1、2015-2016学年福建省周宁一中、政和一中高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Cx+2Da2+b2，a，bR2，则AB=（）A1.2B（1.2C1.2）D3若函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A（，0B0，+）C（，0）D（0，+）4设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是
2、平面ABC内一定点，P是ABC内的一动点，若=（+），0，+），则直线AP一定过ABC的（）A重心B垂心C外心D内心6如果复数z=a2+a2+（a23a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A2或 1B2C1D27由y=f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则 f（x）为（）A2sinB2sinC2sinD2sin8在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A10B18C20D289函数f（x）=3sin（2x+），（0，）满足f（|x|）=f（x），则的值为（）ABCD10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
3、积为（）A4BC2D11如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）ABCD12已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（1，2014）B（1，2015）C（2，2015）D2，2015二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13图中阴影部分的面积等于14已知F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|若PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为15如图，
4、测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD=75，BDC=60，CD=20，并在点C测得塔顶A的仰角为45，则塔高AB为16设函数f（x）的定义域为D，若任取x1D，存在唯一的x2D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：y=x；y=x2；y=4sinx；y=lgx；y=2x则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17已知向量（xR），设函数f（x）=1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B
5、=，边AB=3，求边BC18如图，菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，DE平面ABCD；（）求证：ACBE；（）若ADC=120，DE=2，BE上一点F满足OFDE，求直线AF与平面BCE所成角的正弦值19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列cn的前n项和Tn，若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围20如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（2，0），A2（2，0）过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是
6、否存在实数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21已知椭圆C： +=1（ab0）过点A（，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQMN求四边形PMQN面积的最小值22已知函数g（x）=（2a）lnx，h（x）=lnx+ax2（aR），令f（x）=g（x）+h（x），其中h（x）是函数h（x）的导函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当8a2时，若存在x1，x21，3，使得|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3+ln（a）
7、 恒成立，求m的取值范围本题设有23、24两个选考题，请考生任选1题作答，满分10分，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先将所选题号在答题卡相应位置涂黑选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2（）求曲线C2的普通方程；（）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲24设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，a、bM，（1）证明：|a+b|；（2）比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由2015-201
8、6学年福建省周宁一中、政和一中高三（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Cx+2Da2+b2，a，bR【考点】基本不等式；命题的真假判断与应用【分析】由不等式的性质，逐个选项验证即可【解答】解：选项A，由指数函数的性质可得任意x均有ex0，故错误；选项B，当x=3时，不满足2xx2，故错误；选项C，当x为负数时，显然x为负数，故错误；选项D，a2+b2=0，故a2+b2，故正确答选：D2，则AB=（）A1.2B（1.2C1.2
9、）D【考点】交集及其运算【分析】由集合A中的函数为根式函数，根据二次根式函数的定义域确定出集合A，求出集合B中二次函数的值域，确定出集合B，找出两解集的公共部分即可得到两集合的交集【解答】解：由集合A中的函数y=，得到集合A=x|0x2由集合B中的函数y=2，得到集合B=y|1y2，则AB=1.2）故选：C3若函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A（，0B0，+）C（，0）D（0，+）【考点】函数的零点【分析】函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点化为求m=log2x的值域【解答】解：函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点，m+log2x=0在x1
10、时有解；m=log2xlog21=0，故选：A4设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项【解答】解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选B5已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是ABC内的一动点，若=（+），0，+），则直线AP一定
11、过ABC的（）A重心B垂心C外心D内心【考点】三角形五心【分析】由已知条件画出草图，利用数形结合思想求解【解答】解：如图，取BC的中点P并连结AD，则+=，=（+），0，+），=，即A、P、D三点共线，又AD为BC边上的中线，直线AP一定过ABC的重心，故选：A6如果复数z=a2+a2+（a23a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A2或 1B2C1D2【考点】复数的基本概念【分析】由复数z=a2+a2+（a23a+2）i为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案【解答】解：由复数z=a2+a2+（a23a+2）i为纯虚数，得，解得a=2实数a的值为：2故选：B7由y=f（x）的图象向左平移个单位
