1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知腰长为定值的等腰三角形的最大面积为2,则等腰三角形的腰长为().AC.2D.3解析:设该等腰三角形的腰长为a,顶角为,则该等腰三角形的面积,易知当=90时,该等腰三角形的面积取得最大a=2,故腰长为2.答案:C2在ABC中,bAC解析:sin CcC=60或C=120.A=90或A=30.当A=30时,a=b当A=90时,a答案:C3在ABC中,ABCBAC=().AC解析:在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos
2、ABC=2+9-2AC由正弦定所以sinBAC答案:C4在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且abc,a2bc,ABC.AC.答案:C5在ABC中,sin AAC.(0,10)D解析:由正弦定理csin CCC又c0,故0c答案:D6路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45角,树干也倾斜为与地面成75角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是().AC解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则ABO=45,AOB=75,OAB=60.由正弦定理AO答案:A7在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A)
3、,则A=().AC解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因为A(0,),所以A答案:C8在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tan A=7tan BA.4B.3C.7D.6解析:由tan A=7tan B,即sin Acos B=7sin Bcos A,所以sin Acos B+sin Bcos A=8sin Bcos A,即sin(A+B)=sin C=8sin Bcos A.由正、余弦定理可得c=8b即c2=4b
4、2+4c2-4a2.c2=4c,即c=4.答案:A9在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于().AC.解析:由2S=(a+b)2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c2,即2C=a2+b2+2ab-c2,所以absin C-2ab=a2+b2-c2.由余弦定理可知cos C所以cos C+1即2cos所以ta所以tan C答案:D10甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是().AC.2
5、1.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过x h后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在BPQ中,BP=10-4x,BQ=6x,PBQ=120,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcosPBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)6xcos 120=28x2-20x+100.当x=s最小,此时x答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.解析:3sin A=5sin B,3a=5b.又b+c=2a
6、,由可得,acos CC答案:12已知ABC的面积为S,且解析:设AB=c,BC=a,AC=b,则a2=abcos C+absin C,即a=bsin C+bcos C.由正弦定理得sin A=sin Bsin C+sin Bcos C.又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=cos B,即tan B=1,B答案:13在ABC中,BC=1,BABC的面积等解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则ABC的面积SBc=4,所以b所以cos C所以sin C答案:14在ABC中,已知b=1,sin C解析:由余弦定理的推论知cos CBbcos C+c
7、cos B=2,a=2,又b=1,sin Ccos Ccos C=答案:15在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1解析:由正弦定理,又因为1所则cos A又因为0A180,所以A=60.答案:60三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长;(2)求sin 2C的值.解(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-223所以BC(2)由正弦定理所以sin Csin A因为ABBC,所以C为锐角,则cos C因此sin 2C=2sin Ccos
8、C=217(8分)在ABC中,A解设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(所以a=又由正弦定理得sin B由题设知0c.已(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解(1)cacos B=2.又cos Bac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B由正弦定理,得sin CB因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C19
9、(10分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c(1)求cos A的值;(2)求co解(1)在ABC中,及sin BC,可得b又由a-ca=2c.所以cos A(2)在ABC中,由cos A可得sin A于是cos 2A=2cos2A-1=2A=2sin Acos A所以co2Aco2Asi20(10分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解(1)在ABC中,由题意知sin A又因为B=A所以sin B=siA由正弦定理可得b(2)由B=Acos B=coA=由A+B+C=,得C=-(A+B),所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B因此ABC的面积SC