2019版人教A版数学选择性必修第二册教师用书.pdf

1、普通高中教科书教师教学用书人民教育出版社课程教材研究所 编著中学数学课程教材研究开发中心 问：l-_吐-L和 立句子i扑）c_J，.飞1斗叫州(I,)当1与飞h y！：、人 办 h j钱 家主版书教师教学用二自人民教育出版社课程教材研究所 编著中学数学课程教材研究开发中心 lI cO趴t:,吨，！亏钱”亡”6喝向丸 V户.，.1-3lZ,飞衍y1乒响加1 吃;,-O的解可看成是函数 y=f(x）取正值的z的全体另外，两者关系密切：与函数的零点可看成是函数值不等于0处的“边界点”类似，方程 f(x,y)=O可设想为不等式 f(x,y)O的“边界”“”的性质比“”的性质“坏”许多，我们应非常小心地

2、对待不等式函数及函数的运算（十、一、）4 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册 i函数源于研究事物运动变化规律的需要函数刻画了一个变量随着另 一个变量的变化状态，给出一个数集到另 一个数集的对应关系它是覆盖面广、有统帅作用的概念：数可以看成特殊函数；数的运算可以看成特殊的二元函数；代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是特殊的函数；解一元方程就是求一个函数的零点，因而解方程也可纳入函数问题的讨论中；平面曲线在历史上曾为函数概念提供最初的例子，而今天函数和曲线具有人和影子一样的密不可分的关系；解三角形可化归为一个三角函数的问题中描述周期现象的重要数学模型 为了刻画一些简单的周而复始的运

3、动变化现象（如匀速圆周运动），我们以单位圆上点的运动规律为背景引人了任意角的三角函数正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、相辅相成的周期函数，它们的基本性质则是圆的几何性质（主要是对称性）的直接反映 三角函数是数形结合的产物，在探究三角函数的性质和各种各样的三角公式时，借助单位圆的直观是非常重要而有效的方法 三角函数是非常重要的函数，是描述一般周期函数的基石国圈圈醋圈圈圈噩噩噩缰圄匾暨圄唱团噩噩圄主这几类函数都有明确的现实背景，形式简单、性质明显而且应用广泛通过对客观世界中变量关系和规律的抽象，可以得到这些类型的函数另外，令变量y 等于含变量工的表达式（x），即 y=p(x），就得到工的函数

4、y，这是人们知道的第一批函数中的一类，其中最简单、最基本的就是幕函数、多项式函数、指数函数及其反函数（即对数函数）对于形如ab=c,a b=c 的等式，让其中的 一个量随另一个量的变化而变化，可以得到 y 缸，y=k 一，y矿，y 矿，y=logax 等基本初等函工间形式讨论点、直线、直线的位置关系（重点是平行与垂 直），三角形、四边形（重点是平行四边形）、圆等基本而简单的平面图形的性质，其中尤以三角形为代表 三角形既简单而又能充分反映雪间的本质，例如三角形内角和定理表示的是平面的平行性，而平行性在平面几何中所扮演的角色是使定量几何中的各种公式都大大简化；等腰三角形所具有的轴对称能具体地反映平

5、面的反射对称性，所以它是研究平面几何对称J性的基本工具；对于定量平面几何中的基本定理，三角形面积公式、相似三角形定理和勾股定理是首要的因此，在几何的学习中，必须重视对三角形的研究平面几何是进 一步用坐标法讨论曲线的基础平面几何在培养学生的直观想象和逻辑推理等素养上具有不可替代的作用直线与直线、直线与平面、平面与 平面之间的位置关系，基本立体 图形（柱、锥、台 气 球）的结构特征特别重要的是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关数 我们发现，没有任何现实背景，从纯粹的代数运算，加上量与量之间的对应思想，也可以抽象出基本初等函数这样重要的数学研究对象疆圈圈数列及数列的运算在中学只讨论最简单、最基本

6、的两类数列：等差数列和等比数列我们可以把数列想象成数的推广，也可以把数列看成是一类特殊的函数，从而可以把等差数列与一次函数作类比，把等比数列与指数函数作类比不可忽略的是数列的“影子”在中学数学中多次出现：在用有理数逼近元理数中，在求圆的面积或球的体积中，在指数为无理数时的指数幕定义中，在求函数的导数虽然函数 f(x）的导数可以用极限概念“纯数量”地去定义，但在中学里我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数的描述，因而我们愿把导数概念看成是数形结合的产物这里，重要的是极限思想，而导数则是借助于极限的一种运算从数及其运算、函数及数形结合等角度来观察中学数学，是弄清中学数学脉络，搞活中学数学的三

7、个重要观点4.空间形式“空间形式”所涉及内容可概括为如下结构图：一般平面曲线联，因为它们是整个定量立体几何的基础所在对于空间图形，只是看看柱面、锥面和球面，从直观上去感知它们的结构特征；凭借最简单、最基本的直线、平面的位置关系，以及三视图、透视图，使我们获得一定的空间形体的直观感觉平面解析几何的主要对象在中学，给出它们的几何定义后，便用数形结合的代数方法一一一“坐标法”来讨论它们这些基本、简单而又很有用的平面曲线使我们对平面曲线有了更多的感性认识，同时“坐标法”也为用数形结合的微积分方法去研究一般曲线打下了一个很好的基础 一也血咂虽然只在最后时刻用微积分方法专门讨论了它，但在整个中学数学中，它

8、与函数结伴几乎出现在所有的地方想到函数概念的元比重要性，对帮助我们形象地看到函数的曲线是非常亲切的一般地，几何的研究对象是图形和图形之间的关系，研究主题是几何对象的性质 定义中学数学及具数学5 坐标方法下用微积分方法研究平面曲线坐标方法下用代数方法研究直线、困锥曲线数形结合大的好处初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括”这几个“一般定理”就是向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义（物理意义），以及向量基本定理及坐标表示 用向量方法研究几何，可概括为“三步曲”：用向量表示出问题中关键的点、线、面；进行向量计算得出结果；对所得结果给予几

9、何的解释而将问题解决 需要注意的是，向量法是非常灵活的，利用“基”转化为坐标运算仅仅是其中的一种方法E由市押白 贯穿中学数学的一对孪生机抽样、统计图表、用样本估计总体、线性相关关系以及基于列联表的独立性检验等统计学虽然放在数学课程中，但它与数学是有差别的 首先，数学的研究建立在概念和定义的基础上，用公理化方法来构建数学的理论大厦，而统计学的研究则建立在数据的基础上，是通过数据进行推断的；其次，数学推理要依据逻辑规则，采用演绎推理得出必然正确的结论，而统计推理主要依据历史经验（虽然也要顾及逻辑规则），采用归纳推理进行推断，其结论具有或然性；最后，数学的结论是确定性的，其判断标准是“对与错”，而统

10、计的结论是带有或然性的，所以其判断标准是“好与坏”7.补遗最后，作为补充，提出几点想法它们是把不同内容串联起来的一些细线，有了它们，不同内容的类比、联系就容易了(1）数和数的运算是一切运算系统的标兵 让任意运算的对象和数类比，让任意对象的运算和数的运算对比，不仅能使我们获得需要研究的问题，而且能指引我们构建研究的路径，使我们产生研究方法的灵感(2）函数观点是把不同对象联系起来的一个好观点 参看白嘉(3）把遇到的数量关系设法用几何图形表6.概率与统计概率论是研究随机现象规律的科学，是统计学的理论基础概率是一种度量，用来度量随机事件发生的可能性大小 这和数学中其他的度量相类似（例如直线的长度、平面

11、图形的面积、空间几何体的体积等），性质也类似 但是两种度量之间存在如下区别：Cl）作为概率的这种度量的值的范围是0,1，几何中的度量却不受这种限制；(2）概率的度量对象是随机事件，几何中的度量对象是几何图形，随机事件的不确定性使概率的度量难度大大增加在中学阶段，借助古典概型引人样本空间概念样本空间是样本点的集合，它是概率理论中的最基本而主要的概念，由此可以运用确定性数学的知识和方法研究随机现象例如，利用它可以刻画随机事件发生的背景，定义和计算随机事件的概率，研究概率的运算法则和性质等至到统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果作出决策的科学，它的理论基础是概率论统计为人们认识客

12、观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法在义务教育阶段主要是学习描述性统i十；高中阶段主要学习推断性统计，通过具体问题背景了解基本的统计概念与方法，例如随姐妹-u霞.阳、,fl吟用数及其运算为工具用代数方法研究几何，可概括为“三步曲飞用数（坐标）、代数式、方程表示出问题中关键的点、距离、直线、圆锥曲线；对这些数、代数式、方程进行讨论；对讨论结果给予几何的解释而将问题解决值得注意的是，解析几何研究的是几何问题，因此“先用几何眼光观察，再用坐标法解决”是基本原则对圆锥曲线的基本几何特征的认识是有效利用代数法解决问题的基础用导数和积分为工具，用分析方法研究曲线在坐标系下，函数对应曲线，导数就是曲线

13、切线的斜率，积分就是曲线下覆盖的面积而微积分基本定理把这两个在几何上看不出有什么关系的几何量紧密地联系起来了微积分是研究曲线的强大工具为了醒目，把它们放在下页的框图中：f盛馨主童医萝噩噩葱费擎蘸霹费事噩噩噩目某类几何对象的基本方法是，先通过具体事例，分析组成这类对象的基本元素（点、线、面、体）及其形状和位置关系，然后归纳共性，抽象出概念 例如，通过观察具体实物、模型，得出棱柱表面是由平面图形围成的；这些平面图形中，有两个相互平行，其余都是四边形，而且相邻两个四边形的交线相互平行；将这些共性概括到一般去，就抽象出棱柱的概念所谓几何性质，首先是几何图形组成元素之间的位置关系、大小关系 例如，三角形

14、的性质，就是以三角形的要素（三边、三内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）之间的相互关系以及几何量（边长、角度、面积等）为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究；：形状”中，“特例”是重点一一等腰三角形和直角三角形，凡“特例”都有性质和判定两个基本问题显然，在这样的一般观念指导下展开研究，对发现几何图形性质、建立几何知识结构大有禅益s.数形结合主菊丽数解三组组参看医lJJJl!UW.把几何中的定性定理转化为可计算的定量结果举例说，已知三角形的两邻边，b及其夹角C，依边角边定理，第三边c完全确定，因而有函数 c=f(a,b,C）.如何具体给出这个函数？这里引人三角函数以具体表

15、示这个函数，编制三角函数值表以使它可计算一，法研究儿倒用向量及其运算为工具 向量法的本质，首先是让几何量带上符号.F.克莱因说：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极 7 中学数学及莫教学数学选择性必修第二册普通高中教科书教师教学用书6 示出来：函数的曲线，方程与曲线，实数与直线，复数与平面，向量与有向线段，不等式的图象，数据的图象，等(4）把定性的结果变成定量的结果，把存在的东西具体表示出来：参看喔军牛冒白直线用方程表示出来，直线上的点用满足方程的有序实数对表示出来，一元二次方程的根用系数表示出来，曲线的切线斜率用导数表示出来，等一旦定性的东西得到定量的表示，操作起

16、来就容易多了(5）“恒等”变换是只变其形不变其质的数学推理，目的是从“好”的形式中看出其本质这在数学中经常出现：如一元二次多项式分解成一次因式的乘积，代数式的恒等变换，三角函数的恒等变换，方程的同解变换，一组数据的各种不同形式的组合，整数（或一元多项式）的带余除法等(6）相等的定义处处都有我们通过相等定义说明在所讨论的事物中什么是自己最关心的 例如，如果两个三角形能够重合放在一起，就说它们全等，这表明我们只注意三角形的形状和大小而对它的位置不感兴趣；两个有向线段相等是指它们有相同的起点、相同的长度和相同的方向，但如果对有向线段引人新的相等定义：规定有相同长度相同方向的两个有向线段是相等的，我们

17、就将得到 一 个新对象一一向量；在函数的相等和方程的等价中，我们都清楚地看到，什么是这些概念中我们最关心的(7）逻辑结构编织着中学数学：中学数学中虽然没有明确的公理体系形式，但在每一次推理时，我们都有明确的推理根据在这个意义下，我们心目中都有一个“公理体系”，并在其中进行推理 这种潜移默化的逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”，是培养学生的理性思维和科学精神的特有载体如在概率中，根据概率的定义，经试验、观察得出概率的一系列性质，这些就成了我们建立概率理论体系的经验基础，一我们借助古典概率模型，在引人样本点和样本空间概念后，经过演绎推理就可以得出概率计算公式、运算性质；在立体几何中，明确了直线与直

18、线、直线与平面、平面与平面之间的平行和垂直的定义，并归纳出 一些判定定理之后，经推理得出一些性质定理；在向量中，有了向量的相等定义和运算定义后，根据这些定义推导出了向量运算的运算律；等等(8）从数学学习、研究过程来看，经常使用如下的逻辑思考方法：其中突出了联系的观点，通过类比、推广、特殊化等，可以有力地促进我们的数学思考，使我们更有效地寻找出自己感兴趣的问题，从中获得研究方法的启示例如，关于平面几何中的向量方法，我们可以有如下的“联系图”：立体几何中的向量方法几何中的位教方法1，推广平面几何中的向量方法特殊化，数轴与向量8 普通高中数科书教师教学用书数学选择性必修第二册几何中的综合方法这个图把

19、些看似距离甚远的内容联系在一起，不同的方法相互促进，可以使我们提出更多的问题，在更加广阔的思维空间中进行思考例如，我们非常熟悉用代数方法研究圆锥曲线，在上述“联系图”的引导下，就会自然地提出“能否用向量方法研究圆锥曲线”“能否用综合法研究圆锥曲线”这样的问题三、核心素养导向的数学教学下面我们就数学核心素养融入课堂教学的策略和方法，提出一些想法1.数学盲人要用数学的方式，要发挥数学的内在力量在观察现象、认识事物或处理问题时，“数学的方式”是与众不同的首先，其目标取向是“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法”，而研究的起点是对面临的具体事物进行数学抽象；其次，数学的思考结构具有系统性、普适性，

20、其“基本套路”大致可以概括为“抽象数学对象一探索数学性质构建知识体系”；再次，数学的思维方式具有结构性、一致性、连贯性，包括：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为 一般的统一理论等，这是一套严谨的、行之有效的科学方法，是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式；最后，数学的表达方式具有统一性，使用一套世界通用的符号形式进行交流数学的思考结构、思维方式和符号化表达正是数学的力量所在，逻辑性强，简明而精确，具有四两拨千斤的功效 数学育人就是做不到的，必须让他们经历从数学研究对象的获得，到研究数学

21、对象，再到应用数学知识解决问题的完整过程 数学对象的获得，既要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；对数学对象的研究，要注重让学生经历 以“一 般观念”(big idea）为引导发现规律、获得猜想，并通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升逻辑推理、数学运算等素养；应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析问题，体现数学建模的全过程，使学生学会分析数据，从数据中挖掘信息等，提升数学建模、数据分析素养以发展学生数学素养为追求，要根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学

22、内容，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会；要以“事实一概念一性质（关系）一结构（联系）一应用”为明线，以科本质观”为暗线，并要强调结合明线布暗线，形成基本数学思想和方法的“渗透一明确一应用”的有序进程，使学生在掌握“四基”、发展“四能”的过程中有效发展核心素养要做到“两个过程”的合理性，即从数学知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的合理性上 加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点前一个是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题3.推理是数学的“命根子”，运算是数学是要发挥数学的这种力量的“童子功”2.掌握数学知识是发展数学学科核

23、心素与其他学科比较，数学学科的育人途径有养的前提离开知识的理解和应用，核心素养的发展将成为一句空话要让学生真正掌握数学知识，靠“掐头去尾烧中段”、靠大量解题训练什么独特性呢？陈建功先生说：“片段的推理，不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈话得之但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科忽视数学教育论理性的原则，中学数学及冥教学9无异于数学教育的自杀 ”推理和运算是数学的两个车轮子 因此，数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，而训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算，要在推理的严谨性和简洁性、运算的正确性和算法的有效性上有要求这样，学生的理性思维会得到逐步发展，科学精神

24、也能得到很好的培养4.教好数学就是落实数学学科核心素养怎样才是“教好数学”？学生会解各种资料上的题目、考试成绩好就算教好了吗？是，但又不全是，甚至不是最重要的从学生的终身发展需要看，从落实数学学科核心素养的要求看，更重要的是：要以“研究一个数学对象的基本套路”为指导，设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的致性、方法的普适性、思维的系统性的系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题要使学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法，要将此作为教学的关

25、键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越一言以蔽之，教好数学就是以数学基础知识、基本技能为载体，使学生在领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验的过程中，学会思考与发现，培养数学学科核心素养5.教师的专业水平和盲人能力是落实核心素养的关键理解数学、理解学生、理解教学、理解技术的水平是教师专业水平和育人能力的集中体现，是提高数学教学质量和效益的决定性因素，也是有效提升学生数学核心素养的关键当前最主要的问题是有些教师在“理解数学”上不到位导致教学偏差，机械解题训练成为课堂主旋律，而大量题目又不能反映数学内容和思维的本质，使数学学习越来越枯燥、无趣、艰涩，大量学生的感受

26、是“数学不好玩”理解数学，就是要把握数学内容的本质，特别是对内容所蕴含的数学思想和方法要有深入理解要对一些具有统摄性的“一般观念”有深人理解并能自觉应用例如，数学对象的定义方式（如何定义，几何图形的性质指什么，代数性质指什么，函数性质指什么，概率性质指什么，等等 理解学生，就是要全面了解学生的思维规律，把握中学生的认知特点例如，面对一个数学内容，学生会如何想？学生已经具备的认知基础有哪些（包括日常生活经验、己掌握的相关知识技能和数学思想方法等）？达成教学目标所需具备的认知基础有哪些？“已有的基础”和“需要的基础”之间有怎样的差距，哪些差距可以由学生通过努力自己消除，哪些差距需要在教师帮助下消除

27、？学生喜欢怎样的学习方式？等等理解教学，就是要把握教学的基本规律，按教学规律办事例如，对于教学活动的设计，关键词是：情境一问题一活动一结果 其中“情境”是以数学内容的本质和学生的认知过程为依据设置教学情境，包括生活情境、数学情境、科学情境等“问题”是与情境紧密结合的、从情境中生发的系列化问题，必须满足如下标准：反映内容的本质，在学生思维的最近发展区内，有可发展性，使学生能从模仿过渡到 自主提问“活动”是指在情境与问题引导下的系列化数学活动，是学生的独立思考、自主探究、合作交流等 教学的“结果”，既要理解知识、掌握技能，也要领悟数学基本思想、积累数学思维和 解决问题的经验，从而水到渠成地使学生的

28、数学学科核心素养得到提升与发展理解技术，就是要懂得如何有效利用技术10 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册帮助学生的学和教师的教例如，把抽象内容可视化，静态内容动态化，繁杂但没有数学思维含金量的事情让信息技术帮忙做等在人工智能时代，我们要借助技术改变课堂生态 实现大面积的个性化教学 实现优质资源共享以上我们从几个方面阐述了数学课堂落实数学学科核心素养的条件、策略和方法，其最核心的观点是数学育人要回归数学的学科本质，不搞花架子，实实在在地把数学教好，实现“用数学的方式育人”事实上，所有的科学问题在本质上都是简单而奋序的 人类的智慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解

29、决不同的问题，而数学的方法就是这样的基本方法中学数学中的研究对象多种多样，但研究的内容、过程和方法是脉相承的，正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”因此，每一种数量和数量关系、图形和图形关系的教学，我们都应以“研究个数学对象的基本套路”为指导设计和展开课堂教学，促使学生通过一个个数学对象的研究，体悟具有普适性的数学思想和方法，逐步掌握解决数学问题的那个“相似的方法”，进而逐步形成“数学的思维方式”在这样的过程中，数学学科核心素养就潜移默化、润物元声地得到落实了 让我们起努力！中学数学及真数学11 4.数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题二、本章知识

30、结构框国数列是一种特殊的函数数列表格图象数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列一等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用此外，数学归纳法也是本章的学习内容，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法通过 本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升通项公式递推公式特殊化：一次函数：平-等差数列一广斗概念特殊数列类比L表示通项公式等比数列前n

31、项和公式1.数列概念通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数 了解数列的前n项和公式的定义，以及数列的通项公式与前n项和公式的关系2.等差数列(1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义(2）探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系(3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题(4）体会等差数列与一元一次函数的关系3.等比数列(1）通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义(2）探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系(3

32、）能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题(4）体会等比数列与指数函数的关系数ttt函数uU目士可 J 数学归纳法（选学）简单应用基本原理三、内窑安排本章在必修第一册中函数知识的基础上，介绍了一种特殊的函数一一数列的相关知识在编排数列的内容时，教科书借鉴了研究函数的经验，按照“一般数列特殊数列”的顺序展开其中，在介绍“一般数列”时，通过日常生活和数学中的实例，抽象出数列的定义，介绍数列的三种表示方法（表格、图象和通项公式）川特殊数列”以取值规律“最简单”的等差数列和等比数列为例，对它们的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握这两种具体数列的概念、取值规律，并能应用它们解

33、决实际问题，而且也为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础在本章的最后，教科书介绍了一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法数学归纳法的原理12 I普通高中教科书教师教学周书数学选择性必修第二册第四章数列I13“4.1 数列的概念”建立了数列的一般概念与函数概念的研究类似，教科书介绍了数列的定义和表示方法；此外，教科书还介绍了数列的一种特殊表示法一一递推公式和前n项和公式的定义，这是数列所特有的问题教科书采用概念形成的方式，先详细分析了几个典型的具体实例，再归纳出它们的共同特征一一按照确定的顺序排列的一列数，由 此给出数列的定义，并抽象出数列的 一 般形式向，句，.,a川然后，教科书将数列的

34、定义与函数概念建立联系，得到了数列是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的离散函数的结论接下来，教科书类比函数的研究内容，介绍了数列的三种表示方法一表格、图象和通项公式其中通项公式就是数列的函数解析式，它能简洁、精确地刻画数列的所有项的取值规律考虑到数列的递推公式在研究数列时的特殊作用，数列的前 项和公式是数列的一个主要研究内容曳所以在本节的最后，教科书介绍了数列的递推公式和前n项和公式的定义，为本章后面的内容作了铺垫在介绍了一般数列的概念之后，教科书类比函数从 一般到特殊的研究过程，按“概念一性质一应用”的顺序，研究了具有特殊变化规律的数列一一等差数列和等比数列以等差数列为例，在“4.2

35、 等差数列”中，教科书先通过运算发现实例中蕴含的取值规律，抽象出等差数列的定义，然后从定义出发，推导出等差数列的通项公式接下来，教科书从通项公式出发，探究等差数列与一次函数之间的关系，再结合 一次函数的知识，画出等差数列的图象，为研究等差数列的性质提供几何直观等差数列的应用主要包括两类，教科书接下来举例说明的应用等差数列的通项公式解决数学问题和实际问题是其中之一由于求数列尤其是无穷数列的前若干项的和是数列研究的主要问题之一，所以接下来，教科书利用等差数列的通项公式和性质推导出了它的前n项和公式，并举例说明了前n项和公式在解决问题中的应用，这是等差数列的第二类主要应用教科书对于“4.3 等比数列

36、”的编排与“4.2 等差数列”是完全类似的在本章的最后，“4.4 数学归纳法”通过对多米诺骨牌全部倒下的过程和“证明”一个数学命题的过程的类比和分析，揭示了数学归纳法的原理，并以证明数列中的一些简单命题为例，说明了用数学归纳法证明命题的一般过程数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点此外，等差数列、等比数列是两种“最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容学生在学习本章的过程中，可能遇到如下难点：一是从实例中抽象出数列的概念，这是因为直观上排列好的一列数与数列的数学定义之间

37、存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象能力；二是等差数列的定义，这是因为学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，不熟悉刻画“等差”规律的语言；三是推导等差数列、等比数列的前n项和公式，这需要学生通过数学运算、逻辑推理等发现解决问题的途径；四是用等差数列、等比数列刻画数学中或现实中具有递推规律的事物，这需要学生具备一定的数学建模能力 14 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册本章教学约需 14 课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1数列的概念4.2 等差数列4.3等比数列4.4 数学归纳法小结1.按照研究一个数学对象的基本路径来编排数列的内窑约2课时约4课时约 4课时约2课时约2

38、课时本章的内容与己学的函数有相似之处，既包括一般的数列，又包括特殊的数列，所以本章内容的编排采用了与函数类似的框架结构，这也是研究一个数学对象的基本路径，即数列的事实一数列概念的定义、表示一性质一等差数列与等比数列需要说明的是，由于每种数列都有自己独特的性质，而且主要是通过代数运算研究其规律，所以教科书中对数列性质的研究，主要放在对代数规律明确的等差数列、等比数列的研究中对于一般数列，只涉及了其项数是否有限（定义了“有穷数列”和“无穷数列”和数列的单调性具体说来，教科书从分析三个典型的数列例子开始，抽象出了数列的共同特征一按确定的顺序排列，从而得到了数列的定义，同时获得了从数学上刻画数列的方法

39、一一用正整数表示数列的确定的顺序，即向，句，a.，；通过对数列定义的进一步辨析，揭示了数列的本质一一数列是从正整数集（或它的有限子集l,2，）到实数集的函数然后，研究了数列的三种表示方法接下来，与在函数的一般概念之后研究基本初等函数类似，教科书研究了两类特殊的数列一一等差数列和等比数列 对这两类数列的研究，都采用了与研究基本初等函数类似的路径，即“事实概念一性质一应用”等比数列与等差数列在研究思路和方法上有很强的可类比性，都是通过运算发现取值规律获得定义，通过与相应函数类比探索性质，通过运算、代数变换等一般性的方法解决相关问题等2.设计合理的概念形成过程，帮助学生理解数列的基本概念本章涉及“数