12、，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则 f（x）为（）A2sinB2sinC2sinD2sin【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，即可得到f（x）的图象，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律求得f（x）的解析式【解答】解：由题意可得y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin（6x）的图象再把函数y=2sin（6x）的图象向右平移个单位，即可得到f（x）=2sin6（x）=2sin（6x2）=2sin 的图象，故选B8在等差数列an中，已知a3+a
13、8=10，则3a5+a7=（）A10B18C20D28【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）即可得到结论【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故选C9函数f（x）=3sin（2x+），（0，）满足f（|x|）=f（x），则的值为（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】由条件可得f（x）为偶函数，故有+=k+，由此求得 的值【解答】解：函数f（x）=3sin（2x+），（0，）满足f（|x|）=f（x），f（x）为偶函数，故有+=k+，即
14、=k+，kZ当k=0时，=，故选：C10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4BC2D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V=故选：D11如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）ABCD【考点】直线与圆锥曲线的关系
15、【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=1，过A，B分别作AEDE于E，交y轴于N，BDDE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|1=|BF|1，|AN|=|AE|1=|AF|1，则=，故选：A12已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（1，2014）B（1，2015）C（2，2015）D2，2015【考点】分段函数的应用【分析】根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a
16、，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设abc，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由abc可得1c2014，因此可得2a+b+c2015，即a+b+c（2，2015）故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13图中阴影部分的面积等于1【考点】定积分【分析】根据题意，所求面积为函数3x2在区间0，1上的定积分值，再用定积分计算公
17、式加以运算即可得到本题答案【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（1303）=1故答案为：114已知F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|若PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到，注意离心率的范围【解答】解：P为双曲线右支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|=2a，由|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4a，|PF2|=2a，由PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2
18、|，即有4a=2c或2c=2a，即有e=2（1舍去）故答案为：215如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD=75，BDC=60，CD=20，并在点C测得塔顶A的仰角为45，则塔高AB为【考点】解三角形的实际应用【分析】先根据三角形内角和为180得CBD=1807560=45，再根据正弦定理求得BC，进而在RtABC中，根据AB=BCtanACB求得AB【解答】解：在BCD中，CBD=1807560=45，由正弦定理得BC=10，在RtABC中，ACB=45，AB=BCtanACB=10tan45=故答案为：16设函数f（x）的定义域为D，若任取x
19、1D，存在唯一的x2D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：y=x；y=x2；y=4sinx；y=lgx；y=2x则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为【考点】函数的值【分析】根据定义分别验证对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可【解答】解：首先分析题目求对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数y=x，f（x1）+f（x2）=4得 x1+x2=4，解得x2=4x1，满足唯一性，故成立y=x2，由 f（x1）+f（x2）=4得 x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯
20、一性，故不满足条件y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2D，使成立故不满足条件y=lgx，定义域为x0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2D，使成立故成立y=2x定义域为R，值域为y0对于x1=3，f（x1）=8要使成立，则f（x2）=4，不成立故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17已知向量（xR），设函数f（x）=1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】利
21、用向量的数量积求出函数的解析式并化简三角函数式，利用三角函数的性质解得本题【解答】解：由已知得到函数f（x）=1=2cos2x+2sinxcosx1=cos2x+sin2x=2cos（2x）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x）2k，2k，即xk，k+，kZ；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A）=2，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=18如图，菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，DE平面ABCD；（）求证：ACBE；（）若ADC=120，DE=2，BE上一点F满足OFDE，求直线AF与平面BCE所成角的正弦值【
22、考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（）由已知得ACBD，DEAC，由此能证明ACBE（）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BCE所成角的正弦值【解答】（）证明：菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，ACBD，O为BD中点，DE平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC，又DEDB=D，AC平面BDE，BE平面BDE，ACBE（）解：ADC=120，DE=2，BE上一点F满足OFDE，F是BE中点，OF=1，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），F（0，0，1），B（
