x2212，y1y2212，且y1y2x1x212，所以 2a2 2b212 0，得 a22b2，所以 a22(a2c2)，整理得 a22c2，所以ca 22，即 e 22.答案：226在离心率为 32 的椭圆x2a2y2b21(ab0
18、)上任取一点 M，过 M 作 MN 垂直 y 轴于点 N，若MP12MN，点 P 的轨迹图形的面积为，则 a 的值为_解析：设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(0，y0)，由条件MP12MN可知点 P 是线段 MN 的中点，故x12x0，yy0，即x02x，y0y，由离心率为ca 32，可得 4c23a2，即 4a24b23a2，故 a2b.故椭圆方程为 x24b2y2b21，把点 M(x0，y0)代入可得2x24b2 y2b21，即 x2y2b2，表示半径为 b 的圆，面积为 b2.故 b1，a2b2.答案：27在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，3)，(0，3)的距离
19、之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C.(1)求 C 的方程；(2)设直线 ykx1 与 C 交于 A，B 两点，k 为何值时 OA OB？此时|AB|的值是多少解：(1)设 P(x，y)，由椭圆的定义知，点 P 的轨迹 C 是以(0，3)，(0，3)为焦点，长半轴长为 2 的椭圆，它的短半轴长 b22 321.故曲线 C 的方程为y24x21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykx1，y24x24.消去 y，并整理，得(k24)x22kx30.由根与系数的关系得x1x2 2kk24，x1x23k24.若 OA OB，则 x1x2y1y20.因为 y1y2(kx11)(kx21
20、)k2x1x2k(x1x2)1，所以 x1x2y1y23k24 3k2k24 2k2k2414k21k24 0，所以 k12.当 k12时，x1x2 417，x1x21217.所以|AB|1k2x1x224x1x254 417241217 4 6517.8在直角坐标平面内，已知点 A(2,0)，B(2,0)，P 是平面内一动点，直线 PA，PB 斜率之积为34.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点12，0 作直线 l 与轨迹 C 交于 E，F 两点，线段 EF 的中点为 M，求直线 MA 的斜率 k 的取值范围解：(1)设 P 点的坐标为(x，y)，依题意，有 yx2yx234(x
21、2)，化简并整理，得x24 y231(x2)动点 P 的轨迹 C 的方程是x24 y231(x2)(2)依题意，直线 l 过点12，0 且斜率不为零，故可设其方程为 xmy12，联立xmy12，x24 y231消去 x，并整理得 4(3m24)y212my450，0 恒成立设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，则 y1y23m3m24，y0y1y223m23m24，x0my01223m24，k y0 x02m4m24.当 m0 时，k0；当 m0 时，k14m4m.4m4m 4|m|4|m|8，014m4m18，0|k|18，18k18且 k0.综合可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是18，18.