40、列”“等差数列”“等比数列”的基本概念，它们既是本章的重点内容，也是本章的学习基础为此，教科书根据不同概念的特点和学生的认知基础，设计了不同的概念形成过程，在过程中逐步揭示概念的本质特征，让学生经历相应的概念形成过程，提升他们的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养对于数列的概念，教科书呈现了“事实概念（定义、表示）”的数学抽象过程 与上一个版本教科书的呈现方式相比，修订后的教科书精简了用于抽象数列定义的例子，分别从现实生活、数学史和数学中选择了一个反映数列本质特征的典型例子，细化了从实例抽象出数列共同特征的过程：先引人统一的数学符号（h，或 s；）表示数列中的数，并揭示下标z的数学含义，即下标i表

41、示数列中的数按一定顺序排列时的确定位置，这就从数学的角度说明了数列中的数是不能第四章数列I1s 交换位置的，从而得到引例的本质特征一一“具有确定顺序的一列数”；然后为了促进学生理解，教科书让学生模仿上述分析过程自己分析第三个实例的特征；最后引导学生从具体例子中归纳出它们的共同特征，这就得到了数列的定义接下来，教科书用数学符号表示数列，得到了数列的一般形式 基于对这个一般形式的分析，教科书揭示了数列的序号与项之间的对应关系本质上是函数关系，得到了“数列是一种函数”的结论对于“等差数列”“等比数列”的定义，教科书在分析、归纳实例的共性时，重点引导学生通过运算去发现数列的规律3.创建系列化学习活动，

42、帮助学生理解本章的核心概念及真反映的数学思想方法教科书以系列化的学习活动，引导学生通过自主探究、合作学习来建构本章知识、发展技能、感悟和提炼思想方法、积累数学活动经验前面提到的教科书上的数列概念的形成过程就是一例 又如，教科书在推导等差数列的前项和公式时，设计了下面的学习情境：首先，提出本节要解决的问题一一用等差数列的概念和通项公式解决等差数列的求和问题；然后，提出高斯计算1+2+3 1 00的算法，引发学生的探究兴趣；紧接着，分析高斯算法，明确其中蕴含的等差数列的性质；接下来，利用等差数列的性质，分奇、偶两种情况解决求1,2,3，n，的前 项和问题，这是基于性质对高斯算法的直接推广；然后，由

43、求和结果获得启发，用“倒序相加法”再次求1十2+3 n，这是发现新算法并在最简单的情形中应用新算法；最后，推广上述算法，求一般等差数列的前n项和 又如，对于数学归纳法的原理，教科书设计了类比、推广活动，引导学生经历从特殊到一般的过程，探究数学归纳法的原理：首先，以证明一个具体的数学命题为背景引出问题一如何通过有限个步骤的推理，证明 n取所有正整数时命题都成立；然后，先分析多米诺骨牌全部倒下的过程中蕴含的数学原理，再通过类比得到证明一个与正整数 n有关的数学命题的递推结构以及证明方法：最后，抽象出数学归纳法的两个步骤，得到原理 接下来，教科书对数学归纳法的原理进行了辨析，先让学生，思考两个步骤之

44、间的关系，再用逻辑的语言表达数学归纳法，突显了第二步是要证明一个具有递推关系的命题的本质，以及只要完成数学归纳法的两个步骤就能最终完成证明4.用函数的思想方法指导数列的学习学生在必修课程中已经系统学习了函数的知识，总结了函数的思想方法数列是一种特殊的函数，因此本章内容的学习自然而然地要以函数的思想方法为指导Cl）研究路径的构建 首先，为了帮助学生深入理解数列的概念，并借助函数的研究路径来学习数列，教科书在介绍了数列的概念后，引导学生从函数的角度看数列，揭示出数列的本质属性；接着，类比函数的“定义表示方法一性质”的研究路径，介绍了数列的三种表示方法，指出其中的通项公式就是“数列的函数解析式”，并

45、研究了数列的性质（数列的单调性）其次，教科书类比从一般函数到特殊函数的研究顺序，在介绍了一般数列的概念后，研究了两类具有特殊变化规律的数列一一等差数列和等比数列，并沿用了函数的“事实一概念性质应用”的研究路径(2）研究方法的获得 一方面，在研究等差数列、等比数列的性质时，教科书利用了等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，使学生能借助这两种函数的图象和性质来认识对应16 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册的数列；另 方面，在应用等差数列、等比数列解决实际问题时，教科书利用了学生积累的“选择适当的函数类型刻画现实问题的变化规律，并解决问题”的经验，让学生通过分析实际情境中变量

46、之间的关系，发现其中的递推规律，再建立等差数列或等比数列来刻画规律，通过解决数列问题使实际问题获得解决5.运用运篝、代数变换等研究数列在数列的研究过程中，除了借助函数的观念，使用观察、归纳等方法外，教科书还利用了运算、代数变换等策略或方法运算是代数学的核心，本章通过具体例子说明了如何利用运算探索数列的取值规律例如，教科书第6页例4后，在利用图4.1-3中图形的变换规则发现数列1,3,9,27的规律后，“边空”的提示指出：“当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察”利用运算，不难发现数列1,3,9,27的规律

47、是后一项是前一项的3倍 又如，等差数列、等比数列的取值规律都是通过运算发现的对于等差数列，教科书在引导学生从实例中抽象数列的取值规律时，让学生类比指数函数的学习中通过运算发现两地旅游人数的变化规律的过程，以运算为手段来探索具体数列的取值规律；并对如何通过改换表达方式，使取值规律更突出，如何用数学语言表达规律，使其更具有一般性，如何用文字语言概括发现的规律等进行引导，从而让学生经历比较完整的发现规律、整理规律和表达规律的过程代数变换是对代数式、等式、不等式等进行变形，用新的式子替换原来的式子，以达到方便问题的研究和讨论、揭示隐蔽的规律、把难以直接解决的问题转化为容易解决的问题等目的，教科书强调了

48、代数变换在数列研究中的价值例如，在推导等差数列前n项和公式的过程中，教科书对公式乱 1 扑3+n业产作变形，得到了2Sn 川奸3十 n)=n川）从这个等式中，可以看出“官相当于两个 S 相加，而结果变成 个（n十1）相加”，由此受到启发，引出了“倒序相加法”又如，在推导“等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示”的性质（教科书第30页例2）时，教科书让两个具有相同结构的等式“n=a1qn-l”“m=a1qm 1”相除，就得到了等比数列的通项与任意项及公比之间的关系再如，教科书第39页的例12 示范了如何通过待定系数法把一个非等比数列变换为等比数列，然后就可以利用等比数列的通项公式或前

49、n项和公式解决问题了由于把其他数列变换为等差数列或等比数列很可能是学生在今后会遇到的问题，所以教科书设置了相关习题（习题4.3的第 7,8,11 题），让学生熟悉上述变换方法6.选择数学史素材，革富本章的文化内涵数列向古以来都是人们感兴趣的问题 古代埃及、巴比伦、中国和印度的文献中都有丰富的数列问题，中外许多著名的古算家都曾对某类数列问题进行过深入研究本章在编写过程中，特别注意引用或改编数学史中的例子，不仅丰富了本章内容，而且有利于提升学生的人文素养例如，考虑到最初的数列中蕴含了数列产生的动因，即“当人类祖先需要用一组数有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列也就应运而生了”，这种动因显然

50、有利于揭示数列的汪晓勤泥版上的数列问题JJ.数学教学，2009,12：封二第四章数列I17本质特征，教科书选用了古巴比伦人刻在泥版上用来刻画一个月中从第l到第15天每天月亮可见部分的数作为引人的例子又如，修订后的教科书保留了上一个版本教科书中的阅读与思考栏目“斐波那契数列”，同时进一步丰富了阅读材料的内容，介绍了斐波那契数列有趣的例子，揭示了它与代表“美的标准”的黄金比例有不可分割的关系，还配了斐波那契螺旋和向日葵螺旋的图片，使这个古老的数列更加栩栩如生地呈现在学生面前又如 3 本章多处引用中外数学史上的数列原题作为习题，或将数学史上有关数列的结论改编为习题，如“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增

51、，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”“传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第 一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数，第三行的1,5,12,22称为五边形数”这样的题目背景丰富、有趣、画面感强，容易把学生带入到一定的情境中，有利于激发学生的感性体验与理性体验，促进问题的解决再如，等差数列求和的“倒序相加法”和等比数列求和的“错位相减法”都是历史上积淀下来的方法，学生几乎不可能独立创造出它们，因此常常认为它们是“巧妙”而“不自然的”为此，教科书设计了一个阅读材料，介绍了中国古算家求数列和的故事

52、，帮助学生认识到这两种方法都建立在对等差数列、等比数列的性质深入理解的基础上而且，透过这些小故事，学生不仅能学到古算家求数列和的思想方法，而且能体会到这些数学思想方法诞生的曲折过程，感受到数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识六、本章教学建议1.引导学生按照研究个数学对象的基本路径来学习数列的内窑鉴于各种学习材料中的数列问题数不胜数，如果学生在学习数列时只顾解题，就可能陷入到题海中，致使学到的知识犹如一盘散沙这就需要教师在教学本章时，按照“研究一个数学对象的基本路径”来引导学生构建学习路径如对于整章内容，类比函数构建数列的研究路径：“数列的事实一数列的概念、表示一数列的性质一等差数列与等比

53、数列”；对于等差数列，按照研究一个数学对象的一般过程，即“事实一概念一性质一应用”来展开研究；而在研究等比数列时，类比等差数列，让学生自己构建等比数列的研究内容和过程，进一步体会研究一个数学对象的一般过程又如，在研究等差数列、等比数列的性质时，要帮助学生明确研究对象、构建研究路径、探寻研究方法、获得研究结论 也就是数列的性质指的是“项与项之间的关系”，可以按照由简单到复杂的顺序展开研究（如任意两项的关系、相邻三项的关系、间隔相等的三项的关系、特殊四项的关系），可以利用运算探索数列的性质，观察、归纳、猜想、证明等也是探究数列性质的常用思维方法，获得的数学结论可以用数学符号、文字语言或图象等多种方

54、式表达2.让学生经历完整的概念和原理的学习过程教科书以“概念形成”的方式呈现数列、等差数列和等比数列三个概念，通过类比、从特殊到一般的方法抽象出数学归纳法的原理，深入理解这些概念和原理是学习本章内容的基础在教学中，要让学生深入到具体概念和原理的生成情境中，充分体验分析、归纳、概括、数学表达、18 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册辨析等过程，在过程中建立对概念和原理的清晰、准确的认识例如，在进行数列概念的教学时，要重视让学生经历“背景的分析和共性归纳一下定义一数学表达一概念辨析”的全过程具体说来，教学时可以参考教科书的设计思路，按照下列步骤展开：首先，对数列实例的分析以及对实例共

55、同特征的归纳，是从直观的一列数过渡到数列的数学定义的关键步骤 教学中要重视对实例的分析过程，可以如教科书那样，用集序号与取值于一身的符号儿，S；等表示数列中的项，以利于学生概括出“具有确定顺序的一列数”的结论要让学生在具体实例的分析中，充分认识“数的顺序不可交换”其次，教学中要让学生在对实例有充分感知的基础上，再引导学生给数列下定义再次，数列的描述性定义“翻译”成数学表达，是数学概念抽象过程中不可或缺的环节教师可以引导学生结合前面三个实例的分析过程，思考如何用数学的语言刻画“确定的顺序飞引出用数学的方法表示顺序的技巧，从而得到数列的一般形式I a2，a n，最后，对数列的定义进行辨析，发现数列

56、每一项的序号与项之间的对应关系，得到数列是一种函数的结论又如，数学归纳法原理的教学，可按如下思路展开：第一步，创设情境，提出问题提出一个与正整数有关的命题的证明问题，引发学生寻求证明方法，即如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立第二步，探究游戏，发现规律观察多米诺骨牌游戏，分析、归纳其全部倒下的条件，揭示第 2个条件中蕴含的递推关系第三步，迁移规律，解决问题 将多米诺骨牌全部倒下的条件类比、迁移到对上述数学命题的证明过程中，得到证明方法第四步，抽象方法，获得原理抽象上述证明方法，得到数学归纳法的原理第五步，辨析步骤，理解原理辨析数学归纳法的两个步骤及步骤之间的关系，进一步揭示

57、其第二步实际上是要证明一个数学新命题第六步，简单应用，熟悉步骤用数学归纳法证明简单的命题，重点是示范第二个步骤的证明过程3.注意引导学生以函数的观点着数列，体会数学的整体性由于数列是一种特殊的函数，等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间存在着密切的联系，所以在本章的教学中，要注意让学生有意识地把数列纳入函数的体系中，从函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识数列的应用价值等这样，一方面可以让学生用函数的观点认识和理解数列的内容，另 一方面又可以加深对函数概念及其思想方法的理解，体会数学的整体性例如，在数列的教学中，通过用函数的观点分析数列，使学生认识到数列就是一种定义在正整数集（

58、或其有限子集）上的函数，因而可以类比函数的研究得到数列的研究内容和方法如：写出数列的通项公式就是写出它的函数解析式；对数列性质的研究也可以使用图象和数学运算的方法；用数列解决实际问题就是看问题中的变量之间呈现了什么关系或规律，可以用什么类型的数列来刻画；等等第四章数列I19 又如，在对等差数列、等比数列的研究中，要让学生分析这两种数列与一次函数或指数函数的联系，这样学生就可以把掌握的一次函数和指数函数的知识迁移到对等差数列、等比数列的学习中例如，可以通过画出相应的函数图象，再在图象上描点的方式画出等差数列、等比数列的图象，还可以借助函数的图象来发现或理解等差数列、等比数列的性质如当在图象上寻求

59、对等差数列的性质“己知数列”是等差数列，户，q,s,tw，且 q=s十 t.求证a，十a q=，a，”的几何解释时教科书第17页），不难发现以点（户，），(q,a q）为端点的线段与以点心，a,),(t,a，）为端点的线段有相同的中点，这样就使这条性质的意义变得明显了；又如在求等差数列的前 项和乱的最大（小值（教科书第 23 页）时，把S n 看成关于 的二次函数，就可以通过求函数的最大（小）值来解决问题了4.充份利用信息技术工具在学生对数列的学习中，信息技术工具可以在如下两个方面发挥作用：一是绘制数列的图象；二是计算数列某一项的值，以及计算数列前n项的和等在教学中，可以通过设计融入信息技术的

60、数学活动，充分发挥信息技术工具的绘图和计算优势，减少学生的重复计算，让学生方便地获得数列的数值和图象，从而探索和发现规律、探究解决问题的策略、提出新的问题、反思或验证结果等，同时为考生更好地理解数列的知识（如数列与函数的关系、递推过程、求和过程、解方程（组）在解决问题中的应用等），以及用多种手段解决问题提供便利例如，教学中可以让学生利用数列的递推公式或通项公式，在电子表格软件中生成数列的若干项，以探究数列的项的变化规律或项与参数之间的关系等（如教科书第 22 页的探究栏目，第33页的例的，还可以用电子表格软件或其他包含绘图功能的技术工具画出数列的图象，从图象上或者结合数值和图象，探究数列的取值

61、规律又如，可以让学生借助计算机代数系统CCAS)解决数列问题，既减少了运算盘又获得了解决问题的明确步骤；而借助金融求解器，则既可以验算结果，又可以加深学生对问题的实际背景的理解再如，在数学归纳法的教学中，可以通过播放多米诺骨牌游戏的视频等方式，充分发挥这个模型的直观、动态效果，让学生感受到第一块骨牌倒下的推动作用，以及相邻两块骨牌中，前一块倒下对后一块的推动作用，再把这种感受迁移到对数列通项公式的证明中，从类似的角度去理解证明过程20 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册章引言及章头图 章引言首先从三个方面简单介绍了数列（数列产生的现实背景、数学本质和价值），以帮助学生初步认识数歹

62、h接下来，概述了本章的主要内容（数列的概念和表示方法，等差数列和等比数列的取值规律，数学归纳法）及其中蕴含的主要思想方法（函数的思想方法），提出了本章的学习路径“抽象数学对象研究数学性质一建立数学模型解决问题”，以及这个过程可以使学生的哪些核心素养（包括数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模）得到提升本章章头图的背景是辽阔而波涛汹涌的大海以及远处的灯塔，象征数学是指引人类文明进步的“灯塔”沙滩上画出的是毕达哥拉斯学派研究三角形数、正方形数和五边形数时的图形，仿佛古希腊的数学家们正凝视着这些数列，试图发现其中蕴含的规律4.1 数列的概念、本节知识结掏框图数列是 一种特殊的函艺J厂Liu表 Jt_

63、J 一通项公式l，前n项和公式卢：一推出二、重点、难点重点：数列的概念、数列的通项公式难点：数列的概念三、教科书编写意图及教学建议本节的内容是本章的基础，介绍了数列的般概念由于数列是一种特殊的函数，所以本节内容与函数的一般概念的研究内容类似，包括数列的定义和表示方法等，以及数列所特有的递推公式和前衍。项和公式的定义l 第四章数列 I21 1.数列的定义教科书通过对具体实例共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念具体地，教科书举了三个例子，并先对前两个例子进行了详细的分析，析出数列具有“确定的顺序”的特征，再让学生仿照前两个例子的分析过程对第三个例子进行分析其中，第一个例子取自学生熟悉的生活情境一一

64、把王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量的身高依次排列组成一列数 对这列数的分析实际上是用“数学的眼光”来看事物，用“数学的思维”探究其中蕴含的规律的一种示范由于这列数中的每一个数都表示王芳每年生日那天的身高，所以可以用统一的符号 h，来表达它们共同的意义进一步地对下标t进行分析，可以发现它既表示王芳的年龄是“z”岁，又表示i所对应的身高 h，在这一列数中处于第i个位置这就是说，这一列数中的每个数的位置是确定的，它们之间不能交换位置，从而我们可以得 出这是按确定的顺序排列的一列数 对于第二个例子，教科书进行了完全类似的分析，其目的是让学生体会在不同情境下如何通过引人符号表示，分析符号的含义，揭示

65、数列“具有确定顺序”的特征这个例子是古代巴比伦泥版上记录的月相变化的一列数，是古 巴比伦人用一列数记录事物变化规律的有趣例子第三个例子是按照一定的数学规律生成的一列数，这列数不仅数值在变化，正负号也呈现出奇偶交替的变化 对于第三个例子，教科书设计了一个思考栏目，要求学生仿照对前两个例子的分析过程，说明这列敷也具有确定顺序的特征 至此，学生对数列“具有确定顺序”的特征应有了比较深入的认识于是，教科书接着安排了 一个归纳栏目，让学生归纳上述三个例子的共同特征接下来，教科书给出了数列的定义一一按照确定的顺序排列的一列数称为数列从这个定义出发，结合前面对三个引例的分析，可以引导学生得到从数学上刻画数列

66、的方法：数列是可以用正整数按照数列中每个数所处的位置进行编号，并按编号从小到大的次序排列起来的一列数由此，就得到了数列的一般形式的表达式：ai,a z，n，2.数列是一种特殊的函数在“预备知识”中，学生经历过从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 本节再次让学生从函数的观点看另外一个数学对象一一数列，从而进一步认识数学对象之间的联系，体会数学的整体性 此外，把数列纳入函数的范畴，既有利于类比函数的研究路径学习数列，又可以从函数的观点出发，用运动变化的观点并借助图象直观研究数列的一些问题，以便更深入地理解数列的性质教科书根据数列的定义说明了“数列是一种特殊的函数”事实上，对于数列a n,v

67、zN份（或它的有限子集1,2，n），都有唯一确定的民与之对应，因此数列是从正整数集N铮（或它的有限子集 l,2，n）到实数集R的函数，其中自变量为数列的序号n，对应的函数值为第 项，这是非常容易理解的，而且用函数的观点看数列也有助于理解数列的本质很多数学书籍都是以函数的语言定义数列的，例如，中国大百科全书：数学卷中关于数列的定义是这样的：如果D为全体自然数的集，则称函数 J:DM为一个数列通常把这种函数的函数值用向一字母（例如）附加体现自变量的值的下标的方法加以表示：JO）1,/(2)=a z，f(n），a，称I 为数列的第一项，a z 为数列的第二项等等，a n 为通项数列本身22 I 普通

68、高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二债则通常写作a1，句，a,.，或简记作怡，I 3.数列的性质与表示方法在得到“数列是一种特殊的函数”后，教科书随即通过类比函数的研究，介绍了用表格和图象来表示数列的方法其中，表格法的优势是不仅明确地列出了数列中的每项，而且表示出了序号与项的对应关系；而在直角坐标系中画出数列的图象，则使数列中项的变化趋势目了然类比函数的单调性，教科书给出了“递增数列”“递减数列”和“常数列”等概念对于数列的其他特殊性质，教科书将结合等差数列、等比数列展开研究教科书类比函数的解析式，给出了通项公式的概念，将它称为“数列的函数解析式”与函数不一定存在解析式类似，数列也不定存在

69、通项公式本套教科书必修第一册第67页的例要求学生用函数的三种表示法表示自变量取离散数值的函数，实际上已经渗透了数列的三种表二法教学中可以让学生回顾这道例题，进步体会函数与数列的联系气Y数列的通项公式是描述一个数列取值规律的基本而重要的方法，教科书通过例题对数列的通J、斗式进行了重点研究其中，例1 要求学生根据通项公式，写出数列的前5项并画出数列的图象，一方面是通过“求函数值”使学生进一步熟悉通项公式的定义，另一方面则是为了让学生进步养成用函数的观点与方法处理数列问题的习惯教学时可以告诉学生，对于一个给定的数列，写出它的几项，并画出草图，是进一步认识这个数列的一种方式例2 的过程与创l相反，要求

70、学生根据数列的前几项写出数列的一个通项公式因为以l 1 1 1，一言 言，t为前 4 项的数列可以有无数个，并且也有不止个的代数式 f（川，使/Cl)=l,/(2）一乞（3），（4）成立，所以这里只要求写出“个J通项公式像例2 这样的问题，要求学生概括数列的已知项的共同特征，发现数列的取值规律，并用适当的式子表示规律，需要学生有较强的观察力、有定的用式子表示规律的经验题目有较强的灵活性，难度也较大因为这里的主要目的是让学生进步理解通项公式，所以教科书仅给出了规律明显、容易刻画的几个数列作为例题和习题教学时应注意提醒学生，用（1)”或（1)-t表示正负相间的变化规律，是一种常用的方法4.例3与例

71、4的设计意图与教学建议在本节的第二部分内容中，教科书先编排了两道例题（例3，例的，让学生灵活运用数列的通项公式解决问题，并借助例 4的情境给出了递推公式的定义考虑到数列的前 项和及前币和公式是所有数列都可能涉及的，本节的最后给出了数列的前n 项和公式的定义，并简单讨论7它与通项公式的关系例3是要利用数列的通项公式判断某个数是不是这个数列中的项教科书引导学生对这个问号进行了转化“要判断 m 是不是数列 an 中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得旷十2n=120飞这实际上转化成了一个求方程的正整数解的问题fjrj 4以个典型的分形现象谢尔宾斯基三角形为素材，让学生用数列刻画这个三角形序290.