23、0，1，0），C（，0，0），E（0，1，2），=（，0，1），=（，1，0），=（0，2，2），设平面BCE的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，3，3），设直线AF与平面BCE所成角为，sin=|cos|=|=直线AF与平面BCE所成角的正弦值为19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列cn的前n项和Tn，若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）当n=1时，a1=S1，解得a1当n2时，an=SnSn1，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数
24、的运算性质可得bn，利用cn=利用“裂项求和”即可得出：数列cn的前n项和Tn=由于对nN*，Tnk（n+4）恒成立，可得，化为=，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a12，解得a1=2当n2时，an=SnSn1=2an2（2an12）=2an2an1，化为an=2an1，数列an是以2为公比的等比数列，（2）bn=log2an=n，cn=数列cn的前n项和Tn=+=对nN*，Tnk（n+4）恒成立，化为=n+5=9，当且仅当n=2时取等号，实数k的取值范围是20如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（2，0），A2（2，0）过点D（1，0）的直
25、线l与该椭圆相交于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知得a，结合离心率得c，再由隐含条件求得b得答案；（）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线NA2的方程为y=k2（x2）分别联立直线方程和椭圆方程求得M，N的坐标，结合M，D，N三点共线可得k2=3k1说明存在=3，使得结论成立【解答】解：（）依题意可知a=2，c=，得椭圆C的方程为：；（）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线NA2的方程为y=k2（x2）联立方程组，得解得
26、点M的坐标为（，），同理，可解得点N的坐标为（，）由M，D，N三点共线，得=，化简有（4k1k2+1）（k23k1）=0k1，k2同号，4k1k2+10，则k2=3k1故存在=3，使得结论成立21已知椭圆C： +=1（ab0）过点A（，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQMN求四边形PMQN面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率
27、不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x1）（k0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值【解答】解：（1）由题意得：，a2b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x1）（k0）与y2=4x联立得k2x2（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=即有，PQMN，直线PQ的方程为：y=（x1），将直
28、线与椭圆联立得，（k2+2）x24x+22k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=，代入计算可得，四边形PMQN的面积S=|MN|PQ|=，令1+k2=t，（t1），上式=，所以最小值为22已知函数g（x）=（2a）lnx，h（x）=lnx+ax2（aR），令f（x）=g（x）+h（x），其中h（x）是函数h（x）的导函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当8a2时，若存在x1，x21，3，使得|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3+ln（a） 恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值
29、【分析】（）把a=0代入函数f（x）的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在1，3上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数，利用导数求其最值得m的范围【解答】解：（I）依题意h（x）=，则，x（0，+），当a=0时，令f（x）=0，解得当0x时，f（x）0，当时，f（x）0f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为时，f（x）取得极小值，无极大值；（II）=，x1，3当8a2，即时，恒有f（x）0成立，f（x）在1，3上是单调递减f（x）max=f（1）=1+2a，|f（x1）f（x2
30、）|max=f（1）f（3）=，x21，3，使得恒成立，整理得，又a0，令t=a，则t（2，8），构造函数，当F（t）=0时，t=e2，当F（t）0时，2te2，此时函数单调递增，当F（t）0时，e2t8，此时函数单调递减，m的取值范围为本题设有23、24两个选考题，请考生任选1题作答，满分10分，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先将所选题号在答题卡相应位置涂黑选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2（）求曲线C2的普通方程；（）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=，
31、与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|【考点】参数方程化成普通方程【分析】（）设P（x，y），M（x，y），因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，将M坐标代入，消去，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；（）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A，B的极坐标，得到AB长度【解答】解：（）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2设P（x，y），M（x，y），则x=2x，y=2y，并且，消去得，（x1）2+y2=3，所以曲线C2的普通方程为：（x2）2+y2=12；（）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
32、极坐标系，曲线C1的极坐标方程为22cos2=0，将=代入得=2，A的极坐标为（2，），曲线C2的极坐标方程为24cos8=0，将代入得=4，所以B的极坐标为（4，），所以|AB|=42=2选修4-5：不等式选讲24设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，a、bM，（1）证明：|a+b|；（2）比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|14ab|与2|ab|两个数的平方差的大小，即可得到结果【解答】解：（1）记f（x）=|x1|x+2|=，由22x10解得x，则M=（，）a、bM，所以|a+b|a|+|b|+=（2）由（1）得a2，b2因为|14ab|24|ab|2=（18ab+16a2b2）4（a22ab+b2）=（4a21）（4b21）0，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|2016年11月18日