72、中国大百科全书出版社编辑部中同大百科全书：数学卷MJ.北京：中国大百科全书出版社，200第四章数列I23 列中着色三角形的个数，并写出这个数列的一个通项公式，这个情境反映了数列在刻画事物变化规律方面的应用 在解决这个问题时，只要数出三角形序列中每个图形中着色三角形的个数并按顺序排成一列，即得到一个数列，然后与解决例 2的过程一样，通过观察各项的取值规律就得到了这个数列的通项公式5.递推公式的定义尽管递推公式不是本章的重点内容，却是数列的重要表示方式在数值计算中，迭代法使用的一些关系式就是递推公式当不能用通项公式整体刻画个数列时，如果能写出递推公式表示数列的相邻两项或多项之间的关系，就可以利用计

73、算工具，方便地利用首项和递推公式求出数列的每一项 教科书结合例4的情境给出了递推公式的定义，还配备了一道简单例题（例5）让学生熟悉递推公式的表示方式在用数列刻画谢尔宾斯基三角形每个图形中着色三角形个数的变化规律时，可以像例4那样先获得数列的前几项，再归纳得到数列的通项公式 观察三角形序列中相邻的两个三角形时，也可以发现共同的规律：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍教科书先把这个规律用符号表达出来，即向 3肉，a3=3句，向 3句，再结合 a1=l，猜测得口，n=l,到了这个数列满足的另 一个公式 （通过提取这个公式中的 a n=3nI(n 二三2),3a n-l n

74、二三2.就得到了一个递推公式对于一般的数值数列，当不能明显看出数列的项的取值规律时，教科书在“边空”的提示中给出了通过运算考察一列数的取值规律的 一般方法：依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察这时发现的往往是相邻两项或多项之间的关系，这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用在本次教科书的修订中，为了适当加强数列问题中对运算、代数变换的运用，教科书增加了根据递推公式探究数列性质的问题：求数列的通项公式（习题4.2的第12题的第（2）小题，习题4.3的第8题，复习参考题4的第13题的第（2）小题；利用所给的递推公式构造一个新数列，使该数列为等差数列或等比数

75、列，再利用等差数列或等比数列的公式解决问题（第39页的例12，习题4.3的第7,11 题）这样的问题具有一定的技巧性，难度较高，教科书或者在第一次出现这样的问题时将其设置为选做问题（加“提”号），或者拆分为小题以降低难度教学时要注意控制此类问题的难度6.前n项和公式的定义，前n项和公式与通硕公式的关系数列的求和问题是由来已久的数学问题本节的最后，介绍了数列的前项和及前项和公IS，l,式 由数列的前n项和的定义，不难推出数列的通项与前 项和的关系：（Sn-Sn I n二三2.根据这个关系，如果知道数列的前n项和公式，可以由数列的前n项和公式推出数列的通项公式 教科书接下来的思考栏目就给出了这样的

76、 一个例子需要提醒学生注意的是，由 a n=Sn Sn I 推出的通项公式仅当二三2时成立，因此需要检验a1的数值是否满足这个公式7.习题4.1中的“新”题目在对本节题目的修订中，教科书考虑了渗透数学史的内容以及数列与函数的关系例如，习题4.1 的第5题以毕达哥拉斯学派用沙粒和小石子研究数的历史为情境，列出了该学派“摆”出24 I普通高中教科书教师教学用书数学选祭性必修第二册的三角形数、正方形数和五边形数的图形序列，让学生也来探究下这三个序列的规律，并写出它们的某些项除了本题，本章还编排了其他用数学史创造情境的问题，例如习题4.2的第12题，复习参考题4的第3题的第（2)(3）小题，以及第4题

77、的第（2）小题和第 9题数论中有些函数是以正整数为自变量的，例如除数函数 d(n)（其函数值等于 的正因数的个数）等，习题4.1 中第1 题的第（2）小题举了欧拉函数的例子此外，第7题也体现了数；二数的关系以函数定义一个数列，再类比函数的研究内容研究这个数列的取值范围和单8.阅读与思考“斐波那契数列”与上个版本教科书中的阅读与思考栏目“斐波那契数列”相比，本次修订增加了斐波那契数列的性质事实上，斐夜那契数列有很多有趣的性质，这也是这个数列有广泛应用的原因教科书选择了斐波那契数列的前 n+l 项满足的一个等式予以介绍，因为这个等式可以用图形直观地表示出来，还可以由此得到“斐波那契螺旋”这个螺旋在

78、项数n不断增大时越来越接近“黄金比例螺旋”，这体现了数学的美4.2 等差数列、本节知识结梅框固！王差数列的定义厂等差中项的定其（等差数列户；一次函数 一.一 -通项公式前n项和公式重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式、前 项和公式及它们的应用难点：等差数列的前 项和公式的推导三、戴羁赘编写窟圈及教学建议节引言帮助学生建构了等差数列的研究思路，即解决了“为什么学”和“学什么”的问题，至于“怎么学”是在本节中结合具体内容的学习进行渗透的对于为什么要学习等差数列以及学什么，教科书是基于“数列是种特殊的函数”通过类比函数的研究路径来解答的，即在学习了数列的一般概念后，与研究函数的思路类似，要对些具

79、有特殊变化规律的数列进行研究这样既可以加深对数列的理解，又可以掌握一些有用的数列模型，它们既是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用而本节是从类取值规律比较简单的数列开始的l 第四章数列 I25 4.2.1 等差数列的概念1.等差数列的概念关于等差数列的概念，教科书介绍了等差数列的定义、等差中项的定义和性质与数列定义的获得方式类似，教科书是通过对具体的等差数列例子的归纳概括来获得等差数列的定义的为了说明等差数列广泛存在于现实生活中，教科书举了4个实际例子，其中前两个例子是关于建筑和服装设计的，说明人们在设计中会主动使用“相等间隔”的数，后两个例子则说明人们通过测量、计算等从自

80、然界或经济生活中可能得到“相等间隔”的数那么，面对一列数，应该怎样研究它的取值规律呢？在本章的第一节已经通过例2和第 6页“边空”中的“提示”给出了不同方法，即对于取值规律比较明显的数列，可以通过观察、猜测得出数列的整体规律；对于取值规律不明显的数列，可以通过运算进行代数推理而得出规律对于等差数列，本节教科书完整叙述了探究数列规律的一种有效方法，为学生研究一种新的数列作出了示范，教学中要注意引导，让学生经历完整的探究过程首先，教科书在思考栏目中提到了运算对于发现规律的作用，并引导学生回忆在指数函数的学习中所经历的用运算发现“A,B两地旅游人数的变化规律”的过程，从而获得通过运算发现等差数列的取

81、值规律的启示 对于数列9,18，肌36,45,54,63,72,81，学生可能自然于想到“18=9十9,27=18 十9,.,81=72+9”教科书把这种表达方式改成了“18-9=9,27一18=9,.,8 1一 72=9”并在“边空”的提示中指出“改变表达方式使数列的取值规律更突出了气然后，教科书用字母代替数列中的具体项，得到a2-a1=9，向 一句 9,.，向 一句9，从而使“规律”呈现出了一般性，由此就容易概括出这个数列的取值规律：从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数接着，教科书以“数列也有这样的规律”的方式，让学生自己进行验证在上述过程的基础上，再给出等差数列的定义教学

82、时要注意在引导学生通过运算、代数变换探究数列的规律的基础上，让学生自主探究数列的规律，并进行共性归纳，然后再用严谨的数学语言抽象出等差数列的概念接着，从一般到特殊，教科书特别研究了只含三项的等差数列，给出了“等差中项”的定义及其性质从数值上看，等差中项等于首项与末项的算术平均数，这可以看成等差数列的一个重要性质这里要特别强调“两个数的算术平均数”在等差数列研究中的重要意义实际上，对于一般的等差数列中的三项 句，句，”如果 2p=m，那么就有 2 m十 这个性质在推导等差数列的前 n项和、证明一些等差数列的问题时都很有用2.等差数列的通硕公式如同一次函数等基本初等函数具有统一的表达式一样，等差数

83、列也有统一的表达式（即通项公式）怎么得出等差数列的通项公式呢？教科书采用了从等差数列的定义出发，先得到它的半推公式an-an-1=d（二三2），再通过把句，句，句，分别表示为向 a1十d，3 1十M户a,+3d 的形式，从而归纳得到an=a1 十（l)d，这就是首项为a1，公差为d 的等差数习:n 卢通项公式教学中要提醒学生，上述推理过程属于归纳推理，而由归纳推理所获得的结论：仅仅是一种猜想，来必可靠因此，等差数列通项公式的正确性还有待用第4.4节的数学归纳法予以严格的证明26 I 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册 l在教学中，教师也可以用“累加法”，即把 n-l个等式 向a1=

84、d,a3-a2=d，向 a3=d，an 一1=d 的左右两边分别依次相加，得到an-a1=(n-l)d，从而也可以得到等差数列a，的通项公式实际上，这就是递推公式的一种应用由于这种方法带有一定的技巧性，教科书正文没有选用这种方法，而是用了上面提到的更直观的“归纳法”但考虑到“累加法”的实用性，教科书编排了两道习 题（习 题4.2的第12 题的第（2）小题，复习参考题4的第13题的第（2）小题），教学中可以引导学生使用这种方法进行解 题3.等差数列与一次函数的关系为了从函数的角度理解数列，加深学生对等差数列的认识，接下来教科书分两个方面研究了等差数列与一次函数的关系一方面，教科书通过把等差数列的

85、通项公式向 a1 十（n-l)d(d手0）变形为an=dn+Ca1-d)Cd手0），得到了an就是一次函数J(x)=dx十Ca1-d)(xR）的自变量取正整数时的函数值的结论教学中，教师可以强调直线J(x)=dx+(a1-d）是以等差数列的公差d 为斜率的根据上述结论，教科书通过在函数J(x)=dx+(a1 d)(xR）的图象上画出自变量取正整数的点，得到了数列an的图象这就从表达式和图象两个方面阐明了等差数列与相应的一次函数之间的关系另 一方面，对于一个任意的一次函数，教科书也说明了如何由它构造一个等差数列教学中，教师可以让学生根据刚学习的等差数列与相应的一次函数之间的关系，自己回答这个问题

86、总结以上两个方面，由确定一个一次函数需要两个独立的条件可知，确定一个等差数列需要两个独立的条件特别地，给定等差数列的首项和公差，那么这个数列就唯一确定了 因此，在等差数列的教学中，要特别强调首项和公差的重要性4.关于例1、例2安排例1、例2的目的是通过对等差数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量向，d n,an 之间的关系通过第4.1 节的学习，学生已经知道利用通项公式可以求出数列的所有项例1 的第(1)小题是让学生将通项公式与等差数列的定义结合起来，由通项公式求出anl 后，即可以由定义求得公差d=a,-anJ；第（2）小题是根据等差数列通项公式的定义，由数列的前两项获

87、得首项、公差，即可求得通项公式 例2需要先由数列的前两项求得等差数列的通项公式，再利用通项公式判断某个数是否为该数列的项这两个例题的教学，要强调让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式（方程、方程组）解决问题的思想方法5.关于例3 例5例3和例4分别体现了等差数列在解决实际问题、构造新数列方面的应用，例 5 则探究了等差数列的性质，这三道例题比前两道例题的难度高，建议教学中单独用一个课时讲授例3要求学生将实际问题转化成一个等差数列问题，并利用不等式求解转化的关键是发现实际问题中呈等差关系变化的量（即这台设备使用 n年后的价值），并构造等差数列（首项为220-d，公差为 d 的等差数列a

88、n）来刻画它，这样就可以利用等差数列的通项公式来解决问题了 教学中应注意引导学生类比建立函数模型刻画现实世界的变化规律，再利用函数的性质解：第四章数列I27 L 决问题的过程，经历建立等差数列模型解决实际问题的过程学生可能认为没有必要构造数列，在解题中也可能因为没有设定数列的首项，致使后面不能准确地运用给出的条件列出不等式组教学中要让学生完整地经历将实际问题中的等差关系转化为等差数列的过程，养成学生严密思考表述问题的良好习惯伊4先利用一个已知的等差数列构造了一个新数列，然后利用原有数列的性质来研究新数列的性质由第(1）题的条件，插入数后构成的新数列是等差数列，所以只要利用原数列的第2项是新数列

89、的第5项，就可以确定新数列的公差，进而得到新数列的通项公式“边空”中的问题是对第(1）题的一种推广教学时，要让学生明确k=l就是在原数列的每相邻两项间都插入1个数，仨2就是插入2个数，时就是本例解决这个问题时，可以让学生分陆来走：中(1）在本例给出的an中求解，即 设数列bn 的公差为 d，则b1=a1,bk牛z=a2，田bk2-b1=a2-a1=8，及bk+2 一b1=Ck十1)(2）在首项为，公差为d 的数列中每相邻两项之间都插入 k CkN簧）个数，这时求得的公差d 兰例L 的第 堪的解答用不完全归纳的方法，探究了an中的项在新数列 bn中的分布规律，这个规律就是an的各项在bn）中的位

90、置依次构成了 一个首项为1，公差为4的等差数列教学中，也可以让学生从b1 开始写出 bn的若干项，以发现这个规律对于“边空”中的问题，即寻求本小题的其他解法的问题，考虑到判断某一个具体的数是不是（n例2已经解决的问题可以先通过 bn的通项公式求出这个数 C b29=58），再利用an的通项江式进行判断例5以的题的形式给出了等差数列的一个重要性质，同时也体现了如何运用等差数列的通项公式推导等差数列的性质设计本例的目的，既是让学生进一步认识等差数列的性质，同时也是L学生了解一些数列的结论的证明方法，并且也为后面推导求和公式打下基础 教学中，可以干二生体会，用“基本量”表示数列中的项在证明数列问题时

91、的重要性，等差数列中常将首项和信差作为基本量教科书帮卢学生从“式”和“形”两个方面来认识例5中的性质，思考栏目让学生从几何的角度来解释这一性质这样做的目的是给学生作出示范一一一在研究数列的过程中，可以借助几何直观来理解数列的性质教学中，教师要启发学生认识到，由于等差数列的图象是均匀分布在某一条直线上的点，所以对于教科书图4.2-2所示的情形，将鸟，z和 apaq 分别看作直角梯形的两条底边的长，那么 a，十a，和向 十aq 可以分别看作两个梯形的中位线长的两倍由于P 十。s十t，所以这两个直角梯形有相同的中位线，进而得到民十a,=ap十aq.学生可能会提出：图中给出的问题只是一种特殊的情形，句

92、，aq，a，中可能有若干个是负数，这就不方便用梯形中位线来解释了”这时，可启发学生考虑将勺，句，矶，a，中的每一项都加上同一个适当的正常数 d，这相当于把官们所在的直线向上平移一段距离，使 ap十 d,aq 十d，s 十d,a，十d都变为正数这样一来，图4.2-2中的情形就不失一般性了28 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式1.等差数列的前n项和公式的推导教科书把等差数列的前n项和公式看成了等差数列的一个性质，即这个公式是可以根据前面学习的等差数列的概念、通项公式和性质推导出来的应该怎样推导呢？历史上出现过的最简便的方法可能是“倒序相加法”，这也是

93、一个被广泛引用的方法古代数学家们是如何想到这种方法的，我们已经无从知道，但有一点却是肯定的一一这种方法建立在对等差数列深人理解的基础上，即掌握等差数列的某些性质的基础土基于上述认识，教科书创设了一条探究等差数列前n项和公式的路径，让学生经历利用等差数列的性质推导出“倒序相加法”的过程，不仅使这 一方法的引人更加自然，而且把提高“四能”渗透其中 过程大致如下：(1）以高斯求1,2,3，100的和的故事创设情境选择这个故事，一是它有趣且著名，很多学生已经对它耳熟能详；三是以1,2,3，100为对象展现的“首尾配对”的求和过程非常直观；第二点也是最重要的，高斯算法与“倒序相加法”的思想是一样的，都是

94、把不同数求和转化成相同数求和，都利用了上一小节例5中的性质(2）通过思考栏目，让学生探究高斯算法中蕴含的数学思想事实上，数列1,2,3，n，的性质具有一般性，或者说，这些性质可以方便地推广到一般的等差数列中去因此，研究清楚高斯算法到底利用了数列1,2,3，n，的什么性质，我们就可以非常方便地把高斯算法推广为求1,2,3，n，的前n项和的方法，并进一步推广到求一般等差数列的前项和上去另外，由S 12 an=na 1+o+2十（n一l)d 可知，求 一般等差数列的前n项和的问题都可以转化成求1,2,3，n，的前1项和的问题，这也说明求1,2,3，的前n-1项和，可以作为研究等差数列求和问题的一个基

95、础为了便于探究性质，教科书再次用符号代替具体的数（探究等差数列的取值规律时也是这样做的），从而发现了高斯求和过程中的“秘密”，即利用性质：a1 100=az 99aso+as1,即上一小节例5中的性质的一个特殊情形，从而把不同数求和转化成相同数求和(3）教科书把高斯算法推广到求数列1,2,3，n，的前 项和 由于推广的指导思想就是高斯算法的思想，即利用上一小节例5中的性质把不同数求和转化成相同数求和，所以学生不难独立完成这次推广难点在于要对项数 n分奇偶讨论，以及处理一般化的符号为了降低难度，教学中，可以先让学生解决教科书第18页“边空”中的问题“你能用高斯的方法求1+2十十100+101吗？

96、”，这实际上是项数 为奇数时的一个特殊情况，需要确定配对后的余项，即中间项（51）；然后，再思考项数 n为一般正整数时的情况这样，学生就不难想到要对项数 n分奇偶讨论了写处理项数 n为一般正整数的情况时，难点是用符号表示中间若干项的序号 教学时，应该在“中间项的序号如何用 n表示”上加强引导，必要时可以让学生借助具体的数进行尝试(4）教科书设置了一个思考栏目，让学生思考如何避免对n分奇偶进行讨论，这就为引出“倒序相加法”提供了契机考虑到学生很难自己提出“倒序相加法”，教科书提出了一个可能发(1十）现“倒序相加法”的思路一一在S=1+2十3 n 一2一的两边同乘以2，得到25=2(1十2+3n)

97、=nO 川，这相当于把两个S 相加，而结果变成n个（n十1)相加 在这第四章数列I 29 个等式的启发下，想到用“倒序相加法”求 l 十2 十3 n.这样的引导，展现了数学发现中的“触类旁通”“灵感”等要素，为学生分析问题和解决问题作出了示范(5）教科书设置了 一个探究栏目，让学生体会“倒序相加法”的妙处，并把它推广到求一般等差数列的前n项和2.对等差数列的前n项和公式的理解n(a1十a.)在得到等差数列的前 项和公式S.=2 以后，教科书在“边空”的提示中对这个公式进行了解读：等差数列的前n项和等于前n项的平均数的 倍，而前n项的平埠数等于首项与a1+a a 1a.末项的平均数 值得指出的是

98、，由 a 1 十向 a2 a.一1=a3+a.2 及.n 可知，等差数列与“平均数”的联系非常紧密，而“平均数”是一个重要且有用的概念，教学时应提醒学生加以注意进一步地，教科书通过把等差数列的通项公式代人这个公式，得到了另 一个求和公式（公式(2)），并让学生用其他方法推导这种方法实际上就是我们前面提到的把求等差数列 I句，a.，的前n项和问题转化成求1,2,3，的前n-l项和问题的方法，其思想是把首项 a 1 作为翻出，把其他项用肉，d 表示教学中可以让学生自己推出这个公式，并分析两个公式各造用于什么情况3.关于例6和例7本节共安排了 4道与等差数列前 项和公式的应用相关的例题（例 6例的例

99、 6 和例 7 是较为基本的等差数列的前n项和公式(1）和公式（2）实际上是关于等差数列a.的 5 个相关量肉，”d,n,S.的等量关系，例6的3道小题都是给出这5个量中的3 个已知量，让学生选择公式(1）或公式（2）求其他 2 个未知量的问题，这其中渗透了方程的思想教科书在“边空”的提示中给出了一个问题，让学生在解决例6的基础上，探究已知 a1，”d,n,S.中的几个，就能求出其他量例 7 的已知条件“5 10=31。”“520=12 2。”都给出了等差数列a.的 5 个相关量肉，”，d,n,S.中的 2 个，所以用其中单独的一个条件无法求得 a 1 和d，但是同时使用两个条件，就可以得到关

100、于 a 1 和d 的一个二元一次方程组，从而求得 1和d，也就是确定了等差数列在本题之后，教科书总结了要确定一个等差数列，需要的已知条件的个数，结论是“两个相互独立的条件”由于这个结论比较抽象，教科书没有让学生自己归纳总结，而是直接给出了结论教学中教师可以帮助学生理解这里的“相互独立”“条件”的含义等4.例7之后的探究栏目n(n-1)d I d飞由等差数列a.的求和公式（2）可知S.=na1d=2n2+(a1-2)n，对于给定的等差数列，首项 a1、公差d 是确定的常数，当d笋O 时，s.可以看成函数 Y=f x2(a 1一f)x(xR）当x 时的函数值这个探究栏目从反方向提出问题，晰足前n项

101、和为S.2+q r（其中，q,r 为常数，且户手0）的数列 n是否为等差数列30 I普通离中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册教科书用电子表格进行探究活动有两个目的：是希望学生能注意到数列是由一列数组成，能从数的角度来观察问题、形成猜想，最后证明猜想，这也是研究数列时常会用到的一种方法，同时也是发现问题、提出问题的一个有效途径；二是体现信息技术工具在数列研究中的作用在教学中，教师应引导学生就不同的户，q,r 的值对电子表格中的数据进行观察，形成猜想探究的结论是：(1）当 r=O时，数列a.）是以q 为首项，2户为公差的等差数列；(2）当r 乎全0 时，数列a.从第二项起的后续各项组成一个等

102、差数列证明如下：因为 a.=s.-s.l n2十qn+r 一（n-1)2十q(n-l）十r=(Zn-l)p+q(n 注2),户十q十r,n=l,所以 a.=/l(Zn-1)十q，n二三2.当 n注2 时，a.+i-a.=2，而 a2-a1=2r.所以，当r=O时，数列a.是以q 为首项，2户为公差的等差数列；当 r 乎全0 时，数列a.从第2 项起的后续各项组成一个等差数列在探究活动中，也可以让学生思考一下，如果没有。这个条件，问题又是怎样的一种情形教师还可以给出下 面的例子，说明如何利用探究栏目获得的结论解决问题已知等差数列a.的前 项和S.=m，前m项和Sm=n，求Sm牛”由上 面得到的结

103、论，可设S.n2+qn=m，Sm=pm2十qm=n.一，得p(n-m)(n十m）十q(n-m)=m-n，化简，得户Cn+m)=-l-q.所以Sm忖（m+n2+q(m十）（l-q)(m+n)+q(m+n)=-m-n.5.关于例8和例9例8是一个实际问题，解决它的过程与例3类似，都是先构造一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量，再利用等差数列的公式（这里是前n 项和公式）建立关于未知量的方程，通过解方程使问题获得解决例9要求等差数列前n 项和的最大值）般地，对于个元穷等差数列，(1）若dO，则S.有最小值；(2）若dO，则s.有最大值对于本例，教科书给出了两种解题方法：一是通过分析数列a.

104、的项的取值特点，得到 n 是递减数列，且存在正整数走，使得当n二到时，a.O的等比数列的单调性”教学中可以引导学生思考，除了要像指数函数那样，分为Oql两种情况讨论外，还要考虑q=l时的情况，以及将整个数列分为10和a10a10q的范围OqlOql等比数列a.）的单调性单调递减不变单调递增单调递增不变单调递减在4.2节，教科书通过一次函数f(x)=dx+(a1-d)(xR）的图象，得到了等差数列anCan=a1+Cn-l)d）的图象，这里则通过“边空”中的问题，让学生自己探究公比 q O且q#l的等比数列an 的图象特点3.关于例1例3例l与4.2节的例7类似，也给定了两个独立的条件与等差数列

105、的问题类似，只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项等 但与等差数列不同的是，根据两个给定条件得到的关于首项向和公比q的方程组的解往往不唯一，有时会得到两个q的值，也就是得到两个不同的等比数列此外，为了让学生熟悉等比中项，教科书把例1中要求的数列的某一项设置为给定两项的等比中项，这样学生就可以直接利用等比中项的定义解决问题了！第四章数列I33 例2也给出了两个独立的条件：公比q 和第m项 am.学生可以先求出用 am 表示的首项肉，再代人通项公式的表达式中，就得到了用m 表示的 an.另外也可以像教科书中那样，分别用 a1;(h表示阳和 向，两式相除，就消去了 a1，得到

106、了用 am 和q 表示的 an.教科书在“边空”的中”中对这个问题的结论进行了总结，即喻忆数列的任意一项都可以自均列的某一项和公比表示”教学中可以让学生类比这个结论，去探究等差数列是否有类似的结古巴t4 伊3安排了一道综合应用等差数列和等比数列的通项公式解决问题的题目题目中给出了3小条件，要求一个“前三项成等比、后三项成等差”的数列教学中可以引导学生分析，根据条件包含的等量关系，列出关于数列相关量的方程组是解决这类问题的常用策略而本题利用中间项去表示其他各项，可以减少所设未知数的个数4.关于例4 例6本小节第二部分的例题包括等比数列的通项公式在解决实际问题中的应用，以及对用等差数列、等比数列构

107、造的新数列的性质的探究与用等差数列的通项公式或前 项和公式解决实际问题类似，要解决例 4 中的问题，关键是发现问题中呈等比关系的量，并构造一个等比数列来刻画这个量在本例中，这个量就是10 000元存n个月或者 命季度以后的本利和但要准确确定这个量，还需要学生能够理解例 4 的实际情境，即要弄清什么是“复利计息”“利息”指的是什么此外，教学时可充分利用电子表格，让学生直观观察数列的变化趋势电子表格的运用，只是减少了数值的计算，并不影响学生对于问题的分析及模型的建立等，同时有利于学生提出更开放的问题对例5中结论的证明并不困难，只要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识证明就可以了但本

108、题的意图是先证明等差数列与等比数列间联系的一种特殊情形，然后引出例题后对等差数列与等比数列间联系的一般情形的思考有了证明例 5 的基础，学生不难证明例 5 后思考栏目提出的问题具体的证明如下：a.+nd 艺工一寸 bd，所以数列 b是以b1 为首设数列 an的首项为 a1，公差为d，则b=b、一项，bd 为公比的等比数列设数列a.是各项均为正的等比数列，其首项为 肉，公比 为 q，则 logba.+1 一logban=logb巳 logbq，所以数列logban是以logbq 为公差的等差数列;i草了等差数列与等比数列之间的联系，就能方便地把等差数列的一些性质迁移到等比数列中例如，在等差数列

109、a.中，对于正整数，q s t，若P 十q=s+t，则P+aqs 十a,.那么，对于各项均为正数的等比数列a.又有怎样的结论呢？利用上面的结论，可知数列lg a.是等差数列，所以lg ap十lgaq=lg a，十lg a，即lg(apaq)=lg(a,a，），于是相对应的结叭县 a a 凡进一步地，我们还可以证明此结论并不需要数列川的各项均为正数伊j牛一何为复杂的实际问题，根据实际情境不难构建两个数列一等比数列 an和等差数列b.，而与问题的解决直接相关的量（各月不合格产品的数量）可以用这两个数列的项的乘积构成的数列 a.b.来表示对于这样的数列的求解，在前面的内容中找不到现成的方法，教科书通

110、过“求通项一一用电子表格求出若干项一发现规律一证明结论”的途径进行解决通过本例的学习学生可以体会到，对于数列问题，我们二般从它的通项出发进行研究，对于一个喃生”数34！普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册列（非等差或等比数列）的通项公式，往往可以从数值、图象上寻找规律，然后通过运算、论证获得解答而在许多“陌生”数列的处理上，信息技术工具的使用可以帮助我们发现规律，提供推理论证的思路在证明本例的数列 anbn的单调性的过程中，教科书采用的方法是作商而不是作差，这是考虑到了等比数列的特点，用除法可以进行约分，使得不等式变得简洁明了当然，也可以让学生自己用作差法来证明对于本例的结果，可以用

111、一次函数和指数函数的变化规律来解释：等差数列（近似 一次函数）以恒定的速度增长，而等比数列（近似指数函数）随着项数的增大，递减的速度越来越快，所以它们的乘积是先增后减4.3.2等比数列的前 顶和公式本小节的内容、结构与“4.2.2 等差数列的前n项和公式”是完全类似的，下面主要就两者的“差异”来介绍本小节的编写意图与教学建议1.等比数列的前 颐和公式的推导本小节也用了一个有趣的故事情境来引人数列的求和问题，所不同的是，这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情境只提供了一个求等比数列的问题背景，而没有提供算法等比数列的前n项和公式的推导有很多方法，教科书采用的是“错位相减法”与推导等差数列的前n项

112、和公式的“倒序相加法”类似，“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法但与“倒序相加法”不同的是，“错位相减法”源于对等比数列前n项的和式的观察和分析，利用了等比数列的定义，并没有利用等比数列的其他性质，因此教科书直接让学生在 S=a1+a1q+a1q2 十a1q”一1 的两边乘以q，得到 qSn 1q1q2 十十 a1q一I+a1q；然后通过消去两式中的相同项，就得到了等比数列的前 项和公式在教学中，学生可能会提出疑问：是怎样想到在S=a1十 a1q+a1q2 aiqn-1 的两边乘以q 的？教师可以让学生独立思考，提出合理的解释下面的思路提供了一种解释：从等比数列的定义可知，向 qa;

113、-1(i=2,3，）S.=a1+a2 十a.的两边同乘q，有qS.=qa1十 qa z 十qa.=a z 十 a 3 十 a.显然，式的第 1（n-1)项分别与式的第 2n项相等2.对等比数列的前n顶和公式的理解于是，在 1Cl-q)由于等比数列的前n项和公式S.中q手1，教师可以引导学生思考，当 q=l 时，l-q 等比数列的前n项和公式是怎样的.(S.=na1.)与等差数列类似，等比数列还有一个求和公式，即S.罕(q#l).教学中可以让学生自己推出这个公式，并分析两个公式各适用于什么情况第四章数列35 3.关于例7 例9本小节的例题也 分成了两部分，例7例9是较为基本的应用等比数列的前 项

114、和公式解决数学问题的题目，建议在教学中与等比数列的前n项和公式在同一课时完成例7与4.2节的例6类似，给出了等比数列a.的5个相关量a1,a”q，s.中的3个，让学生选择等比数列的前n项和公式(1）或公式（2）求其他2 个未知量由于本例涉及的3个小题中的公比q 都不 等于 1，所以不 需要对q是否等于 1 分类讨论而第 2 小题虽然需要求公比q，但限定了 qO，所以只能得到一个结果例8与4.2节的例7类似，给出了等比数列的两个相互独立的条件但这两个条仰不包含公比q 的信息，所以需要对q是否等于 1 分类讨论例9 在原来等比数列的基础上，利用等比数列的前n项和，前2n项和与前3项和构造了一个新的

115、数列乱，5 2”s”5 3.-5 2.，让学生证明这个数列也是等比数列事实上，这也是等比数列的一个性质由于条件中出现了等比数列的前n项和，所以本题与例8的解决过程类似，只要分公比q是否等于1 两种情况，分别利用等比数列的前n项和公式即可证明，教科书给出的正是这样的证明过程考虑到新数列的非殊性，也 可以不 利用等比数列的前 项和公式，而是由数列的前 项和的定义，得 5 2.-s.n+l十a.+2 十十句，=q Cai十2 an),$3n-$2n=a 2叶1 十2叶2十 十a3.=q2n（l十a2），这样就避免了对q 的分类讨论教科书“边空”中的问题就是让学生思考不 用等比数列求和公式的证明方法

116、此外，题干中强调“公比q手 一 1”的原因是，当 q=-l时，可以发现使结论不 成立的反例，如通项公式为a.=(-1)的数列4.关于例10例12例10例12 涉及了等比数列的前n项和公式在解决几何问题和实际问题中的应用，建议单独用一个课时讲授例10 要用等比数列的求和公式解决几何中的一个求面积和的问题与用等差数列的前n项和公式解决问题类似，用等比数列的前n项和公式解决问题时，基本方法也是先发现问题情境中的呈等比关系变化的量，并构造一个等比数列来刻画它，然后把求这个量的和的问题转化为求等比数列的和的问题本例的第(1）题就 可以用这样的思路来解决教科书编写第（2）题的目的是渗透极限的思想尽管学生还

117、没有极限的概念，但借助数值计算应该可以理解：随着的元限增大，（i）”将趋近于0此外，教学中可以让学生借助直观来理解取极限的结果，即后一个正方形的面积是前一个正方形面积的一半，每增加一个正方形，可以将它的面积等同于围绕这个正方形外部的四个三角形的面积和，当n无限增大时，内部正方形的面积无限趋近于0，所以s.无限趋近于原来正方形面积的两倍例11 是一个有关等比数列与等差数列的前n项和公式的综合应用问题与例6类似，本例根据实际情境，也 可以构建出两个数列一一等比数列a.和等差数列bn，而与问题的解决直接相关的量（每年以填埋方式处理的垃圾量）可以用这两个数列的差构成的数列a.-b.来表示于是，求 年内

118、通过填埋方式处理的垃圾总量，就 转化为求数列a.-bn的前 项和而要求这个“陌生”数列的和，则需霎把它转化为学生已经掌握的等差数列和等比数列的求和问题在教学中，可以让学生思考如何求这个数列a.b.的和36 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册i-在解决实际问题时，有时不 容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，但可以发现某些量的递推关系这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的线性组合例12 的设计意图就是说明如何处理这样的递推关系对于第(1）题，根据实际背景，不难写出 Cn-1-1 与c.之间的递推关

119、系由这个递推关系很容易判断，C n 既不是等差数列，也 不是等比数列而第（3）题要求 C n 的前10项的和，如何求呢？事实上，C n 可以变换为一个等比数列，但需要一定的技巧第（2）题通过问题的形式给出了这种技巧的关键步骤，即先通过引人参数，建立一个含C叶1 与c.的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法尽管其他类型的数列不是本章研究的主要内容，但考虑到学生在今后的学习中，很可能需要把其他数列变换为等差或等比数列，所以教科书也 设置了相关的习题（习题4.3的第7,8,11 题）s.阅读与思考栏目“中国古代数学家求数列军口的方法”等差数列求和的“倒序相加法”、等比数列求和的“错位相减

120、法”都是历史传承下来的巧妙方法，许多学生都会觉得 它们“巧妙”但“想不到”事实上，这两种方法都建立在对等差数列、等比数列的性质深入理解的基础上为了让学生认识到这一点，教科书设计了这个阅读材料，介绍中国古算家求数列和的故事本文首先简单介绍了数列求和问题的发展历程，然后探讨了魏晋时期的刘徽是如何发现等差数列求和公式的，再现了北宋的沈括创造求垒起的酒坛数公式的方法，还分析了南宋的杨辉将求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的“垛积”问题的方法透过这些小故事，学生不仅能学习古算家求数列和的思想方法，而且能体会到这些数学思想方法诞生的曲折过程，感受到数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识4.4*数学

121、旧纳法一、本节知识结构框圄数学归纳法的原理数学归纳法的应用二、重点、难点重点：数学归纳法的原理和应用难点：数学归纳法的原理数学归纳法的基本步骤数学归纳法的本质特征证明数列中的一些简单命题第四章数列I37 二、教塾圭编写意固及塾些壁挨一数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，是证明与正整数n有关的数学命题的非常实用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想数学归纳法的本质，是建立一种无穷递推机制，实现从有限到无限的飞跃数学归纳法对提升学生的逻辑推理素养有着重要作用但学生在初学时往往不容易掌握这种方法的本质，解题时会出现机械地硬套两个步骤的现象 为了让学生能够正确地理解和运用这种方法，教科书主要阐

122、明了以下四个基本问题：(1）为什么要应用数学归纳法？(2）数学归纳法是怎样的一种方法？(3）什么时候需要应用数学归纳法？(4）怎样正确地应用数学归纳法？1.数学归纳法的内窑定位本节内容为选学内容，不作为考试要求，但是鉴于数学归纳法是一种非常有用的数学证明方法，建议有条件的学校都应该让学生学习通过本节内容的学习，学生可以通过具体情境，了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，提升数学抽象和逻辑推理素养本节内容分为两部分第一部分的主要内容是借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤；

123、第二部分的重点是用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，教科书为此安排了3个例题，通过3类典型的数列问题的证明，说明用数学归纳法证明命题的一般过程，巩固学生对数学归纳法的认识基于数学归纳法的内容定位，教科书通过加强数学归纳法的提炼过程、认知过程，深挖其育人价值，凸显了“重视两个过程，凸显一个价值”的教材编写特点2.数学归纳法的提炼过程教科书一方面通过引例提出猜想，寻求证明猜想的方法；另 一方面挖掘“骨牌原理”，类比“骨牌原理”寻找和构建递推关系，呈现了数学归纳法产生的必要性与合理性具体说来，教科书采用的编写思路是：设置探究栏目引出如何证明与正整数 有关的数学命题的问题，引发学生对数学归纳法的学习

124、兴趣挖掘多米诺骨牌全部倒下的原理（以下统称“骨牌原理”）类比、迁移“骨牌原理”，获得证明数学命题的方法推广得到数学归纳法的原理因此，数学归纳法的形成过程，蕴含了类比、迁移、从特殊到一般的抽象过程这种编排方式符合弗赖登塔尔和华罗庚先生对如何正确学习数学归纳法的阐释，把用数学归纳法才能解决的问题呈现在学生面前，使学生在形成直观认识的基础上发现这个方法Cl）强化引例引导功能 为了使学生感受引人数学归纳法的必要性，教科书引人一个递推关系简洁明了、但其通项公式不能用常规方法严格证明的数列问题，并设置探究栏目进一步说明常规证明方法在解决这一问题时的不足，然后指明寻求新方法的方向：“通过有限个步骤的推理，证

125、明n取所有正整数时命题都成立”(2）深度挖掘“骨牌原理”为了突出“现实情境一数学问题一数学形式化”的研究轨迹，教科书详细分析了“骨牌原理”，并通过思考栏目，引导学生分析使所有多米诺骨牌都能倒下的两个条件：38 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修 第二册 第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下 由此引导学生进一步深入分析条件的作用给出了一个递推关系事实上，虽然多米诺骨牌游戏是一种现实情境，但它能揭示数学归纳法的本质，类比价值较高，可以视为递推思想的一个模型，即条件就是数学归纳法原理的现实模型为实现现实情境向数学知识的自然迁移，教科书设置了第三个思考栏目，将多米诺

126、骨牌游戏的两个步骤类比、迁移到证明猜想“数列的通项公式是l（仨N叮”的问题中，使数学归纳法的原理生成水到渠成教学时教师可引导学生按照如下推理方式，回顾猜想、引例中数列的通项公式是 a,=l(n N丁的过程：出a1=1及递推关系由“2=1及递推关系由向11生递推关系1=1.a2=1 a3=1a4=l 让学生认识到虽然可以这样一直验证下去，但是正整数有无限多个，无法对数列的所有项一一验证因此，利用逐个验证的方法无法完成证明教学时应引导学生反思上述验证过程，使学生发现验证的关键是依托递推关系一！归纳出推理的一般结构特征：H i-2-ak 由a,=l及递推关系a.=l立a.+1=l.如果能够解决这个问

127、题，就可以实现任意一项向 l 向下一项ak+I=l 的过攘，从而可以利用有限个步骤的推理，解决无穷多个命题证明的问题这样，学生就可以明确：如果能证明这个命题，那么猜想a,=l CN勺的证明就会迎刃而解在教学中，教师应引导学生把猜想的证明过程与“骨牌原理”进行类比，一步一步对照挖掘（表4-2）.重点要说明第二步是要证明一个命题：题设是ak=l，结论是k+I=1.让学生独立思考如何证明这个命题表4-2“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析骨牌原理猜想的证明步骤第一块霄牌已经倒下证明n=l时，猜想正确证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句证明“如果 k时猜想正确，那么 n=k+l 时，话是

128、真实的猜想也正确”这个命题是真命题根据，所有的骨牌都能倒下根据，这个猜想对一切正整数n都成业通过以上类比、迁移的过程，学生就能真正理解“自动递推、无穷验证”的实质，从而实现从有限到元限的转化，为抽象、概括出数学归纳法的原理奠定坚实的基础(3）概括、提炼数学归纳法的原理有了以上铺垫，数学归纳法原理的得出是非常自然、水到渠成的形象地说，数学归纳法的原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心就是“归纳递推”需要指出的是，数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理（见拓展资源），教科书只是结合具体问题抽象出数学归纳法的原理在教学中，教师可根据学生的实际，利用拓展资源让学生了解数学归纳法的其他形式，帮助学生加

129、 深和拓展对数学归纳法原理的认知3.数学归纳法的认知过程Cl）突破数学归纳法的认知难点数学归纳法的认知难点之一是“对把无限步的验证转化为第四章数列I39 有限步的验证合理性的认识”为克服这一难点，教学中可以类比学生已有的知识经验，例如，证明直线与平面垂直（即证明一条直线与平面内的“任意 一条”直线都垂直），可以转化为证明直线与平面内的“两条”相交直线垂直数学归纳法的认知难点之三是“理解两步骤的必要性”在教学中，通过图4-1图4-3所示的多米诺骨牌游戏的3次对比操作，可以直观地化解这一难点通过这3次实验，教师可以引导学生发现：有“归纳递推”没有“归纳奠基”不行；有“归纳奠基”没有“归纳递推”也不

130、行；有“归纳奠基”且有“归纳递推”才行实验 r:;伺实验二.I I 11 I I 11 实验三rTl1-图 4 1实验成功图 4-2第一块骨牌不倒图 4 3中间骨牌间距过大数学归纳法的认知难点之三是“对蕴含关系PC走）PC走十1)的理解”事实上，学生的认知困难与理解“蕴含关系”存在密切联系，教学中应着重引导学生认识蕴含关系PC走）PC走十1)的意义：这个蕴含关系所关注的不是PC走）和PC是十1)是否分别成立，而是命题“若 P(k）为真，则PC走十1)为真”是否成立(2）认清数学归纳法的本质特征教科书通过思考栏目，引导学生概括出数学归纳法的本质特征，理解两个步骤之间既相互依存，又彼此关联，是一个

131、有机的整体，从而真正理解数学归纳法的结构特征和证明规范教师要强调用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可 其中第一步是命题递推的基础，确定了 no时命题成立，n=n0成为后面递推的出发点，没有它递推就成为无源之水；第二步是命题递推的依据，即确认 一种递推关系，借助它命题成立的范围就能从正整数no 开始，向后一个数 接一个数地元限传递到no 以后的每 一个正整数，从而完成证明因此，只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从no开始的所有正整数n都成立具体可按照如下“三步曲”组织教学：第一步的作用是什么？引导学生类比“骨牌原理”，第 一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础

132、类似地，第一步为命题成立提供了基础，所以称之为“归纳奠基”第二步的作用是什么？还是引导学生类比“骨牌原理”，如果第h块骨牌倒下，那么要能保证第h十1块骨牌也倒下，再加之走的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性类似地，第二步保证了命题成立的递推性，所以称之为“归纳递推”第二步的本质是什么？是证明一个命题：条件是“k 时命题成立”，结论是“k 十 1时命题也成立”又由走的任意性，就保证了命题成立的递推性(3）构建数学归纳法的结构框图借助以下结构框图（图4-4）可以使学生加深对数学归纳法的理解，深化对使用数学归纳法的操作程序的认识教学时，教师可引导学生自行画出数学归纳法的结构框图，并结合框图，逐层剖析

133、，让学生明白第一步是证明奠基性，第二步是证明递推性，这样既有助于突破难点，又有利于突出重点，40 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册证明一个与正整数n(nn0,nEN）有关的命题I l+nx.本例是将等比数列的求和、不等式的性质和“先猜后证”的思想方法结合起来的一种变式安排这个例题的意图是拓展数学归纳法的应用途径，并通过两种思路和解法的对比，进一步强化“观察一归纳一猜想一证明”的思维模式，提升学生的逻辑推理素养本小节的 4 道练习题（第 51 页）可采用“分层配对”的方式处理：第 1 题结合例 2 的教学，第 2 题和第 4 题结合例 3 的教学，第 3 题结合例 4 进行 所有

134、练习题应让学生独立思考后书写证明过程，并将证明过程与相应例题的证明步骤进行对比分析，以强化学生对数学归纳法的应用数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，用于证明与正整数有关的数学命题，某些时候是其他方法难以替代的 数学归纳法在几何证明与代数证明中都有着广泛的应用 我国著名数学家华罗庚指出：“数学归纳法这个方法很重要，学好了，学透了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所禅益”数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，令人不得不赞叹它的力量与魅力那么，这么奇妙的方法是谁想到的呢？其理论依据又是什么？它还有其他变化形式吗？数学归纳法从萌芽、形成、命名到繁衍与发展，共

135、经历了两千多年的时间，其间倾注了众多数学家的精力和智慧一般认为，数学归纳法的思想在古希腊数学中已有萌芽 而最早在数学中运用递归思想的是公元前3世纪欧几里得的几何原本，欧几里得在证明素数元限的过程中，用到了递归方法但严格的数学归纳法是在 16 世纪后期才引人的，最先试图用递归方法证明数学命题的是意大利数学家毛罗利科（Maurolico,1494-1575）.毛罗利科在他的算术一书中明确地提出了“递归推理”这个思想方法，并用这一方法得出了若干结果（如 1十 3 十5 十(2n-1)=n2）.但他仅仅指出了这种方法的必要性，并未清晰表述方法最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡(

136、B.Pascal,1623 1662）.在他的论算术三角形一书中，帕斯卡首次使用数学归纳法的两个步骤，并用其证明了“帕斯卡三角形”（我国称为“贾宪三角形”或“杨辉三角”）等命题此后又经历了几百年，凝聚了几代数学家的智慧和汗水，数学归纳法才发展为今天如此完善的地步另外，数学归纳法的命名也经历了一个漫长的过程从“递归推理”“递推法证明”到“逐次归纳法”“完全归纳法”等，这一证明方法一直没有相对确定的名称，最终却因英国数学家 华罗庚数学归纳法M.上海教育出版社，1963:1.、42 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册德摩根（A.De Morgan,1806-1871)的次元意误用而被接

137、受和使用也是由于命名上的“张冠李戴”，产生了一些“望文生义”的误解一一人们常把数学归纳法和归纳法混淆，并认为数学归纳法是归纳的方法，而非演绎的方法然而，这也为数学归纳法平添了一份趣味多米诺骨牌的游戏、烽火台军情的传递、逢年过节燃放的鞭炮等都形象地揭示了数学归纳法的原理，而数学归纳法的理论依据，则是由 19世纪意大利数学家皮亚诺（Peano,1858-1932)提出的正整数集的“归纳公理”归纳公理设M是正整数集N骨 的一个子集，如果M满足：Cl)1M;(2）若hM，则 k+lM.那么，M=N，即M包含了所有的正整数归纳公理奠定了数学归纳法的逻辑基础，教科书中的数学归纳法通常被称为第一数学归纳法，

138、它可以用归纳公理加以证明，因此往往被视为一个定理第一数学归纳法设 P(n）是一个关于正整数n的命题如果Cl)PO）成立；(2）若P(k）成立，则 PC走D也成立那么，PC）对任意正整数n都成立显然，第一数学归纳法可以推广，即使命题 PC川成立的起始数，可用某个正整数。代替像这种“起点后移”的变化也适合数学归纳法的其他变式除了第一数学归纳法之外，数学归纳法还有许多其他变化形式，例如，第二数学归纳法、双基数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法、跳跃式数学归纳法、挠挠板数学归纳法等，可以说数学归纳法枝繁叶茂第二戴学归纳法设 P(n）是一个关于正整数 n 的命题如果Cl)PO）成立；(2）假设 P

139、(n）对所有适合 1nh 的正整数 n 都成立，则 P(k+l)也成立那么，P(n）对任意正整数 n 都成立事实上，可以证明第一数学归纳法与第二数学归纳法是等价的数学归纳法的每一种变式，都是利用有限解决无限的有力工具，凝聚了数学家们无限的想象力和创造力从数学归纳法的历史发展过程，可以感受到数学文化发展的魅力；从数学归纳法的思想方法，可以体会到以有限驾驭元限的威力；从数学归纳法的辩证统一，可以领悟到哲学思想的深刻数学归纳法既超越了经验的归纳，也超越了纯粹的演绎，这就是数学归纳法蕴含的文化内涵第四章数列I43 I:,，王？按：二三写币CC？%呀？三r,_-2力雪d；句：？为A 主f雪白彭赞结穆磊怒

140、骂孩窍苦方缓磐级雪理4.1 数列的概念练习（第5页）1.(1)4,16,36,64,100,144,196,256,324,400；图象略1 11111111(2)1，一一一一一一一一一；图象略234567 8 9 10(3)3,5,7,9,11,13,15,17,19,21；图象略（的 2,3,2,5,2,7,2,9,2,11；图象略2.第一行从左到右依次填 12,22；第二行从左到右依次填 21,33,69.3.1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.4.(1)_l_;2n-l（子）”1练习（第8页）1.Cl)an=5n-4，图形略，点数为 21;(2)an=3n-2，图形略，点数为 13

141、;(3)anz 切，图形略，点数为 35.2.(1)1,3,7,15,31;(2)3,3,3,3,3.3 4 5 6 n+l 3.2，一，一，一，一；一一 234 5 n n 4.an 一 切十 2.习题 4.11.(1)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29；图象略(2)1,1,2,2,4,2,6,4,6,4；图象略1 1 1 1 2.(1)1，一一一一(2)2，一 5,10,-17,26;49 16 25 1 4 1(4）一一5一一一4”5 4 3.(1）从左到右依次填 1，一16，一36；向 (-1)叶1n2.1 1 l(2）从左到右依次填一-:a 一一二一52 112 n(

142、21)2(3）从左到右依次填 J3,J6;an=J二1 1 l 从左到右依次填12!42;an 友在u3 5 8 13 4.(1)1,2,3,5,8;2)2，一一一一2358 ，3,13,53,21 5.三角形数数列的第 5 项和第 6 项分别为 15,21；正方形数数列的第 5 项和第 6 项分别为44 I普通高中教科书教师教学周书数学选择性必修 第二册25,36；五边形数数列的第 5 项和第 6 项分别为 35,51.6.a1=10.035（万元），向 10.070 122 5 句 10.070（万元），句句 10.105（万元）an=10(1十 o.003 5）”（万元）2”11 1 1

143、 7.(1）因为 an一一一1 一 一（nN勺，且 O丁一，所以 an注一zn 2”2 2 I 1 I 1 1(2）递增数列；因为川 an=(l-zn+i 一（1 zn)=zn+io，所以川以，an 是递增数列练习（第15 页）1.(1）是，公差是一13;2.(1)771;(2)6主一154.2 等差数列(2）不是；(3）不是；(4）是，公差是一 土123.第一行：向 0.5,a7=15.5,d=3.75.第二行：a1=15，向 11,a7=-24.(a1+3d)+(a1+7d)=20,(a1+5d=l0,(a1=0,4.由 题 意，得 即（解得（所 以 向 a1 十a1+6d=12,a1+6

144、d=l2,d=2.3d=6.5.由题意，知a1=7，5=21.解法 1：由s=a1+4d=21，得d=3.5.所以 a2=10.5,a3=14，向 17.5.解法 2：由23二a1+as，得a3=14；由22=a1 句，得a2=10.5；由2a4=a3十句，得a4=17.5.练习（第17 页）1.第 n 排的座位数 向15十 2(n-1)=2n+l3，则 aw=33，所以第 10 排有 33 个座位 2.由等差数列的定义可知，数列（J是以 18为首项，3为公差 的 等差数列所以 18+Cn-1)（3）一切十 21.图象略通过图象上所有点 的直线的斜率为 一 3.(a1+(m-l)d=n,3.设

145、首项为 a1，公差为 d，则（两式相减，得（m-n)d=n-m，又 n手a1十（n一l)d=m.m，所以 d=-1,a1=m+n 一 1.所以 m村m+n-l+Cm+nl)d=O.4,(1)en）是等差数列证明：设数列an,bn 的公差分别为 d1 和的，而 C n 二 an十 2bn，故 C n+I-e n=an+l+2bn+l 一 Can+2bn)=Can+!-an)+2(b1-bn)=d1+2dz.所以cn 是等差数列C2）由(1）知C n 是等差数列，设其公差为 d，则 C 1 l+2b1=3,d=d1十 2d2=2十 2 2=6，所以 c n=3+(n-l)6=6 3.5.(1）是，

146、首项是am+1=a1+md，公差为出C2）是，首项是a1，公差为 2d;第四章数列I45(3）是，猜想：所有序号为走（走注2,kEN叮的倍数的项按序号从小到大的顺序排成的数列都是等差数列练习（第 22 页）1.(1)500;(2)2550;(3)-130;(4)604.5.n(n-1)2.根据题意，知d=-2.由一100=-l叶 一一言一（2），得 士10（舍去 一10).所以原等差数列前 10 项的和等于 100.当n=9时，s 最小，这时最小值 59=-19.8.4.根据m=2n-1O，所以 当n=7时，s 的值最小习题 4.2Ca1 十？”1)5.设该 数 列有 2 1(n N 铃）项，

147、则依题 意，可得 S奇 2“=290，n(a1 ）1.(1）将a1=20,a=54,s=999代人S.=，得n=27；再将a1=20,a.=2 17 54，27代人 a1+(n l)d，得d 一13n（1+a.)(2）将d言，n=37,S,=629 代 人 a.=a1+(n-1)d,S.=2 得寸12,37(a 十a.)解得 a1=11,a,=23.=629,1514 4、由题意，得15a 1一一d=5a1+d+a1+5d十1十（走 一l)d，解得k=l6.2(n一1)（2+a 2n 2)n 290 S偶。亏261.因为 a 1 2n-l=a2+a2 2，所以由，得;-=-i 写1解得 n=l

148、O，故该数列的项数为 210-1=19.又因为 S21=S奇 s偶(2n-l)an=551，所551 以 中间项 an 一一29.19 练习（第 24 页）1.按照第二种领奖方式，从 12月20 日到次年的 1 月 1 日，共 13 天，每天领取的奖品价值（1)呈等差数列分布 由公差 d=10，首项 a J=100 t s n=na I 十 一d，得 513=13 100+1312 2一 10=20802000，所以第二种领奖方式获奖者受益更多1 21。21 1 2 1 2.因为 向Sn-Sn-I=-n2+-n十 3-I 一（n 一1)2十 一（n-1)+3 I 一（2n-l)十 一n十4 3

149、 L 4 343 2 r47 1 2 47 112，1 一（n注2），而 a1=S1 一 一十3 一不满足上式，所以a.才12 4 3 12 I 15 1-n一，n二三2l 2 12一3.解法 1：因为等差数列4.2，一3.7，一3.2，的公差为 0.5，所以向 4.2+(n-l）0.5=0.5n-4.7.令 a.=O.5n-4.70，解得nk O）.由此得出 n寸，a n,a,-u(nkO）是等比数列练习（第34 页）1.(1)27,81;(2)-80,40，一 20,10.2.设数列a.,b.的公比分别为q和 r.Cn+I n+l bn+I a 1b1(qr)(1）是等比数列；一一=qr，

150、所以数列 c,是以a1b1 为首项，qra.b.a1b1(qr)1 为公比的等比数列(2）是等比数列；用上面的方法可以证明，当 d 旦旦时，数列 dn是以巳为首项，立为公,b 比的等比数列 3.设从 2017年起，各年的汽车年产量构成一个数列问，J，则a1=5000,2025年的产量为ag.由题意，知a，是等比数列，且公比 q=l.5，则a9=50001.58臼 128 145.所以 2025年全年约生产新能源汽车 128 145辆4.设年平均增长率为 q,a 1=105,n年后空气质量为“优”“良”的天数为a”贝tl a n是一个等比数列由题意，如 3注肌1fa3 气 l 叫向阳十q)2注2

151、40，解得原10.512，或q 2.512（不合题意，舍去）所以这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到 52%.川（十1)3 5.由乓工；丁一l，得（13-1）l，解得n2.26.所以数列a，的第1,2,3项递u.)ll 增，从第4项 起每 一项小于前一项因此，当 n=3时，a，取得最大值 练习（第37 页）1.Cl)S,=189;91(2)Sn 一一；45二(3)q=-4，乌 51;(4）因为S3=a 1 2十3=a3(q-2+q一1+1)，所以 q-2十q-1十1=3，即2q2-q-l=O.解f导q=l或q 一 所以当q=l时，a 1=f；当 q 一日才，.a1=6.2.

152、设等比数列C n 的首项为CJ，公比为 q l b，则其前n+l项和S叶l二 旷十月 J.n+I 月 1丹 n+I 一J.n+Ian-I b 十旷Z b2十十abn-1十bn=-二 u l-a-1b a-b a1q=6，问 1=3，问1=2,3.根据题意，得解得（或（当a 1=3,q=2时，a,=32-1,l6a1+a1q2=30,lq=2,q=3.S,=3（2”1)；当 G I=2,q=3时，a n=23”i,S，1.第四章数列I 49 4 1=8,q；或a1=2，卢5.当q=l时，不合题意 当伊1时至l二巳l+q5=5，所以q5=4，解得q江所以这个数列的 公比为江Ss 1 q5 练习（第

153、 40页）1.根据题意，从本月起，每月的用户 量组成一个等比数列an ，其中 a 1=500,q=1十500(1-1.1)10%=1.l,Sn=lO 000.于是 得到1-1.1 10 000，整理，得1.1=3.上式两边取对数，得i nlg 1.l=lg 3.lsz 3 用计算器算得n 舌了12.所以大约经过时月 可使用户达到1万人2.(1）第 6次着地时，经过的路程为100+2(1000.61+100 0.612 十 1000.61 5)=100十2100c o.61十0.612 o.615)=100十200o.61(1 一0.615）句38 6(cm).1 一0.61(2）设第n次着地时

154、，经过的路程为 400 cm，则100+2 100（0.61十0.612 1 0.61(1一0.611)0.61”一 1)=100十200=400，整理，得0.6ln-l句0.04，解得7.5.,1-0.61 因此，小球至少在第8次着地后，经过的总路程能达到400 cm.3.设 这家牛奶厂每年应扣除z万元消费基金，则2015年底剩余资金是 1000(1十50%)-x;201 6年底剩余资金是 1000Cl+50%)-x Cl+50%)-x=1000Cl+so%严 一Cl+50%)x-x;5年后达到资金1000(1十50%)5一 0+5o%)4x 一(1十50%)3x 一 0+50%）与一0+5

155、0%)x.由题意，得1000(1+50%)5一 o+so%)4x 一 o+so%）与 一 o+so%）与 一 o+so%)x注2000.解得z458.97.所以该牛奶厂每年应 最多扣除458万元消费基金，才能实现预期目标4.由S.=2a.十1，得S.+1=2CSn+1-S.)+l，即Sn+i-1=2(5.-1).又5 1 一 1，故5 1一l=-2，所以数列S.一l是以一2 为首项，2 为公比的等比数列，于是 s.-1=-2，所以S.=-2+1.习题 4.3(1)q=-4,54=51;(2）3二4 或 4.2.(1）是，首项为向1，公比为q.(2）是，首项为a1，公比为q2.(3）是，公比为q

156、ll.猜想：在等比数列an 中，每隔 m(mN勺项取出一项，所组成的数列是等比数列，公比为qm+l.3.,3/l 3 Cl)n 旷1-l一 一 4飞5 I 4(2）当x=l时，n(n十1)s.=1+2十3 n 一叮当z手1 时50 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册 i由 S.-xS=1十z十介x l_nxn，可得S上主；豆(l-x)2 l-x4.(1）设刚死亡的生物体内碳14的含量为1个单位，每年的衰变率为l-q，年后 碳14的剩余量为”，则an 是一个等比数列由碳14的半衰期为5730年，知an=lq5730=q5730=，解得q=(t）飞o 川79.所以碳14的年 衰变率约为

157、1 一 0川79=0.000 121.(2）设 动物约在距今n年 前死亡，由”二0.6，得an=a1q=0.999 879”0.6，解得n 起4221，所以动物约在距今4221年 前死亡 5.设an 的 公比为q，由民，鸟，56 成等差数列，可得q:;t=l，且2q9 二q3 矿，即2q7 二q+q4.所以2a8=a2十句，即a2 as，5 成等差数列s.，。1。”16.一个通项 公式为an=1。”I+i on-2 十 10+1 一一一，对应的前n项和公式为9 1on+J一 切 一107.81(1)由an+l十an=3 2，可得an+l-2”1 一（an2”）_()n+l 因为a1=l，所以a

158、1-2=-1.从而an+l-2+1 一（an 一2l）手0.于是Un+J 二=-1，所以a-2是 首项和公比均为a一 一l的等比数列(2）设数列 a.-2的前n项和为丸，则 T.=(-1)1 一（1)(-1)一l故 S.=?(-1)-l _._,(-1)”1 Tn+C2十2十 十2）一一一一一十T忖一2一一一十2-rl 一 一2 8.由n+l=2a.十1，得n+l十1=2(a.十1).由 a 1=l，得a 1+l 二2.2 因此 a.+l是以2为首项，2 为公比的等比数列，于是 an+1=2.所以2”一1.故 510=203 6.9.每 一轮被感染的人数组成一个 首项为 1 儿，公比 q=Ro

159、的等比数列，其 通项 公式为Rn-R-i I a.=R，前n项和s.：一一l-Ro Ro-Ri 由题意 可知1汩000，将R 0=3.8代人，可得14 005 14 005 3.8”二三一一一一，即nlog3 s 一一一句4.95.19白。19因此，大约经过 5轮传染，即35天后，感染人数增加到 1000 人10.由题意 知a.=1024卢2 11-nTn=2 102 928 2 11-n 若 2 11-n 二三1，则n11，所以当11时，Tn 最大 而Tn=2 102928 2 0=2 55，所以T.的最大值为255.11.1 2十11 2(1）一一L一一一 一，an+!3an 3”3 1

160、1 1 一 一 一一 a.+1 矗3n3（去l j是以？为首项，t为公比的等比数列1 2 而一1，a1.5 1 1 与.！.，所以-=-1-第四章数列 51 证明：(1）当n=l时，左边S 1=a1，右边肉，等式成立.L.a 1 0-qk)(2）假设当n走（kN骨）时，寺式成立L，即Sk（q手1），则当n走十1时，l-q 1 1 1 1 所以 一 十 一 一 十12 a3 2 I 1 1 1 1 1 33n I(2）由(1）可得一十 一 一 十 一 n：一一一丁一一1 刀，a1 a2 a3 a”、is-3a 1 0-qk)是 一 G l(1-qk+qk-qk+I)-al(1-qk+I)sk-t

161、-1=S k+akTI 一丁士王一十a1 q-l-q 一l-q 所以，当n=k+l时，等式也成立几门 o 飞由（1)(2）知，首项是a1，公比是q的等比数列的前n项和的公式是Sn斗一（q#l).1-q-练习（第 51页）1.(1）当n=l时，等式左右两边 都等于 一 1，此时等式成立(2）假设当 n 走（kN勺时等式成立，即一1+3-5十(-l l(2k-1)=(1)情 则当n=k+l时，左边 1+3-5（一口气2k-l)+（一l)Hl 2(k+1)一l=(-1)是k十（一l)Hl 2（走D-1（1)扑1-k+2（走D-1=(-l)Hl（走l）右边所以当 n 走1时，等式也成立由(1)(2）可

162、知，等式 对任何 N骨 都成立 2 1 3 S3一 一一。334 4 1 1 2 5究 一 一一一 2 23 3 1 1 2.计算可得S 1一一一12 2 而 1 一 护随着n的增大而增大，当n=99时满足题意，当n=1 1一l一工 an.r 意，所以 满足条件的最大整数 99./2 2(/2 an）的公差为J言，所以 Sn 丁zn 十（1-2)n，于是bn言n十1一(1）容易求出，子所以b n 为公差为子的等差数列(2）设数列an 中的任意三项为an=l十/Z(n-1),am=l+/2(m一 口，a.=l十/2（走 一12.1)，贝Ll an 手丘am 手t:ak.假设 鸟，句，ak 成等比

163、数列，则l+/2(m-1)2=l+/2(n-1)1十所(k十n=2m,在（走一 1 汀，可得于是Ck-n)2=O，所以 走n，与a n手ak 矛盾lnk-n-k+l=(m-1)2,以数列n 中的任意三吗均不能构成等比数列于是可以猜想 Sn=一（nN铃）下面用数学归纳法证明 这个猜想n+l 数学归纳法4.4 铃立成想猜一l一川一一边右 当n=l时，左边S 1(2）假设当n=k（走N特）时，猜想成立，即S k=_I!_h十1k,1 走（走十2)+1t十 2k+lS川 S.+一一 一一一定-t-1k（走l)(k十D+lh十1 I（是DC走十2)-一一则当n=k十 1 时，练习（第 47页）1.这两题

164、的证明都是错误的 第(1）题的错误在于缺少第一步的验证，因此归纳假设 n 走时命题成立没有基础 事实上，当n=l时，左边l，右边2，所以左边手右边 第（2）题的错误是第二步推理利用了“倒序相加法”，而没有证明命题“若P(k）为真，则PCk+l)也为真 Ck二？：no）”，所以该证法不是用数学归纳法的证明注：第二步正确的证明方法如下：走1，所以，当 k+l时，猜想也成立Ck+D+l 他Dz(k十l)(k+2).L.k(a 1+ak)假设当n=k(kN赞）时，等式成立L，即Sk=2 则当n=k十l时，SH1=Sk十由(1)(2）可知，猜想对任何nN铃 都成立3.由数列的前几项猜想，从第5项起，a

165、nb n，即22”（nN，n注5).k(a1+ak)ka 1+a 1+C走一l)d2（走Da1 走（k+l)d a.+1=2 +ak+1=2 司十 GI+kd=下面用数学归纳法证明这个猜想(1）当n=5时，有 5225，命题成立(2）假设当 走（走N*,k 二三5）时，命题成立，即有 是22飞则当 k 十1时，因为Ck+D2走2+2走lk2+2走k 走2+3走k2十k2=2是222是（走十l)a1 十 Ca 1 十kd)Ck+DCa 1十aHI)这表明，当走十 1 时，等式也成立 2.下面先证首项是1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1 qn 1.证明：(1）当n=l时，左边1，右边 a

166、1，等式成立 zkt-1.所以Ck+D22是1，即当 走十1日才命题也成立由(1)(2）可知，不等式 n2b1；当n=2时，a2=4,b2=16，所以 a2b2；当n=3时，向8,b3=8l，所以 向b3；当n4,5,6,:,15时，同理计算可知，均有 a.b 11；由此猜想，从第17项起，an b.，下面用数学归纳法证明这6走5(2）假设当n=k(kN如）时，猜想成立，即af 瓦士i55 数列第四章第二册选择性必修数学普通高中教科书教师教学周书54 个猜想(1）当 17时，由前面的计算可知，猜想、成立(2）假设当 n走（走N骨，h二三17）时猜想成立，即有akbk.则当k十1时，因为 ak=

167、2廿1=22是2bk=2走4扩十扩二主k4十17k3旷十15k3=k4+(4k3十6k3十4走3十走3）扩十（4k3十6k2+4k十1)=(k+1)4=bHl所以 aH 1 bk斗，即当n=k十1日才猜想也成立由(1)(2）可知，当二三17时，nbn 都成立综上可知，an bn 对nlUnln注17,nN 都成立7.(1）当n=l时，x1=lO.(2）假设当 n=k时，xkO，那么当n=k+l时，若一lO矛盾，故XH10.由(1)(2）可知，对一切nr，都有Xn O 成立所以 Xn=xn+I+lnO 工，1)xn+l，因此 Oxn+1O,Ci=l,2，n）.若 b1+b2bn=l，则：I a2

168、 a a1 b1山 anbn.用数学归纳法证明如下：(1）当n=l时，b1=l，有a1肉，式成立(2）假设当 走时，不等式成立，即若 a，注0,b,O(i=l,2,走），且bi+b2十 bk=l，则：I a2 a!k O(i=l,2，走n，且b1十b 2 bk十bk+l=l,此时 O10，于是 a1 a z.a！叫；=(a1 az.a：a！口（斗+I斗可 l-hk+Ib.,12.ak先1.bk 才T=f-因为王百十亡瓦；十仁瓦二 1，由假设，可得 a1zk+1 .a;k+1 2 主（走十）Ck十呻（3k十5）十川2）古（k+1)(k+2)(3k 2十川124）！（走十1)Ck十2)（走十3)(

169、3走十8）一（走十l)(k十D+l（走十1)+23（走十1)十5，所12 12 复习参考题41.。可b6 吨dn422Sn。，。ln-25 n5 n-2-2(1)(2)(3)(4)（第1题）56 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册第四章数列I572 1 2.(1)an丁；(-1)1(2 1)(2）l十a2 4n I 493 2001 606 225 因此，an 寸j 是以寸为首项，1.027 5 为公比的等比数列，所以产18 281.所以到2022年年底 将存款连本带利全部取出时能取到 18 281元(3），vl十（1)”3.Cl）队(2)A;(3)B.C提示：因为每个图形中的一

170、条线段 在后 一个图形中(3,n=l,变成四条线段，所以第n个图形的边数N=4Nn;?-2,由此可得N=341因为每个图形中的 每条线段的长度在后 一个图形中变 为原来的，所以第n个图形的边长T,=9.Cl）当m=l7时，要经过12步雹程使得a，二1.(2）依题意，本小题实质上是已知该数列的 第8项，求其 首项的问题，即确定一个经过7步雹程使得句 l的正整数 m.因此，采取逆运算的方法更简单，即由 1 出发对该数作乘以2，或者减去 1后除以3（这 时要 求结果为正奇数）的运算，将此逆运算 7次的情形 列成如图所示的树形图，即得M=2,3,16,20,21,128.10.Cl）设等差数列an）的

171、公差为d，则由（；”l n=l 由此可得T（斗）川于是由C,=N T”可得C,=3（f厂，则 C4=n注2，飞 U I 4、364、33)=g)4.(1)5;1 或一1;(2)3.（提示：由己知，塔的顶层、第六层 第一层的灯数组aCl-27)成公比为2的等比数列i若设其 首项为，则 由51 言一127a=381，解得 3.)5.设共进行了 天依题意，每天收到的捐款数a，依次排列构成等差数列由a1=10,lOn，得S n呜豆豆旧肌解得n=23.所以，这次募捐活动一共进行了M6.设 工作时间为n天，三种付酬方式的前n项和分别为A，乱，en.第一种付酬方式为常数列；第二种付酬方式为首项是4，公差也

172、为4的等差数列；第三种付酬方式为首项是0.4，公比为n（1)2 0.4(1-2”）2的等比数列 则 A=38n,B=4十一一言一一4=2 十2n,C=1_2=0.4(2”1).下面考察A,B,C的大小计算可得，当10时，AnCn A,Bn，因此，当工作时间小 于 10天时，选用第一种付酬方式更划算当n二三10时，AC”B nk)b b.刊 b!(nk)常用性质若 m+n=k十l(m，走，1N.)若 m+n=k+l(m,n,k,l N ），则则 a.=a是 a,b.b.=b,b1n b1b2 b.=(bib.)2 a1+a2a.言（a1+a.)续表k（走一1)(2）假设当n=k时，猜想成立，即向

173、 一成立 那么当n=k十 1时，a,+1=ak+kCk-1)Ck+Dk k 一2一k 一2一，猜想成立(2）类比推测的 等式为 b 1b2 b.=b 1b 2 b 4037-n（r，4037）成立为说明方便起见，先给出更一般的对偶结论如下：命题1在等差数列a.中，若am=O，则有等式向2 a.=a 1 十a2 十azm1”由(1)(2）可知，对一切 n(nN,n二三3），猜想成立一土1十./51-./5(1）当n=l 时，F1-J5（一）l=F一（平门，那么16.(2）假设当时时，寸（乎f(n,mN 倍，n2m-l）成立在等比数列b.中，若bk=1，则有等式b1b2 b.=b1b2 bzk-1

174、-n(n,kN,n seq(r,2+n归.n.5)1 H S斗一一5占4229、,.图2图3:ill ul(,)+设计意图：本例是对通项公式的直接运用，并要求学生描点作图，使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列例2根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式：(1)1，一，t，一七；(2)2,0,2,O,师生活动：学生回答，教师进行引导：解答第(1）题时，可以先思考第(1）题与下列两个1 1 1 数列1,1，一 1,1，1，一一一 的关系；对于第（2）题，可以考虑在23 4 1，一1,1，一1，的每一项上加1，也可以对例1(2）中数列的每一项取绝对值后乘以 2.教师同时强调，通过数列的

175、前几项归纳得到的数列的通项公式，可能是不唯一的练习：教科书第5页练习 第4题 设汁意图：让学生体会从数列的具体项归纳通项公式的基本方法，认识到得到的通项公式不是唯 一的（六）归纳小结问题12：回顾章引言，概述本章的主要内容师生活动：教师引导学生再次阅读章引言，共同画一个思维导图，其中包括本章的主要内容和主要的思想方法问题13：回顾数列的概念及其表示方法的学习 过程，说说其中运用了怎样的思想方法师生活动：学生交流后回答，教师总结：(1）通过具体的例子，归纳、概括数列的共同特征，给出数列的概念；(2）用数学语言描述数列，给出数列的一般形式；(3）用函数的观点看数列，明确数列是一种特殊的函数；(4）

176、运用函数的方法研究数列，介绍数列的三种表示方法设计意图：总结本节课的主要内容及思想方法（七）布置作业教科书习题4.1 第 14题六、目标检测设计1.根据下列数列（J的通项公式，写出数列的前5项：咽，A：i，图1(3）函数在数列研究中有着重要的作用设计意图：让学生理解，数列是一种特殊的函数，数列也和函数 一 样，有3种表示方法，数列也有单调性的概念问题11：分别写出一个递减的无穷数列和一个递增的有穷数列的通项公式师生活动：学生回答，教师评价设计意图：帮助学生认识到可以从函数的角度来研究数列（五）通顶公式的应用引导语：我们已经对数列的概念及数列与函数的关系有所了解在抽象出了函数概念以后，我们最关心

177、的是函数解析式 同样地，在数列的研究中，我们最关心的是数列的通项公式例1根据下列数列a n 的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象Cl)a n 午；（2)a n=cos(n 一1)师生活动：学生计算、画图 教师利用电子表格计算、画图（图2、图 3），结合表格、图象，请学生回答这两个数列是否是递增数列 66 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册第四章数列I67(1)an 去；(2)a.主n 设计意图：考查学生对数 列通项公式的理解程度2.根据下列数列的前5项写出数列的一个通项公式：111 1 1 3 1 5 3(1）一一一一一；(2)1一一一一24 8 16 32”4 216

178、 16 设计意图：考查学生对 数列通项公式的理解程度，以及归纳和 数学表达能力3.数列an 的通项公式为a-n=n2 十，这个数列的项有最大值或最小值吗？为什么？设计意图：考查学生应用 数列的通项公式解决问题的能力4.2.2 等差数列的前I员和公式(2课时，单元教学设计）、单元内容皮真解析1.内容等差数列前 项和公快的推导与应用本单元的知识结构：!II项和数列！公的式 首尾配对法！叫 倒序相加法广斗简单应用公式应用叶综合应用灵活应用本单元建议用2课时：第1课时，等差数列前n项和公式的推导；第2课时，等差数列前 项和公式的应用2.内窑解析本单元内容具有承上启下的作用等差数列的前n项和公式不仅是等

179、差数列的定义、通项公式和有关性质的延续，而且为后面类比地学习等比数列前n项和公式提供学习内容、思维方法的基础，更是今后研究级数的预备知识等差数列的前n项和公式是等差数列的又一重要性质，是进一步认识等差数列的函数特性的又一重要角度，是感受等差数列与一次函数、等差数列的前n项和公式与一元二次函数之间的联系，体会数学的整体性的又一重要载体等差数列的前n项和公式是等差数列的定义、通项公式和相关性质的直接应用寻找合适的算理、算法是研究等差数列前n项和的基本线索，将不同数的求和转化为相同数的求和是算理、算法的逻辑起点，是引导学生学习等差数列求和方法的基础，是学生领悟化归与转化思想的合适素材68 I普通离中

180、教科书教师教学用书数学选择性必修第二册等差数列的前 项和公式是数列单元的重点内容 在公式的推导过程中，“倒序相加法”是历史上遗留下来的经典方法，因此，等差数列的前 项和公式的建立，可以数学文化为背景，构建一个从简单到复杂、从特殊到一般、历史与现实有机结合、算法与性质交融并进的研究过程，使学生从对等差数列求和的简单情形的算法分析和推广中，逐步认识到“倒序相加法”所蕴含的算理和本质，并最终能用这种方法推导出等差数列的前n项和公式，这一过程也体现了内容与数学文化的融合基于以上分析，确定本单元的教学重点：等差数列的前 项和公式的推导及其应用二、单元目标及真解析1.目标(1）了解等差数列前 项和公式发现

181、的背景；(2）推导并掌握等差数列的前n项和公式；(3）在具体问题情境中，能运用等差数列的前n项和公式解决些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养2.目标解析达成上述目标的标志是：(1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等差数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前人严谨的治学精神和数学文化的熏陶(2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，在经历“类比推理探公式一归纳推理猜公式一演绎推理证公式”的推导过程中，明确基本公式的学习套路，掌握等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，能分析等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，描述等差数列的前n项

182、和公式的特征，以及它与相应二次函数的关系，领悟等差数列的性质是导出求和公式的关键(3）学生能在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，运用等差数列的前n项和公式解决相应的问题三、单元教学问题诊断分析从学生己有的数学思维特点来看，等差数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等这些认知准备，对于分析等差数列项的变化规律，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，从而达到简化的目的，并最终能够顺利地导出求和公式等，都能起到思路引领的作用从学生积累的数学活动经验来看，学生很容易把高斯的“首尾配对法”

183、过渡到“倒序相加法”尽管这两种方法的共性本质都是如何“减项化简”（即如何把不同数的求和化归为相同数的求和），但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）正是这种差异导致了等差数列的前n项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前n项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性的关键为了有效突破这一难点，在推导过程中，既要在从特殊到 一般的问题情境中，通过归纳推理，分类讨论公式的结构特征；又要在遵循“倒序相加法”产生的数学背景中，通过推理再次获第四章数列I69 得公式；还要在数形结合的过程中，通过类

184、比推理直观感知公式的几何意义在求和公式的教学中，让学生经历 等差数列的前项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学生的思维品质四、单元数学支持条件分析为了加强学生对等差数列的前n项和公式的整体感受，采取素养导航、推理定位、文化 引领、应用落实的“四位一体”的单元教学设计，教学情境围绕等差数列求和的发展历 程和应用过程展开，采用历史线索和问题串驱动法一是，借助多媒体引人古希腊毕达哥拉斯学派的经典算题，演绎德国伟大的数学家高斯“神速求和”的历史短剧，让学生经历“首尾配对法情讨论法一倒序相加法”的认知过程，体验把不同数的求和转化为相同数的求和的思维过程，实现化简求和的终极目标二是，借助

185、信息技术类比梯形的 面积公式，动态演示等差数列的前n项和公式的几何意义，揭示求和公式的结构特征和其中蕴含的数学思想方法，提升学生的直观想象素养三是J借助实物技影仪展示学生的小组合作学习 成果，让学生经历化归 与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深 学生对求和公式的认知，对推导和应用过程的理解，完成本单元的教学目标五、课时数学设计（）教学内窑等差数列的前项和公式的推导（二）数学目标第1课时1.了解等差数列的前项和公式发现 的背景；2.推导并掌握等差数列的前项和公式，提升逻辑推理和数学运算素养（三）教学重点、难点重点：等差数列的前n项和公式的推导难点：等差数列的前n项和公式的推

186、导（四）教学过程设计1.重温经典算法，归纳“探”公式引导语：在前面的学习中，我们已经学习 了等差数列的通项公式，以及与等差数列有关的一些基本性质，这节课我们来探讨一下等差数列的前n项和公式问题情境：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家 经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过三角形数：1,3,6,10,15，如图1所示，这个图案中有n层设计意图：通过介绍古希腊毕达哥拉斯学派的三角形数，展现数学知识生成的 文化背景，使学生了解数学史的 知识，感受数学文化，体会其中蕴含的趣味性、文化性和思想性 问题1：如果图1中的石手有100层，那么第1层到 100层一共用了多少粒石子？图1师生活动：教师引导学生将问题

187、转化为学生熟悉的求等差数列前100项的和，即求l十2+3十100.让学生表演历史短剧再现高斯求和的算法故事，教师追问如下问题：70 I普通高中教科书教师教学周书数学选择性必修第二册(1）高斯采用的是什么算法？（答案：首尾配对法.(2）高斯在求和过程中利用了数列l 2，n，的什么性质？（答案：a 1+a 100=a z 十a99so句，即上一小节例5中的性质的一个特殊情形）(3）高斯求和法的实质是什么？（答案：高斯算法的实质，就是通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”）设计意图：重温高斯算法，让知识生成更自然高斯算法蕴含着等差数列的 特殊性

188、质（即上一小节例5中的 性质的一个特殊情形），教学时要让学生自己去观察、探索、发现数列的 这一性质同时，引导学生提炼高斯算法的实质一一将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”，体会转化与化归的 思想方法，这也是推导等差数列求和公式的精髓问题2：如果图1中的石子有101层，那么第1层到第101层一共用了多少粒石子？师生活动：教师引导学生将问题转化为计算 1+2+3101.学生再经过合作学习、讨论，形成以下思路：思路1（拿出中间项，再首尾配对）：原式 0+101)+(2十100）十（50+52）十51.思路2（拿出末项，再首尾配对）：原式0+2+3十100)+101.思路3（先凑成偶数项，再配对）

189、：原式1+2+3 101=(1+2+3 101+102)-102.思路4（先凑成偶数项，再配对）：原式 0+1+2+3十101.设计意图：这是求奇数个项 的和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，这 时教师要引导学生进一步探求解题思路思路1和思路2是先拿出一项，将剩余项配对；思路3和思路4是增加一项，凑成偶数项再配对 总体上都体现了化归思想，将奇数个项和的问题转化为偶数个项和的问题问题3：如果图1中的石子有n层，那么第1层到第n层一共用了多少粒石子？师生活动：教师同样引导学生将问题转化为计算 T.=l十2+3 n.学生仿照问题 2 的解法，从奇偶分析法人手探求方法 1：当 n

190、 是偶数时，有T,=1 十2+3十 (1 ）十2 十（1)n J川1)（？十1)I 川共3项Cn+DCn+2)当n为奇数时，有T.=l十2十3十 十n=T.+1 一（n+1)=-Cn+l)=（十1)2(n十1)综上，对任意正整数，都有T.=1+2十3n 一2一（十1)方法 2：当 是偶数时，同理有T.=l十2+3十一2一Cn+D 当 为奇数时，有T=l+2十3十n=O十t十2+3 一 （n十1)综上，对任意正整数 n，都有T.=1+2十3十 一一王一 第四章数列I71(n+D方法 3：当 是偶数时，同理有Tn=l+2十3十n一2一n-1 n+l n(n+l)当n为奇数时，有T=l+2十3n=2

191、0+n)+2一2一O时，s.的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（图6);当d0 和 dO，可以证明SnT an 是递减数列，且存在正整数h，使得当n二三走时，anO,Sn 递减这样，就把求 Sn 的最大值转化为求an 的所有正数项的和另一方面，如图d I d 8，等差数列的前 项和公式可写成 Sn 2 十（a1一言归，所以当d手Od I d 时，S.，可以看成二次函数y 2+(a 1-2)x(x ER）当工 n 时的函数一百由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？师生活动：教师引导学生思考：将已知条件代人等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于 a1 与d的二元

192、一次方程解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得 a1 和d.学生独立完成解题过程，教师请学生展示，并予以纠正追问：设Sn 是等差数列an 的前n项和(1)若510=50,550=10，求560 的值；(2）根据(1）求得的结果，写出一个推广后的真命题，并给予证明师生活动：教师先让学生分组合作讨论，再让学生分组展示交流，并引导学生从多种解题思路出发，灵活选用等差数列的前n项和公式的不同形式进行分析、求解和探究，对问题进行进一步的拓展和延伸对于第(1）问，学生分组展示交流中可能会出现如下几种求解思路：r 1 r 1s2 llOa1 十 一109d=50,la1 一一I I 25 由解得才所

193、以550=-60.Is归1+.l.5049d队Id 一旦I I 25思路2：因为民。S1o=a11+a12 a50=20(a11 so)=-40，即 11 so=-2，所以S 60(a1 60)60（11+aso)50=-60.2 思路1:思路3：设等差数列an 的前n项和为Sn=an2+bn（，b 为常数）n 矶严数故42 一一什 s 可认1l所d2n向4fli飞、Fhu，l飞，叩叶ln5d2：14一一二一乱一以QU 斤以JH，HU 3一部们引n5 hAGLUJI们飞fl叫（十科2nand2 1iEdn 十JTGG斗力nunUZAn iphli：nunut 户h路则思值当d0，求使得 s.二

194、三an 的 的取值范围设计意图：考查学生运用等差数列的通项公式与前n项和公式解决问题的能力第四章数列I 79 回)0 7i吹吹字号信f!fF：！；ffrT予哇t,1ak主干气丰，；兰，法写川一r.i；一斗牛牛二二二卢布阿叶子学wiJYtwii立二滋jk:I、本童学业要求能够结合具体实例，了解数列的概念，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数的解析表达式，掌握通项公式与前n项和公式的关系通过等差数列和等比数列的研究，探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，感受数列是一种特殊的函数，体会等差数列与一次函数、等比数列与指数

195、函数的联系，体会数学的整体性能运用数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用重点提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养二、本章评价建议为落实本章的学业要求，以下从核心知识评价要求、思想方法评价要求和关键能力评价要求的三个维度，提出具体的评价建议1.核心知识评价要夹依据本章的学习目标和学业要求，可列出本章的15个核心知识，分为了解、理解、掌握三个认知层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求具体评价要求详见表1.表1主题知识单元核心知识评价要求个数 了解理解掌握数列的数列的概念.J 数列的表示方法（表格、图象、通项公式.J 3 概念数列与函数的关系.J 等差数列的概

196、念.J 等差数列的通项公式、J等差等差数列的前n项和公式.J 6 函数数列等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.J 等差数列的简单应用数列等差数列与一次函数的关系.J 等比数列的概念 等比数列的通项公式.J 等比等比数列的前 项和公式.J 6 数列等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.J 等比数列的简单应用、J等比数列与指数函数的关系.J 总计个数5 6 4 15 对数学知识技能的评价，本章应重点关注学生能否把握数列与函数知识之间的内在联系例如，学生能否真正认识数列是一种特殊的函数，体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；能否理解等差数列与等比数列的可类比性；能否掌握等差数列与等

197、比数列的前n项和公so I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册式；能否灵活运用求和公式解决一些简单问题基于此，我们按照了解、理解和掌握三个层次把本章15个核心知识的评价要求，整合成9个，并分别对其具体含义进行细化解析，使其对教学具有有效的评价和指导作用(1）了解组列的概念：知道什么是数列，能说出数列的项、首项、通项、前n项和以及数列的一般形式；能认识数列的函数属性，识别数列的单调性，能对数列进行简单分类(2）了解数到的表示方法：会用表格、图象、通项公式、递推关系式表示数列，能根据数列的通项公式求任意项，并能根据数列的递推关系式写出数列的前几项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(

198、3）了解数列与函数的关系：能用函数的观点看待数列，知道数列是一类特殊函数，并能说出函数与数列之间的共性与差异(4）理解等差数列、等比数列的概念：能用文字语言、符号语言和图形语言描述等差数列、等比数列的概念，并能根据等差数列、等比数列的定义判断或证明已知数列是否是等差数列或等比数列(5）理解等差数列、等比数到的通项公式：能根据定义归纳出等差数列、等比数列的通项公式；能说出等差数列、等比数列的通项公式的特征，在求等差数列的“基本量”时，能“正用”“逆用”和“变用”通项公式，并能得出等差数列、等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题(6）掌握等差数列、等比数列的前 项和公式：能推导等差数列

199、、等比数列的前n项和公式，能说出“倒序相加法”“错位相减法”这两种求和方法的特点、适用条件以及操作步骤；能说明等差数列、等比数列的前n项和公式的特征，能灵活运用求和公式解决一些简单问题(7）理解等差数列、等比数列的通项公式与前 项和公式的关系：能根据通项公式与前n项和公式的关系Ca1=S 1,an=S n-Sn 1(n二三2)），解释等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的联系与区别，会进行两者之间的相互转化，并能联用两个公式解决“知三求二”的问题；能描述等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的函数结构特征，并能利用a.与 s.的关系解决一些简单问题(8）掌握等差数列、等比数列的简单应

200、用：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系和等比关系，抽象出等差数列、等比数列模型，并能运用等差数列、等比数列的有关知识解决银行储蓄、分期付款、资产折旧、病毒传播、元素衰变、人口增长等实际问题；能综合运用等差数列、等比数列的概念、公式、性质解决数列与函数、不等式等综合问题(9）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系：能说出等差数列的通项公式与一次函数之间的共性与差异，以及等差数列的前n项和公式与二次函数之间的共性与差异；能说出等比数列的通项公式、前n项和公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解决 一些和等差数列与等比数列有关的简单问题2.思想方法评价要求本章的数学思想方法主

201、要包括函数与方程的思想、特殊与 一般的思想和化归与转化的思想等，具体评价要求详见表2.第四章数列Ia1 表2思想方法用咽，、评价要求能根据数列与函数的关系将判断数列的单调性、求数列的通项、前n项和的最大（小值等数函数与方程列问题转化为画数问题，并能运用“基本量”的思想，建立关于首项、公差或公比等“基本量”的方程或方程组，将所研究的问题归结为依托“基本量”求解方程（组的问题能由 一些具体事例归纳出等差数列、等比数列的概念；能在具体的情境中，根据数列的前几项猜想、归纳出数列的通项或求和公式，根据部分项的特征与性质归纳出数列一般项的特征与性特殊与一般质；能将研究特殊数列的思想和方法推广到一般数列中，

202、并体会“归纳一猜想一验证”在数学发现中的重要作用；能用演绎的思想方法，将一般情形下的数列的性质、结论、方法应用到特定的数列之中在具体的情境中，能通过构造辅助数列、运用化归与换元等方法将一般的数列问题转化为等差化归与转化数列、等比数列模型进行求解，能将与数列有关的运算求值问题转化为方程（组的求解问题；能将有关数列求和的问题化归为用倒序相加法、错位相减法、分组求和法等方法求解的问题：能将数列单调性问题转化为不等式的问题或函数的一般单调性问题对数学思想方法的汽价，本章要特别关注学生能否运用函数的思想方法理解数列的有关知识例如，学生能否运用一次函数的观点认识和理解等差数列的通项公式，能否运用三次函数的

203、观点认识和理解等差数列的前n项和公式，能否运用指数函数的观点认识和理解等比数列的通项公式与前n项和公式，能否运用函数与方程的思想方法解决与数列有关的问题3.关键能力评价要求本章的关键能力主要包括抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数学建模能力等，具体评价要求 详见表3.表3关键能力评价要求能在具体的情境中，抽象出数列、等差数列、等比数列等概念和性质；能利用从特殊到一般、从抽象概括具体到抽象的方法概括出等差数列和等比数列的定义、通项公式与前n项和公式之间的逻辑关系；能够在熟悉的情境或新的情境中抽象出有关等差数列、等比数列的问题，并加以解决能在具体的情境中，发现并抽象出等差数列、等比数列模型

204、并能予以论证；能根据等差数列、等推理论证比数列的定义、公式和性质，合理运用待定系数法、倒序相加法、错位相减法等思想方法证明有关命题，并能有条理地表达；能用函数的思想方法论证数列的有关问题能在关联的情境中，根据等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，正确列出关于首项、运算求解公差或公比等“基本量”的方程（组），通过解方程（组）求出数列的指定项、通项以及前n项和；能在较复杂的情境中，通过对等差数列、等比数列的性质以及一些常用的代数变换手段的合理运用，寻求简洁的解题途径，简化复杂的数式运算，求得运算结果能在具体的问题情境中，抽象出具有递推规律事物的数学关系，建立等差数列、等比数列等简单数学建模数

205、列模型，并能运用数列相关的概念、公式和性质，通过推理论证、运算求解解决问题；能灵活运用数列的有关知识解决与数列有关的探索性问题、存在性问题、开放性问题，以及数列与函 数、方程、不等式等综合应用问题82 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册对数学关键能力的评价，本章要特别关注学生能否重点提升数学抽象、数学运算和数学建模的能力和素养例如，学生能否按照教科书训练系统的“复习巩固”、“综合运用”和“拓广探索”的要求对以下内容进行分层落实：(1）依托求等差数列、等比数列“基本量”的策略，掌握解决等差数列与等比数列“知三求工”问题的通性通法；（2）借助类比法的推理策略，综合运用等差数列与等比数

206、列的知识解决它们之间的“对偶关系”问题；（3）利用丰富多彩的实际背景，提高对材料的阅读理解能力、提取有关信息并建立数列模型的能力，以及综合运用数列的相关知识分析和解决实际问题的能力；（的根据数列内容与数学史料联系紧密的特点，结合所给数学史料的知识、原理和方法，自主分析问题和解决问题，提升数学文化素养三、本章命题建议本章学业水平测试的命题，要以学业要求的达成为目标，以核心知识为基础，以问题情境为载体，以思想方法为依托，以关键能力为特征，综合体现数学学科核心素养的落实1.本章学业水平测试的命题意图(1）重视对核心知识的评价以数列的概念、等差数列和等比数列的核心知识为素材，突出评价学生对有关“概念，

207、性质应用”的了解、理解和掌握程度例如，数列的概念、通项公式与前n项和公式的关系，等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用等(2）重视对思想方法的评价以数列的概念、等差数列和等比数列的基本问题为载体，突出评价学生用函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识数列的应用等；注重结合具体问题情境，通过对研究等差数列和等比数列的类比方法和多种思维方式的评价，融入对函数与方程、特殊与 一般、化归与转化等数学思想方法的评价，强调研究数列的性质或解决数列问题的“基本量”思想和通性通法，淡化特殊的运算技巧(3）重视对关键能力的评价 以数列的概念、等差数列和等比数列的简单应用为特征，突出问

208、题情境中要蕴含抽象概括、推理论证、运算求解和数学建模等关键能力的评价，注重等差数列和等比数列的核心知识、思想方法和实际应用的有机结合，重在评价学生综合运用所学的知识建立数列模型、解决实际问题的能力2.本章学业水平测试题的双向多维细目表依据上述命题意图，我们设计了本章学业水平测试题的双向多维细目表（详见表的，编制了一套示范性学业水平测试题，并给出了参考答案，供教学时选用表 4题理题号问题情境核心知识评价要求思想方法关键能力1 现实CC)等比数列的概念理解化归与转化数学建模2 数学CA)等差数列的通项公式与前n项和公式掌握函数与方程运算求解等差数列、等比数列的通项公式与前掌握函数与方程运算求解选3

209、 数学CA)n项和公式择题等差数列、等比数列的通项公式与前掌握化归与转化推理论证4 现实CC)n项和公式，5 数学CA)等比数列的前n项和公式掌握特殊与一般推理论证6 文化(B)数列的概念了解特殊与一般推理论证第四章数到I83 续表那么该志愿服务者的资格号是（）CA)110 CB)2 2 0 CC)330(D)44 0（二）多 选题（本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）5.己知一个 等比数列的前n项，前 2n项，前 3项的和分别为P,Q,R，则下列 等式 不 正确的是（）题型题号问题情境核心知识评价要

210、求思想方法关键能力7 数学（A)等比数列的通项公式理解函数与方程运算求解填8 数学（A)等差数列的通项公式与前项和公式掌握函数与方程运算求解主，.，题9 数学（A)等差数列、等比数列的通项公式理解函数与方程运算求解10 文化（B)等差数列的通项公式与前项和公式掌握化归与转化运算求解数学（B)等差数列、等比数列的通项公式与前掌握分类与整合11 运算求解n 项和公式解12 数学（B)等差数列、等比数列的简单应用掌握函数与方程运算求解生曰玄13 数学(B)递推数列与数列求和了解化归与转化运算求解题14 现实（C)数列的简单应用掌握化归与转化数学建模15 数学(B)等差数列、等比数列的简单应用掌握特殊

211、与一般推理论证CA)P+Q=R CB)Q 2=PR CC)(P+Q)-R=Q 2(D)P2+Q 2=P(Q十R)6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的 数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,1 0称为三角 形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数 下列 数中既是兰角形数，又是正方形数的是（）L 卒 A 3 6 nu A 说明：现实情境、数学情境和科学情境分别简称现实、数学和科学，其中以数学史为背景的情境称为数学文化情境，简称文化；问题分为简单问题（A）、较复杂问题（盼和复杂问题CC）三个层次后续章的表述与此相同CA)36 CB)2 89

212、 CC)12 2 5 CD)1 378二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分请将答案填在对应题号的位置上）口 日 日4 9（第 6 题）16 本章学业水平测试题（时间：90分，满分：100分）7.若等比数列J满足 1+az=-l,a 1一句 3，则向8己知等差数列问）的前 项和为Sn.若a3=3,54 队则以主一9.已知数列an 满足向a7=2，句句 8.若 n 是等差数列，则 1a 10=；若an 是等比数列，则 a 1 10=10.我国古代数学名著九章算术中有如下“竹九节”问题：现有 一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面4 节的容积共3L，下面3节的容积共4 L，

213、则第5节的容积为L,9节竹的容积共为L.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11.己知等差数列a n 的前n项和为止，等比数列bn 的前n项和为孔，a 1=b 1=l，2+b z=2.(1）若 3+b 3=3，求b n 的通项公式；(2）若T3=21，求 53.12.记S 为等比数列a n 的前n项和 已知52一3，民9.(1）求an 的通项公式；(2）求 S，并判断Sn竹，乱，Sn+Z是否成等差数列13.设数列an 满足a 1+3a 2十 （2n-l)an 二n.(1）求an 的通项公式；(2）求，数列（j的前n项和l2n十1 J、选择

214、题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）（一）单选题（本题共4小题，每小题4分，共1 6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1个蜂巢里有1 只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6 只蜜蜂飞出去，各 自找回了5个伙伴.如果这个找伙伴的过程继续下去，那么第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂的只 数为（）CA)55 98 6 CB)4 6 656 CC)216(D)36 2.记S 为等差数列a n 的前n项和 若4+as=24,56=4 8，则an 的公差为（）CA)1 CB)2 CC)4 CD)83.已知等差数列a n 的首项为l，公差不为0.若句，句，6成等

215、比数列，则an 前 6项的和为（）(A)-24CB)-3 CC)3(D)84.为鼓励学生积极开展校外劳动实践，某校推出“通 过解 数学题获得参加社区志愿服务资格”的活动参加社区志愿服务的资格号为下面数学问题的答案：“已知数列1,1,2,1,2:4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是2 0，接下来的两项是2 0 2 1，再接下来的 三项是2 0 21 2 2，以此类推求满足如 下条件的最小 整数N:NlOO 且该数列的前N项和为2 的整数幕，84 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册第四章数列I85 14.已知某地 今年年初拥有居民住房的总面积为（单位：mz），其中有

216、部分旧住房需要拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：mz）的旧住房(1）分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积的表达式；(2）如果第五年年末该地 的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少（计算时可取 1.15=1.6)?15.已知等比数列an的前n项和为S.(1）求证：若队，鸟，Ss 成等差数列，则2，8，5 成等差数列(2）对(1）中 的结论进行推广，写出一个推广后的真命题，并予以证明 参考答案1.B.本题主要通过实际问题情境评价学生对等比数列概念的理解程度，通过运用化归与转化的思想方法评

217、价学生的数学建模能力2.c.本题主要通过激学问题情境评价学生对等差数列的通项公式与前n项和公式的掌握程度，通过运用求基本量的方法和方程思想评价学生的运算求解能力 3.A.本题主要通过数学问题情境评价学生对等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的等比中项等数列的基本知识的掌握程度，通过运用求基本量的方法和方程思想评价学生的运算求解能力4.D.本题主要通过现实问题情境评价学生对等差数列、等比数列的前n项和公式与通项公式的掌握程度，通过运用化归与转化的思想评价学生的推理论证能力、运算求解能力和创新能力5.ABC.本题主要通过数学问题情境评价学生对等比数列的前n项和公式的掌握程度，通过运用特殊与一

218、般的思想评价学生的推理论证能力和运算求解能力6.AC.本题主要通过数学文化情境评价学生对数列概念和性质的了解程度，通过运用特殊与一般的思想评价学生的推理论证能力、运算求解能力和创新能力7.-8.本题主要通过数学问题情境评价学生对等比数列的通项公式的理解程度，通过运用函数与方程的思想评价学生的运算求解能力2019 8.一一本题主要通过数学问题情境评价学生对等差数列的通项公式与前项和公式的掌1010 握程度，通过运用函数与方程的思想以及裂项求和的方法评价学生的运算求解能力 9.-728；一7.本题主要通过数学问题情境评价学生对等差数列、等比数列的通项公式和基本性质的理解程度，通过运用函数与方程的思

219、想评价学生的运算求解能力67 201 0一 一一本题主要通过数学文化情境评价学生对等差数列的基本知识和技能的掌握程.66 22 度，通过运用化归与转化的思先生评价学生的运算求解能力11.设（J的公差为d,b，的公比为q，则an=l+(n 一l)d,bn 二q1.由 a 2十b 2=2,得Ld+q=l.86 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册时l,(1）由 3+b3=3，得 2d+q2=2.将其与 d+q=l联立，解得！（舍去），或lq=O e=-1,q=2.因此，bn的通项公式为b,=21.(2）由 b1=l,T3=21，得 q2十 q-20=0，解得 q一5或 4.当 q=-5

220、时，由d+q=l,得 d=6，则5 3=21；当 q=4 时，由d+q=l，得d=-3，则5 3=-6.本题主要通过数学问题情境评价学生对等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式等基本知识和技能的掌握程度，通过运用方程思想以及分类与整合的思想评价学生的运算求解能力 fa1 Cl十q)=-3,12.(1)设a，的公比为q，由题意可知（解得 q=-2,a1=3.故an 的la1 Cl十q+q2)=9,通项公式为an=3c-2Y-1.a1 Cl-q)(2）由(1），可得 乱l 一（2).由于Sn+z十Sn+1=2 一（2）牛2 一1-q(-2）什1=2（一2）沪I=21 一（2)=2乱，故S什l，

221、乱，sn+2成等差数列本题主要通过数学问题情境评价学生对等比数列的性质、通项公式及前项和公式，以及等差数列的判断方法等的掌握程度，通过运用方程思想评价学生的运算求解能力和推理论证能力13.(1）因为a1+3a 2十 十（2n-l)an，故当 n注2 时，a1+32十（2n 一3)an一l二川上述两式棚，得（2n-l)an=1.所以 an古以）由题意，可得 I=l.当 n=1 时，a 1对习1仍然成立，从而an的通项公式为，1(2）记二 f的 前 n 项 和 为 S.由(1），知！.l2n十lJ2n十1(2n+1)(2n 1)l_(_!_-_!_），则s=l_（_l_.l l+(.l_.l）一一

222、一门 一一一飞飞飞I1 1 1 2 飞2n-l2十ll 2 L飞 13 J飞 35 J飞2n 一12十iJ 2n十1本题主要通过数学问题情境评价学生对递推数列、数列的裂项求和等基础知识与基本技能的了解程度，通过运用化归与转化的思想和裂项相消的方法评价学生的运算求解能力 11 14.(1）第 1 年年末的住房面积：10-b=l.la-b;f 11 11 ill 2 I 11 第 2 年年末的住房面积：（a一 b）b=a（一）b（1十二）=l.2la-2.lb.飞10J IO飞10飞IO11 2/11 1 11/11 (2）第 3 年 年 末 的 住 房 面 积：l（一）-b（1十一）一 b（兰）

223、-b L飞10飞10/.I 10飞I 1/112;1十元十（10J/11 411/11飞 2rll、31第4年年末的住房面积：a（10)-b11币（wl+(w)I;第 5 年年末的住房面积：a（Hf-b咔十（丑f（骂f由于1.1 s一旦主b 句1.6a-6b.第四章数列I87 a 依题意可知，1.6 6b=l.3，解得 b 一所以每年应拆除的旧住房面积为主20 20 本题主要通过现实问题情境评价学生对等比数列的前n项和公式与通项公式等数列基础知识与基本技能的掌握程度，通过运用化归与转化的思想、评价学生的数学建模能力、运算求解能力和创新能力15.Cl）证法l：设等比数列a.的公比为 q.若S3,

224、S9,S6 成等 差数列，则25 9=S3+S6.当 q=l时，可得S3=3I s6=6a1 Sg=9a1.由1手0，知s3十56 手25 9.所以q=I=1.于1 0-q3)a1Cl-q6)2a1Cl-q9)是由S3+S6 矶，可得化简整理，得 q3+q6矿，即l-q l-q l-q 1旷2 q6.所以向a5=a1q+a1q4 1qO旷）21q7=2句，故句，句，as成等差数列证法2：若s3,s9,s6 成等差数列，则25 9=S3+s6.由S6=S3(1十q勺，S9=S3(1十1 q3+q6）及S3=l=O，可得2(1十 q3+q6)=2+q3.由q手0，解得 q3 一一所以2+as=a1

225、q+2.1 7 6-1 a1q4=a1q Cl+q3）言勺 q,2a 8=2a 1 q=2lqq-za1q，即向十a5=2句，故句，as,as 成等差数列(2）根据学生推广的不同情形和证明过程，制定相应的评价细则（见下表）根据 sow 分类法制定的案例评价细则水平推广程度参考样倒没有理解推广的内涵，没有给出在前n项和为乱的等差比数列a.中，若乌，水平。推广意义下的真命题，或写出的鸟，56 成等比（差）数列，则a2 as as成等比命题不是真命题（差）数列在前 项和为S”的等比数列a.中，若53，鸟，56水平 1没有改变命题的结构，仅在某一成等差数列，则对于任意的AER,M2,Ms,Ms也对象上

226、作形式化的推广成等差数列在前n项和为乱的等比数列a.中，若存在走N,水平 2能抓住等差数列的性质，在一个维度上作形式化的推广使得S矗忡，s,+9,sH6 成等差数列，则对于任意的mEN,am 宇2 am叶，am-5也成等差数列能综合等差、等比数列的性质，在前n项和为孔的等比数列a.中，若存在 k,m,水平 3从多个维度进行推广，并在推广tw(k+t 弓ic Zm），使得乌，鼠，s，成等差数列，的一般化程度上有实质性进展则句，am,a，也成等差数列在前n项和为乱的等比数列a.中，若存在h，刑，水平4能将命题推广到一般化程度，形tEN份（k十 t#Zm），使得马，鸟，S，成等差数列，成了更为抽象的

227、结论则对于任意的 巨E N,a，”am忖，a，.也成等差 数列88 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册等级E B 证法略本题主要通过数学问题情境评价学生对等比数列的性质、求和公式和等差数列的判断方法等的掌握程度，通过运用化归与转化的思想和特殊与一般的思想评价学生的运算求解能力和推理论证能力第四章数列I89 函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系4.钳微积分的创立与发展搜集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些重要历史人物（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）和事件，采取独立完成或者

228、小组合作的方式，完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告一元函数的导数及其应用二、本章知识结构握国函数的极值与最大（小）值导数在研究函数中的应用函数的单调性简单复合函数的导数导数的运算导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式导数的概念及其意义导数的几何意义导数的概念割！切 i线：-：线；斜i：斜率：率；抽象！平i i瞬均j时：速门速j 度；！度导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本方法 本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；通过本章的

229、学习，学生能理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能利用导数研究简单函数的性质和变化规律，能利用导数解决简单的实际问题通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养将得到进一步提升z、内容安排本章通过丰富的实际背景和典型实例，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念及其几何意义，通过这些过程让学生了解导数是如何刻画瞬时变化率的，体会导数的内涵，感悟极限思想 本章还介绍了基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和简单复合函数的导数，使学生进一步感悟极限思想在此基础上，引导学生通过具体实例感受导数在研究函

230、数和解决实际问题中的作用，认识导数是研究函数的单调性、极值与最大（小）值等性质的基本方法，体会导数的意义“5.1 导数的概念及其意义”按照概念教学的基本环节展开首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率这两个典型的变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数 y=f(x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念一一一导数是瞬时变化率的数学表达在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，给出导数的几何意义，让学生再一次经历从平均变化率

231、过渡到瞬时变化率的过程在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，教科书不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养1.导数的概念及真意义(1）通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想(2）体会极限，思想(3）通过函数图象直观理解导数的几何意义2.导数运算 能根据导数定义求函数 y=c，内，y=xz y=x3 y 士，y 布的导数(2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，

232、求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如 f(ax 十b）的导数(3）会使用导数公式表3.导数在研究函数中的应明(1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间(2）借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些第五章一元函数的导数及真应用I91 第二册数学选择性必修90 普通高中教科书教师教学用书高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，因此，引人导数的概念之后，“5.2 导数的运算”给出基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数

233、运算法则，从而解决了简单初等函数的导数运算问题本节首先根据导数的定义求 6 个常用的具体函数 y=c，户x,y=x2,y=x3,y士，y 的导数，进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式接着，通过具体实例让学生直观感知两个函数的和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系在此基础上，直接给出导数的四则运算法则最后，通过具体实例，在让学生直观感知求复合函数导数的方法的基础土，直接给出复合函数的求导法则本节在相关内容的展开过程中，着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，求简单函数及简单的复合函数（限于形如 f(ax+b）的导数，并从中进一步体现极限，思想，提升学生的数学运算素养

234、导数定量地刻画了函数的局部变化，“5.3 导数在研究函数中的应用”研究了如何利用导数研究函数的性质，包括函数的单调性、极值与最大（小）值等“5.3.1 函数的单调性”首先就高台跳水运动问题，考察运动员的重心相对于水面的高度函数以t）的单调性与h（仆的导数v(t)=h(t）的正负之间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数的单调性与函数导数的正负之间的关系 J 进而，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般可导函数 f(x）的单调性与其导函数 f（x）的正负之间的关系；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增长快慢问题“5.3.

235、2 函数的极值与最大（小）值”仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征（极值的必要条件），并利用可导函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值以及实际问题的最大（小）值，进而利用导数研究函数的图象和性质的综合性问题通过本节的学习，学生可以认识到导数是研究函数性质的基本工具，也是解决优化问题的一种通法，提升逻辑推理、直观想象和数学运算等素养导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有 基础性地位，也是本章最为核心的内容利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是利用导数研究函数性质的基础和必备技能对很多运

236、动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢程度等是最基本的问题借助导数知识可以简明地回答这些问题：由 f（x）的正负可知函数 f(x）是增还是减，由 J(x）绝对值的大小可知函数变化的快慢程度不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具因此本章的重点是：导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，利用导数研究简单函数的性质导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵一一瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到

237、导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟 因此，导数的概念是本章的一个教学难点在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，来断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函92 I 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难，所以求简单复合函数的导数是本章的另 一个教学难点加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中

238、间变量、因变量，是突破这一难点的关键澡时安排本章教学时间约需 16课时，具体分配如下（仅供参考）：5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算5.3 导数在研究函数中的应用文献阅读与数学写作铃微积分的创立与发展小结每本意篇署思考1.在导数概念的抽象过程申凸显导数的内涵与思想约 4课时约 4课时约 5课时约 1课时约2 课时导数概念的本质是瞬时变化率，它高度抽象为使学生初步理解导数的内涵与思想，教科书以两个典型的变化率问题为载体，以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引，引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中蕴含的重要思想方法，进而析

239、出各实例中蕴含的导数的本质属性具体地，对于“问题1高台跳水远动员的速度”，教科书通过探究栏目“在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度以单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系h(t）4.9t 2 十4.8t+11.如何描述运动员从起跳到人水的过程中运动的快慢程度呢？”设置情境并提出问题，然后通过层层递进的问题，使学生感受用平均速度无 法精确描述运动员的运动状况（在Ot这段时间内的平均速度为 0，但运动员几乎一直处于运动状态），体会研究瞬时速度必要性的同时，自然地提出问题：瞬时速度与平均速度有什么关系？如何求运动员的瞬时速度？为了解决这 一抽象导数概念过程中

240、的关键问题，教科书构建了一个运动员在 to 时刻附近某一时间段内的平均速度5趋近于 to 时刻的瞬时速度的过程，并以 t0=l 为例，借助信息技术工具，引导学生直观感受当今t0时平均速度否无限趋近于一个确定的数，IW to=l 时刻的瞬时速度在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，感受其中蕴含的极限思想接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，求运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验然后再将上述过程与方法一般化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识对于“问题2抛物线的切线的斜率”，教科书类比解决“问题 1”的过程与方法，

241、引导学生探究“如何定义抛物线 f(x)=x2 在点 PoCl,1)处的切线？”“如何求抛物线 f(x)=x 2 在点PoCl,1)处的切线 PoT 的斜率是。呢？”，让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜率的过程，进一步感受解决问题的过程和方法第五章一元函数的导数及真应用93在详细分析两个典型变化率问题的基础上，教科书抽象概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数 y=f(x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，从而给出导数的概念一一导数是瞬时变化率的数学表达，使学生获得导数概念的同时，发展数学抽象、直观想象等素养2.从具体到抽象，适度地避行

242、规则的抽象概括由于高中阶段不专门介绍极限的有关知识，所以不可能通过严格逻辑推理的方式，推导出基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，以及函数的单调性与导数的正负之间的关系等“规则”（笆括公式 这样，如何以适当的方式给出这些“规则”，就成了编写教科书时需要着重思考的问题之一教科书从高中学生的认知规律出发，结合规则的具体特点，从具体实例出发，通过从具体到抽象、从特殊到一般的方法给出“规则”，使得过程自然、合理、不突兀例如，在“基本初等函数的导数公式”中，首先根据导数的定义求6个常用的具体函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=_!_,y=h的导数，在此基础上，从特殊到

243、一般地给出基本初等函数的导数公式又如，二E在“导数的四则运算法则”中，首先对 f(x)=x2,g(x)工，计算j(x)+g(x)与f(x)-g(x），探究ill它们与 f(x）和 g(x）之间的关系：J(x）土g(x汀 J(x)g(x）.进而要求学生再取几组函数，感受上述关系仍然成立在此基础上，从特殊到一般，给出两个函数的和（或差）的导数运算法则J(x）士g(x汀J(x）土g(x).再如，在“简单复合函数的导数”中，先从两个角度研究具体函数y=sin h的导数第一个角度，对sin b进行恒等变形，得y=2sinxcos x，进而直接利用两个函数的积的导数运算法则求出它的导数儿；第二个角度，利用

244、函数y=sin b是由y=sin u,u=2x 复合而成的，猜想函数y=sin 2x 的导数一定与函数y=sin u,u=2工 的导数有关，进而求出 儿，u；，并考察儿，儿，u；之间的关系，得到 y:=y:u；最后，从特殊到一般，给出复合函数的求导法则：一般地，对于由函数 y=f(u）和 u=g(x）复合而成的函数 y=f(g(x），它的导数与函数y=f(u),u=g(x）的导数间的关系为 y:=y:u:.对于“函数单调性与函数导数的正负之间的关系”，由于高中阶段不介绍微分中值定理，所以无法进行证明 教科书借助具体实例，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般函数 f（工）的

245、单调性与导函数 j(x）的正负之间的关系具体地，首先就高台跳水运动问题，考察运动员的重心相对于水面的高度函数 h(t）的单调性，与它的导数以t)=内的正负之间的关系；接着，通过4个具体函数 y=x,y=x2,y=x3,y 二的图象，进一步探讨函数单调性与函数导数的正负的关系；最后，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般函数 f(x）的单调性与导函数 f(x）的正负之间的关系类似地，对于“可导函数极值点的特征”，教科书仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征，得到极值的充分条件教科书通过这样的“抽象概括”过程，让学生在对“规则”有一定直观

246、感知的基础上给出“规则”，有效化解了由无法证明“规则”造成的“不严密”的问题和“规则”的抽象性问题94 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册3.强调“逼近”过程，不断渗透极限思想由于高中阶段不专门讲授极限的具体知识，所以极限的思想和方法必须结合具体内容的展开加以渗透教科书抓住一切机会渗透极限思想，把“体会极限思想”落到实处 例如，在求高台跳水运动员在 t=l 时的瞬时速度时，通过列表，对于 b.t 的一系列值，给出对应的平均速度石的值，观察当 b.t 趋近于 0 时，平均速度石的变化趋势，直观感受逼近的过程，体会极限思想，得到结论：“我们发现，当 b.t 无限趋近于 0，即无论t

247、从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度石都元限趋近于 一5.”进一步地，从解析式的角度观察-h(1+t:it)-h(1)平均速度石的变化趋势：“由 v=-4.9b.t 一5可以发现，当 b.t 无限趋近于0o+t:ii)-1 时，4.9b.t 也无限趋近于 0，所以百元限趋近于 一 5”这样就从解析式的角度，更为理性地感受逼近过程，体会极限思想 与求高台跳水运动员在 t=l 时的瞬时速度的研究过程和方法一样，对于抛物线 f(x)=x2在点PaO,1)处切线的斜率，教科书也作类似地处理，以帮助学生直观感受逼近过程，体会极限思想引人导数概念后，教科书在巩固导数概念的

248、例题中，直接利用导数的定义求函数在一点处的导数；在5.2节利用导函数的定义求6个常用的具体函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y 二二，y=Jx的导函数，通过这些具体实例渗透极限思想4.加强形与数的融合，培养直观想象素养由于高中阶段没有建立完整的微积分知识体系，所以教科书只能借助图形直观，通过形与数的融合，帮助学生认识微积分的一些重要思想方法，“获得”一些“法则”例如，通过研究导数的几何意义，从“形”的角度加深对导数概念的理解进一步地，通过将点Po 附近的曲线不断放大，发现点Po 附近的曲线越来越接近于直线，即在点Po 附近，曲线 y=f(x）可以用点Po处的切线 P0T 近似代替，从而

249、帮助学生初步感受微积分的重要思想方法一一以直代曲又如，教科书借助 4 个函数 y=x,y=x2,y=x3,y ！的图象，并利用导数的几何意义，帮助学生工从“形”的角度直观认识函数单调性与导数的正负之间的关系对于函数的极值、最大（小）值研究，教科书也充分借助函数图象，从图形直观的角度归纳出相应的“法则”5.强调利用导数研究函数的性质在学习导数之前，我们通常借助图形直观，利用不等式、方程等知识，通过代数运算研究函数的性质 导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，有了导数工具，就可以利用导数更加“精确地”研究函数的性质，因此导数是研究函数性质的基本工具单调性既是函数最重要的性质

250、，也是研究函数其他性质的基础教科书首先使用了大量的篇幅研究函数的单调性，从具体实例抽象概括出函数 f(x）的单调性与导函数 J(x）的正负之间的关系，进而利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增长快慢问题在此基础上，采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征，并利用函数导数的正负与函数单调性的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值和实际问题的最大（小）值，并综合研究函数的图象和性质飞i 第五章一元函数的导数及具应用I95在上述具体内容的展开中，教科书注意提炼研究函数性质的通性通法 例如，在用导数研究函数的单调性之后，总结出研

251、究步骤：一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y=f(x）的单调性：第l步，确定函数的定义域；第 2 步，求出导数J(x）的零点；第3步，用 f(x）的零点将 f(x）的定义域划分为若干个区间，列表给出J(x）在各区间上的正负，由此得出函数 y=f(x）在定义域内的单调性这样，让学生体会用导数研究函数性质的通性通法，认识导数是研究函数性质的基本工具6.注重信息技术工具的使用本章注重借助信息技术手段，让学生直观认识极限、切线，以及“以直代曲”的重要思想例如，在“问题 1高台跳水运动员的速度”中，计算时间段l,l+t.t内的平均速度石，用平均速度百近似表示运动员在 t=l 时的瞬时速度 给出

252、b,t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度忘的值，便于学生观察当今t趋近于0时，平均速度石 的变化趋势在“问题2抛物线的切线的斜率”中，为了研究抛物线 f(x)=x2 在点PaCl,1)处的切线，对于抛物线上的点儿(1,1)的附近任意一点 P(x,x2），利用信息技术工具，借助图形直观，观察割线 PoP 的变化趋势，得到当点P无限趋近于点Po 时，割线 PoP无限趋近于一个确定的位置，即抛物线 f(x)=x2 在点PaCl,1)处的切线在列表计算割线 P0P 的斜率值时，利用信息技术工具计算更多割线 PoP 的斜率的值，有助于学生观察割线斜率的变化趋势在得出导数的几何意义后，利用信息技术

253、工具将点 Po 附近的曲线不断放大，可以发现点 Po附近的曲线越来越接近于直线因此，在点 Po 附近，曲线 y=f(x）可以用点 Po 处的切线PoT 近似代替1.充分经历概念生成过程，注重思想方法的渗透导数的概念非常抽象，而导数的几何意义涉及一般曲线的切线的概念，对学生来说是全新的，因此要使学生理解导数的内涵和思想，教学中必须让学生充分经历导数的概念及其几何意义的生成过程，通过典型丰富的实例抽象概括出导数概念和 一般切线的概念，得出导数的几何意义至少让学生经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程：过程 1物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程一一典型实例分析；过程2几何学中特殊曲线由割线过

254、渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程一一典型实例分析；过程3 一般函数 y=f(x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程一一给出导数的概念；过程4 一般曲线 y=f（工）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程一一给出导数的几何意义前三个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，J注而抽象概括出导数概念一一用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程 2、过程 4 是从96 I普通高中教科书教师教学用书 数学选择性必修第二册特殊到一般得到一般的切线概念以及导数的几何意义

255、的过程，其中第4个过程让学生又一次经历由平均变化率过夜到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念，这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵一一导数是瞬时变化率的数学表达需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程l和过程2 中，教科书还不断渗透“运动变化的观点”“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”，并多次使用上述思想方法解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题的思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度的总结概括；在过程 2 和过程 4

256、 中，让学生通过函数图象直观体会割线逼近切线的过程，理解导数的几何意义通过上述过程和方法，就能真正达成初步“感知微积分的基本思想，理解导数的内涵和思想，理解导数的几何意义，体会极限思想”的单元教学目标，把提升数学抽象、直观想象素养落到实处2.强调导数研究函数性质的般步骤在本章教学中，应强调利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值等性质的 一般步骤，体现程序化思想，由此让学生体会导数是研究函数性质的基本工具，是普适性方法例如，在利用导数研究函数的极值时，强调求极值的一般步骤：一般地，可按如下方法求函数 y=f（川的极值：解方程J(x)=O，当 f Cxo)=O时：(1）如果在 Xo 附近的左

257、侧 j(x)O，右侧 f(x)O，那么 f(xo）是极大值(2）如果在工。附近的左侧 j(x)O，那么 f(xo）是极小值3.加强运算训练，提升学生的数学运算素养本章的数学运算主要有三类：利用导数的定义求导数值、计算一些简单函数的导函数；利用基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则以及复合函数的导数运算法则，计算简单初等函数的导数；利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值等性质通过掌握用定义求导数的步骤，并体会极限思想；通过掌握计算简单初等函数的导数的方法，并进一步体会极限思想；通过掌握利用导数研究函数性质的一般步骤和方法，因此这些运算必须熟练掌握“运算”是贯穿本章的一条主线，教学时应加

258、强对这些运算的训练，不断提升学生的数学运算素养4.适当介绍微积分创立的史实，让学生感曼理性精神微积分是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑教学中应结合章引言、“文献阅读与数学写作”等，适当介绍微积分创立的史实，让学生感受理性精神例如，在章引言中，适当介绍微积分的创立与处理四类科学问题直接相关一是己知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，己知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的

259、基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地第五章一元函数的导数及翼应用I 97 创立了微积分其中对“已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度”“求曲线的切线”“求函数的最大值与最小值”三类问题的研究，是导数产生的直接原因在“文献阅读与数学写作”中，组织学生搜集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些重要历史人物（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）和事件，让他们论述微积分创立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献，从中感受理性精神 98 I 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册章引言及章头图章引言包括三方面的

260、内容：一是简明地指出了函数与微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分；二是概述了微积分的创立史，以及它在数学和科学发展中的地位；三是概述了本章的内容和重要思想方法导数是瞬时变化率的数学表达章头图展示了生活中最常见的一种变化率一一运动速度速度是学生非常熟悉的物理知识，因此，教科书以高台跳水运动模型（近似看成竖直上抛运动）作为贯穿全章的主线问题，导数概念的引人，函数的单调性、极值与导数之间的关系等都以此为背景，这有利于学生借助同一个典型的运动模型理解导数的概念，并利用导数研究函数的性质5.1 导数的概念及真意义田、本节知识结构握固！平均速度瞬时速度；：割

261、线斜率；切线斜率；，二、重点、难点重点：导数的概念，导数的几何意义难点：导数的概念，曲线的切线概念三、教科书编写意固及教学建议导数的概念导数的几何意义本节遵循概念教学的基本环节，通过对两个典型的变化率问题的详细剖析，让学生充分经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象概括出导数的概念，在上述过程中体会导数的内涵与思想；进而学习导数的几何意义，并对导数的概念及几何意义进行辨析、巩固和应用导数的概念非常抽象，导数的内涵与思想不易把握，因此阜数的模念是本节的一个教学难点一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的另 一个教学难点通过本节的学习，学

262、生的数学抽象和直观想象素养将得以提升第五章一元函数的导数及某应用 I995.1.1 变化率问题概念是反映事物本质属性的思维形式，具有抽象性、概括性的特征导数是瞬时变化率的数学表达，它高度抽象为使学生初步理解导数的内涵与思想，应以体现导数本质的典型丰富的变化率问题为载体，以导数概念及其反映的思想方法为指引，引导学生展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中蕴含的重要思想方法，进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性教科书安排了高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个实例，借助信息技术工具展现由平均变化率过渡到瞬时变化率的完整过程，得到导数概念的雏形，为抽象概括出导数的概念奠定基础 需要特别

263、指出的是，速度问题、曲线切线的斜率问题也是导数概念产生过程中的两个最为经典的案例1.问题1的展开过程分析问题1的核心是解决“探究”中提出的问题，即“如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度”(1）从平均速度到瞬时速度首先把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度百近似地描述他的运动状态教科书分别计算了运动员在时间段 0运t 乓二o.5,1t 2 l1tl2内的平均速度，这样就可以近似地认为4动员在这些时间段内按各时间段内的平均速度做匀速直线运动接着，教科书通过思考栏目提出问题，让学生计算运动员在时间段Ot内的平均速度，并发现用平均速度近似描述高台跳水运动员在这段时间内

264、的运动状态会出现的问题在这段时间内，运动员的平均速度为0，但运动员几乎一直处于运动状态，从而引起了认知冲突要化解这个冲突，就自然地引出了瞬时速度通过上述过程学生可以初步体会研究瞬时速度的必要性(2）细致地探究运动员在t=l s时的瞬时速度，感悟解决问题的思想与方法教科书基于学生已有的认知基础，尤其是基于在研究平均速度时，用平均速度近似地描述运动员的运动状态的过程与方法，首先从联系的角度对求瞬时速度的思想方法进行引导：“瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=l s时的瞬时速度吗？”从而启发学生得到解决t=l s时的瞬时速度的思路与方法：“设运动员在 to 时刻附近某一时间段

265、内的平均速度是否，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么百将越来越趋近于运动员在 to 时刻的瞬时速度”接着，利用上述思路展开研究过程，在研究过程中需要注意两点：一是，在t=l s 之后或之前，任意取一个时刻I+t.t，研究运动员在1与1+t.t之间的平均速度5，体现用“运动变化的观点”研究问题的微积分重要思想；二是，从数值和解析式两个维度，观察平均速度百的变化趋势，并注意适当使用信息技术工具，得到运动员在t=l s时的瞬时速度，使学生初步体会极限思想与方法(3）求更多时刻的瞬时速度，进一步感受解决问题的思想与方法在完成求高台跳水运动员在t=ls时的瞬时速度全过程后，教科书要求学生模仿解

266、决问题的过程和方法，独立解决运动员在其他时刻的瞬时速度，如 t=2 s时的瞬时速度，使他们对解决问题的思想和方法以及极限思想有更多的感受，也为学生发现在解决运动员的瞬时速度问题中蕴含的规律进一步奠定基础(4）从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识100 I 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册从特殊到一般，利用上述同样的思想方法求运动员、在任意时刻 t=to 时的瞬时速度，获得瞬时速度的一般形式化表示，实现从感性具体到理性具体，提升了学生对解决问题的思想与方法的认识通过上述详尽“解剖麻雀”的过程，让学生较为充分地经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，初步体会其中蕴含的导数的内涵

267、和思想，并多次体会其中的极限思想2.对问题 1的两点说明第 一，应充分引导学生经历解决问题的全过程，并在解决问题的关键点上加强思想方法的引导，主要包括“运动变化的观点”“极限思想与方法”等，只有这样学生对导数的内涵和思想才能有所感悟，进而为抽象概括出导数的概念奠定基础；第二，在列表计算运动员在1与I+t.t之间的平均速度5 时，应充分使用计算工具，计算出较多平均速度石的值，以帮助学生观察出平均速度石的变化趋势3.问题2的展开过程分析在问题2中，教科书以学生熟知的特殊曲线（抛物线f(x)=x2）为对象，研究其在特殊点PoCl,1)处的切线及其斜率与解决问题 1 的过程与方法类似，问题 2 再次让

268、学生在“运动变化的观点”“极限思想与方法”的引导下，经历由割线斜率过渡到切线斜率的完整过程，进 一步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，进一步体会极限思想(1）抛物线f(x)=x2 在点PoCl,1）处的切线教科书首先提出问题：“如果 一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线f(x）二t为例进行研究”教学中应引导学生观察直线x=l与抛物线f(x)=x2 只相交于一点PoCl,1)，并根据直觉，得到直线 工 l不是抛物线f(x)=x2 在点Po L 1）处的切线，这样自然地引人研究抛物线f(x)=x2 的切线的课题接着，教科书引导

269、学生类比研究高台跳水运动员的瞬时速度的过程与方法来研究抛物线的切线问题：“与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=xz 在点P0(l,1）处的切线，我们通常在点PoCl,1)的附近任取一点P(x，工2），考察抛物线f(x)=x2 的割线P0P的变化情况”进而利用图形直观，观察割线PoP的变化趋势，得到割线P0P元限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线就是抛物线f(x)=x2 在点PoCl,1)处的切线教学中应注意充分利用信息技术工具，帮助学生从图形上直观观察，当点P元限趋近于点Po 时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置(2）抛物线f(x)=x2 在点PoCl,1)处切线的斜率教科书从

270、切线的定义出发，利用抛物线f(x)=x2 在点PoCl,1）处的切线P0 T的斜率与割线P0P的斜率的内在联系，通过用割线斜率近似表示切线斜率，以及极限的思想方法，从数值和解析式两个维度，观察割线斜率的变化趋势，得到切线的斜率(3）对问题 2 教学方式的建议由于抛物线f(x)=x2 在点PoCl,1)处的切线是全新的概念，所以教学中教师应进行适当引导，学生才能开展有效的探究活动本部分内容的教学宜采用教师引导与学生自主探究相结合的方式进行第五章一元函数的导数及冥应用I 101 对于抛物线 f(x)=x2 在点PoC l,1)处切线的斜率，教师可以放手让学生类比研究问题1的过程与方法独立探索解决4

271、.对“思考”的说明本小节的最后设置了一 个思考栏目，意在让学生跳出高台跳水运动的实际背景，直接利用函-hCl+t.t)-h(l)数以t)=-4.9t2 十4.8t+ll 的图象，认识平均速度 v=门lA A、吃、瞬时速度以1)的几-h(l十 t.t)-h(l)何意义，得到平均速度 v=C l+t.t)-1 是抛物线 h(t)=-4.9t2 十4.8t+11上连接点(1,以 1),C l缸，hC l+t.t）的割线的斜率，瞬时速度v(l）是抛物线以 t）在点(1,h(l）处的切线的斜率 这个思考栏目也为后续给出导数的几何意义作了铺垫5.1.2 导数的概念及真几何意义本小节在研究了两个典型变化率问

272、题的基础上，抽象概括出导数的概念，并研究导数的几何意义，让学生进一步经历从平均变化率过搜到瞬时变化率的过程，理解导数的内涵和思想1.抽象慨捂导数概念的过程分析教科书按概念抽象的基本过程，在分析两个典型实例属性的基础上，通过比较、综合，并舍去具体背景，从思想方法和表达形式上归纳出共性，并用于描述一般函数 y=f(x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而抽象出导数的概念一导数是瞬时变化率的数学表达这里设计了 3 次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程：过程 1物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程一一典型实例分析；过程 2类比过程 1，研究几何学中由特殊曲线的割线斜率过渡到切线斜率的过程一一典型

273、实例分析；过程 3一般函数 y=f(x）由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程一一给出导数的概念通过这些过程，学生初步理解了导数的内涵（即导数就是瞬时变化率）及其蕴含的“运动变化的观点”和极限思想，把提升数学抽象、直观想象等数学学科核心素养落到实 处2.导数概念的辨析、巩固给出导数的概念后，教科书引导学生用导数的概念分别表述问题 1 和问题 2 中的“瞬时变化率”，即问题 1中运动员在t=l时的瞬时速度以口，就是函数以t)=-4.9t2+4.8t+ll 在t=l处的导数 h(1）；问题 2 中抛物线 f(x)=x2 在点PoC l,1)处的切线 P0T 的斜率是。，就是函数f(x)=x2 在x=l

274、 处的导数！(1）.并进一步指出，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP）的增长率等，教学中教师可以有选择地对这些实例加以展开接着教科书安排了 3 个例题，让学生进一步巩固导数概念，形成用概念求导数的基本步骤例l是利用导数的概念求 f(x)=l_在x=l 处的导数 f(l)，意在让学生明确用导数的概念工求函数的导数的具体操作步骤，并进一步体会导数概念中蕴含的极限思想解决例 2 首先需要明确导数是瞬时变化率的数学表达，从而将问题转化为求原油的温度函数在某些点处的导数；接着，利用导数的定义求原油的温度函数在这些点处的导数，意在进一步强化用导数的概念求函数的导数的具体

275、操作步骤，使学生进一步体会导数概念中蕴含的极限思想；102 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册最后，利用计算结果解释瞬时变化率的意义，让学生进步认识导数的内涵，即导数反映了函数在某一点附近的变化情况例 3 与例 2 有类似的设计意图，除此之外，通过例 3 的学习，学生可以认识加速度与速度之间的关系3.导数的几何意义的探究教科书首先设置了一 个思考栏目，意在利用图象直观，探究导数的几何意义从图象直观的角度看，函数 y=f(x）的平均变化率就是割线 PoP 的斜率t.y f(xo+t.x)-f(xo)&接着，教科书将“5.1.1 变化率问题”的“问题 2”中的过程与方法推广到 一般，

276、再次让学生经历 由 平 均 变 化 率 过 渡 到 瞬 时 变 化 率 的 过 程，研究 一 般 曲 线 Y=f(x）上任 意 一 点Po(Xo，只xo）处的切线的；主义，以及该点处的切线斜率与导数J C xo）之间的关系，得到导数的几何意义这样多次、反复经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，可以极大地帮助学生理解导数的内涵一一导数是瞬时变化率，感受“运动变化的观点”“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想，并体会“极限思想”4.关于切线的定义教科书利用图形直观，在曲线 y=f(x）上任取一点P(x,f(x），当点P(x,f(x）沿着曲线 y=f(x）无限趋近于点Po（剖，f(xo

277、）时，割线 PoP 无限趋近于一 个确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为曲线 y=f(x）在点Po 处的切线教学中应按照教科书“边空”中的提示，利用信息技术工具，让学生直观感受这种变化趋势，进而认识曲线在某一点处切线的概念同时，应引导学生与初中已学的圆的切线进行比较，使学生认识到：一方面，初中圆的切线定义方式不能推广到一般曲线的切线的情形；另 一方面，由曲线的切线的一般定义得到的圆的切线，与初中圆的切线定义具有一致性，这里给出的曲线的切线定义具有一般性5.“以直代曲”的重要思想方法“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，教科书选择了任意的光滑曲线，利用信息技术工具，将点Po 附近的曲线不

278、断放大，发现点Po 附近的曲线越来越接近于点Po 处的切线，从而直观发现：在点Po 附近，曲线 y=f(x）可以用点Po 处的切线 P0T 近似代替通过这样的方式，学生可以直观体会“以直代曲”的重要思想方法6.对例4、例5的说明例4运用“以直代曲”的思想方法解决问题曲线以t）在 t=t0,ti,t2附近的变化情况，可以近似地由曲线 h(t）在相应三点处的切线的变化情况加以描述例如，当t=t1 时，曲线以t）在 t=t1处的切线l 1 的斜率 h C t1)O.xi-xz如果函数 f(x）在区间I上可导，那么tf X1,Xz J,X 1手工 2，由拉格朗日中值定理，必有介于 X1，工 2 之间的

279、E，使户片、fj Z一fjZ一一一町zfj一函数的单调性f(x1)-f(xz)如果在区间 I 上恒有f（x)O，则 J(f)O，从而O，故函数 f(x）在区工 1xz间I上单调递增所以，f(x)O 是函数 f(x）在区间I上单调递增的充分条件（但不是必要条件）同理，f(x)O.当t（，的时，以t）的图象下降，h随时间 t的增加而减小，即h(t）单调递减观察图5-2(2）可以发现，在区间（，b）上，导函数 v(t)=h(t)O，函数h(t）的图象是“上升”的，函数以t）在（0，）上单调递增；当t仨（a，的时，h1(t)O，说明函数图象在点Cxo,f(xo）处的切线斜率为正，那么切线是“左下右上”

280、的上升式，函数f（川在这点附近的图象是上升的，从而函数 y=f(x）在工xo 附近单调递增；如果函数 y=f(x）在工xi处的导数值 f(x 1)OCO，下面说明 y=f(x）在区间（a，的上单调递增我们知道，函数 y=f(x）在区间（a,b）上单调递增，等价于VX 1,Xz（，b),f(x)在工l 与 Xz 之间函数的平均变化率恒为正，即Vx1，工2（a，的，恒有Cly f（工z)-f(x1)丁 O,(1)丛ZXz X 1(1）式的几何意义是经过点AC工i,/Cx1),B(xz,f(xz）的割线AB的斜率由于 f(x）在区间（，的上 处 处有导数，所以函数 y=f(x）的图象在区间（a，的上

281、 处处有切线.Vxi,Xz（，的，不妨设工1町，当z在区间Cx1,Xz）上从左端点 X 1 变化到第五章一元函数的导数及真应用I 111右端点工2 时，函数图象的切线也会随着变化 从直观上看，能找到 一点TCxo,f(xo），使函数 y=f(x）的图象在点T处的切线与直线 AB 平行（图5-3）.所以，存在工。Cx1,x2),使得!:,.y fCxo)O,从 而 Cl）式成立，所以函数 y=f(x）在区间（，b）上单调递增y。7!A./:.：一:Xo X2 图5-3bx 用同样的方法可以说明，如果函数 y=f(x）在区间（，的上的导数J(x）为负，那么函数 y=f(x）在区间（，的上单调递减

282、上面结论的逆命题不正确，即函数在区间（a，的上单调递增，其导数不 一定恒正，可用函数 f(x)=x3 加以说明；同样，函数在区间（，的上单调递减，其导数不 一定恒负，可用函数f(x)=-x3 加以说明8.关于例3的说明例3以三次多项式函数为例，介绍用导数求函数单调区间的 一般步骤 教学时可以让学生先由单调性的定义思考函数单调区间的求法，在得出/1 1 tl,1 f(x1)-f(xz)=3xf 一言xi-2x 1+1-3 x 一言x 一 2工2 十l)=f Cx1-xz）叫2x1 X2十叶3x1 一 3x2-l2)后，很难发现f(x1)-f(x2）在哪些区间 内正负性保持不变，这就突显了用导数求

283、函数单调区间的重要性 在完成例3后，应引导学生结合例3的解答 过程归纳总结出用导数判断函数单调性的 一般步骤，并联系例l说明导函数无零点时该如何处理 用例1 中的第（3）题，说明定义域内函数f(x）存在间断点，以及导函数J(x）元零点时如何完成第 3步 中的列表9.对第88页“探究”的说明导函数的正负反映了函数的增减情况，但是否可以用导数判断函数增减的快慢情况呢？也就是说，从导数的角度如何解释函数变化的快慢情况？这个“探究”就是为回答这个问题而设置的 教学时，不仅可以探究对致函数 y=ln z 与幕函数 y=x3 在区间（0，十）上增长的快慢情况，还可以利用信息技术工具多画 一些不同罪函数的图

284、象，并结合其导数值的变化情况进行分析，得出以下结论：“如果一个函数在某 一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变112 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册化得较快，这时函数的图象就比较 陡峭 （向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较 平缓”因此，导数的正负性反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度 教师还可以让学生反思必修第 一册中借助函数值和函数图象直观比较幕函数、指数函数和对数函数增长差异的方法的不足，进而启发学生利用导数精确定量地比较这三类函数增长速度的差异，进一步体会直线上升、指数爆炸、

285、对数增长这些变化的含义，确认指数函数 y=ax c 1)增长得最快，幕函数 y=x c 1)增长的速度 次之，对数函数 y=loga x（1)增长得最 慢事实上，由（汀 ax lna,ex）二 x-I,Cloga x)丁L一可以发现，对于任意的 G，（I.x1n a 1)，总会存在 一个町，当工xo 时，恒有 ax lnz1！一，由此可得这三类函数增长一xln a 的快慢情况通过上述过程，学生可以进一步体会导数的力量一一导数精确定量地刻画函数的变化规律10.关于例4的说明例4是前述“探究”结论在比较不同类型的函数增长速度的差异 中的 一个应用 教学时不仅要利用导数对函数增长的快慢情况进行判断与

286、刻画，还要结合函数的图象与导数的几何意义加深对函数增长快慢的理解 同 时，还可以结合函数的图象引导学生得出以下结论：Cl）当xO 时，1！ln x;工(2）在lx-11很小时，lnz句1-_!_.工结论 Cl）是今后证明不等式问题时常 常用到的不等式P结论（2）可以帮助解决一些近似计算问题，如ln 1.012 3句1一一一一 句0.012 2.1.012 3 5.3.2 函数的极值与最大（小）值教科书在必修第一册介绍了函数的最大（小）值，但没有介绍求函数的最大（小）值的 一般方法本小节先给出了函数极值的定义（限于可导函数），并介绍用导数求函数极值的 一般方法在此基础上，进一步介绍了利用函数极值

287、求函数最大（小）值的方法教科书还介绍了与函数有关的不等式的 证明，这类不等式通常可以转化为用导数求函数的最大（小）值的问题解决具体问题时，要特别注意相关函数的定义域，以及函数取得最大（小）值 时自变量的取值 实际问题中的优化问题，一般可以转化为用导数求函数在某一个范围内的最大（小）值问题，教科书以例题的方式作了介绍 在解决这类问题时，除了要获得相关函数模型外（特别注意求出函数的定义域），还要注意将求得的函数的最大（小）值的实际意义解释清楚1.函数极值的定义函数的极值是学生在本小节第 一次接触到的新概念教科书通过具体案例，结合函数图象，直观地给出了极值的概念，并通过具体函数在极值点及两侧导数值的

288、变化情况，通过探究 归纳出用导数求函数极值的一般方法对于学生已经学习过的函数的最大（小）值问题，则侧重于借助实例让学生体会如何利用导数来求函数的最大（小）值；第五章一元函数的导数及宾应用I 113 教科书以高台跳水实例引人函数极值的讨论在观察教科书的图5.3-9 时，要让学生结合实际经验探索函数的极值与导数值的正负号变化之间的关系容易发现，当 t二a 时，运动员距水面的高度h最大为了让学生从图象上直观地看到 t=a 附近函数导数值的正负号变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在 t 附近的图象（图5-4）.作出函数图象在t的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从 t 的左侧移动至右侧时，切线

289、斜率h(t）由正数变到O,再由0变到负数2 I 16y 2.I 结合上述过程，学生可以直观看到：(1)h1(a)=O;21 16y 2 I 图5-4(2）在 t=a 附近，当 tO；当 t时，函数以t）单调递减，h(t)O CO），在右侧 J(x)O).教科书在此基础上归纳概括了求函数 y=f(x）的极值的般步骤教学时应让学生将上述步骤与判断函数单调性的一般步骤进行比较，由此找出异同点4.函数的最大(lj，）值极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域上的性质但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在定义域内或指定的区间上，哪个值最大，哪个值最小本小节在函数

290、的极大（小）值基础上进一步研究函数的最大（小）值问题在函数的最大（小）值的教学中，要体现从特殊到一般的过程，结合函数图象直观地得出一般结论：如果函数 y=f(x）在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值结合函数极值中的例子以及函数的图象不难看出，只要把函数y 二f(x）的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（小）值5.关于例6的说明例 6 在例 5 求函数极值的基础上进一步求函数的最大（小）值，教学时要结合例 5 来进行例5己求出函数 f(x）3_4工十4的极大值f（2）宁和极小值CZ)=-1，但在例6给定的区间O;3上没有极大值，求出函数 f(x

291、）3 一位4在给定区间端点处的函数值第五章一元函数的导数及莫应用I 115 f(O)=4,/(3)=1，再把区间端点处的函数值与区间上的极小值进行比较就得到函数的最小值为1，而最大值只需比较两个区间端点处的函数值即可得到，最大值为4例6的一个重要教学目的，就是归纳总结如下的求函数 y=f(x）在区间，b上的最大（小）值的步骤：(1）求出导函数 f(x）及其零点；(2）用导函数 f(x）的零点划分区间，吨，列表得出在各个区间上 f(x）的正负和f(x）的增减变化情况；(3）根据所列表格，比较函数的极值与函数区间端点处函数值的大小，得出函数的最大（小）值学生熟悉用上述一般步骤求函数的最大（小）值之

292、后，对一些简单的求函数最大（小）值问题，有些步骤可以省略6.利用函数的最大（小）值证明不等式通过本节例4，借助图象可以直观得到不等式1！ln z，工O.x 教科书第94页介绍了构造函数 s(x)=_!_-l+ln x(xO），通过求函数 s(x）的最小值来工证明上述不等式的方法 教学时，可以让学生自己尝试构造函数，体会用求函数最大值来证明这个不等式的方法，并由此对用求函数最大（小）值证明不等式的步骤进行适当梳理7.关于例 7 的说明例7是用导数研究函数的单调性、极值等性质以及画函数大致图象的问题教学时，应特别重视画出函数大致图象的过程，并由画图过程提炼出函数作图的基本步骤，厘清这些步骤与求函数

293、单调区间、求函数极值等问题的步骤之间的联系 在得到函数图象后，还可以启发学生由图象进一步研究函数的最大（小）值、函数的值域等性质函数 f(x在通过观察函数 f(x)=(x十 l)ex 的图象得出方程 f(x）（R）的解的个数后，还可以让学生根据函数零点存在定理，进一步研究方程 f(x）（R）的解所在的区间在此基础上，可以引导学生总结用导数研究函数性质的步骤：(1）求出函数JC川的定义域，确定函数图象的大致范围；(2）用导数 f(x）研究函数 f(x）的单调性、极值；(3）利用函数 f(x）的单调性、极值等性质画出 f(x）的大致图象；(4）利用函数 f(x）的图象进一步研究函数的最大（小）值、

294、值域、零点等性质8.关于例 8 的说明教科书安排例8，意在通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用当把每瓶饮料的利润表示为116 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册y=O.加（？一斗。6后，教学中应重点介绍利用导数探求函数最大值的方法本例中y的最大值也可以用其他方法求解例如，令 yO，解得 Or3.此时22（6 3 16 y 一二一 r r(6-2r）二三 一（l 一一15 15飞3 J 15.16当 r=6-2r，即 r=2 时，Ymin=-15令y二三0，可得 3r6.此时y 些r2(r-3）些 62（6-3)；144 15 15 5 144所以，当 r=6 时，Ymax教学时

295、，教师可以通过解决问题的不同方法，说明用导数求函数的最大（小）值是 一般方法，具有明确的步骤性和可操作性通过此问题的解决，本例一开始时的问题可以解释为：(1）市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些(2）由例8 的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大l 第五章一元函数的导数及宾应用 I 117 5.1 导数的概念及翼意义练习（第61页）1.一 0.1 m/s.2.(1)2.7 m/s;(2)18 m/s.3.-9.8 m/s.练习（第64页）1.可以类比抛物线 f(x)=x2 在点Po Cl

296、,1)处的切线，定义抛物线 f(x)=x2 在点(x0,x）处的切线；抛物线 f(x)=xz 在点（一 1,1)处切线的斜率 k=-2.2.y=l.练习（第66页），1.在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为 一 1h和 3h.这说明在第3h附近，原油温度大约以1h的速率下降；在第5h附近，原油温度大约以3h的速率 上升2.1.3.10.8 m/s.4.(1)2.1;(2)2.练习（第69页）1.函数以t）在 t=t3 附近单调递增，在 t=t4 附近单调递增并且函数h(t）在 t=t4 附近比在 t=t3 附近增加得慢2.A.3.4x十y 一 3=0.3厄V4.函数r(V）运 cov

297、O,8.J(x）叶2.解不等式出3 得 工l.所以 J(x)O 的解集为x Jxl.山l x+2一一o,l x 9.(1）氧气的散发速度是 500ln 0.8340.834 g天(2)A(7）一25.5，它表示氧气在第 7 天左右时，以 25.5 g天的速率减少10.(1)l(t)=4t+f，它表示滑雪运动员在时间 t 时的滑雪速度为（4t+f)m/s.(2)13.5 m/s.(6)y；cos x(3)v=2;J(2x+l)ln 2 解方程 2向ft=38，得 t=4 或 4(t=-4不合题意，舍去）故此时的滑雪速度19 I 19 为 17.5 m/s.11.y=2e2町，所以过点（0,1)处

298、的切线斜率为 y(0)=2这条切线与直线 2x-y+l=O 垂直，则有 2a 2=-1，所以 a 一12.(1）如下页图所示sin(x十h)-sin x(2）当 h 越来越小时，y=h 就越来越逼近函数 y=cos.r.(3)y=sin x 的导数为y=cos z，一样 户 3cos(f3x);,2 4(2)v一 一 一一一.;.,x(x个l)120 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册(6)y=22.r+2 1n 2.(3)v=2xln 2+_!_ J xln 2 第五章一元函数的导数及真应用I 121 y l【.r、川.,0.8、二、E、0.6、E、0.4、L .r、I 0.2

299、.h=l h=0.5一一 h=O.l-h=0.05 一一y=cosx.0-0.2-0.4、！，1协 23-0.6-0.8（第12题）6x 13.d(t)=-4sin t，所以，上午6:00时潮水的速度为一 0.42 m/h；上午9:00时潮水的速度为一 0.63 m/h；中午 12:00 时 潮 水 的 速度 为一 0.83 m/h；下午 6:00 时 潮 水 的 速度为一 1.24 m/h.5.3 导数在研究函数中的应用练习（第87 页）1.(1）函数 f(x)=x2-2x+4在（一，1)上单调递减，在(1，十）上单调递增(2）函数 f(x)=ex-x在（一，0）上单调递减，在（0,）上单调

300、递增 2.因为f(x)=ax2+bx十c（手的，所以J(x)=2ax十b.b(1）当aO 时，令 f(x)O，解得工 一 豆豆所以函数 f(x)=ax2+bx 十 C 在区间（一言，）上单调递增；令 f(x)O，解得x-z;-，所以函数 f(x)=ax2十bx+c 在区间（一，一去）上单调递增；令 j(x)O，解得x 一 去，所以函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间（一 言，）上单调递减3.函数 y=f（x）图象的大致形状如图（图象形状不唯一）干云（第3题）122 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册练习（第89 页）1.(1）函数 f(x)=3x-x3 在区间（一，-1)和(

301、1,）上单调递减，在区间(1,1)上单调递增 函数 f(x)=x 3-x2-x 在区间（一，一）和(1,）上单调递增，在区间(-t,1）上单调递减2.因为f(x)=2x3-6x2+7，所以 J(x)=6x2-12x.当z（0,2）时，f(x)=6x2-12xO，因此函数 f(x)=2x 3-6x2+7在区间（0,2)上单调递减3.函数 y=f(x）图象的大致形状如图所示y,（第3题）练习（第92 页）1.町，句是函数 y=f(x）的极值点，其中x=x2 是函数y 二f(x）的极大值点，x句是函数y=f(x）的极小值点2.(1）当x=l_时，f(x）有极小值，并且极小值为1（土）6（l.)2一土

302、2=12飞12飞12/12 24(2）当工 3时，f(x）有极大值，并且极大值为54；当x=3时，f(x）有极小值，并且极小值为一 54.(3）当x=-2时，f(x）有极小值，并且极小值为一 10；当Z 二 2时，f(x）有极大值，并且极大值为22.(4）当x=-1时，f(x）有极小值，并且极小值为一 2；当x=l时，f(x）有极大值，并且极大值为2.练习（第94 页）1.在O,2上，当x 古时，f(x）时 x 一 2有极小值，并且极小值为！（古）49-24 又由于f(O）一 2,f(2）二 20，所以函数 f(x)=6x2-x 2在0,2上的最大值是20，最小值是 一些24(2）在-4,4上

303、，当x=-3时，f(x)=x3 27x 有极大值，并且极大值为f(-3)=54;当x=3 时，f(x）二 x3 一 27x 有极小值，并且极小值为f(3)54；又由于f(-4)=44,f(4）一位，所以函数f(x)=x3-27x在-4,4上的最大值是 54，最小值是 一 54.；第五章一元函数的导数及莫应用I 123 在一，卡，当工 2 时，f（户肿12x-x 3 有极大值，并且极大值为 f叶22.t 1 55 I I I 又由于！（一言）窍 f(3)=15，所以函数 f(x)=6十山 x3 在L一言，3J上的最大值是 22,最小值是去(4）在2,3上，函数 f(x)=3x-x3 无极值因为

304、f(2)=-2,f(3)=-18，所以函数f(x)=3x-x3 在2,3上的最大值是 一2，最小值是 一18.1 1-x I 2.设 f(x)=ln x-x十1,x（0,），则 j(x)一一 l 一一一令 f(x)=O，解工工得 x=l.当 OxO，从而 f(x）在（0,1)上单调递增；当工l 时，j(x)=工士 一问，从而 f（工）在（1,）上单调递减所以，当户 l 时，fC.r）在区间 co，十）上取得最大值所以 f(x）JO）平 In 1-1+1=0，所以 x-1注In x,x（0,+=).练习（第 97 页）1.设 f(x)=x-sin x,x（,r，）因为 j(x)=1-cos x注

305、0，当且仅当 x=O 时，f(x)=f(0)=0.所以函数 f(x)=x-sin x 在（n，）内单调递增所以，当 z（0，）时，f(x)=x-sin x f(O)=0，即 sin xx,xco，对图略zz 2?2.设圆的直 径为 z m，则圆的半径为言m，半圆的面积为8 m2，矩 形 的面积为（一千）m2，矩形的两条相邻边的长分别为z m，但 旦）m.因此铁丝的长为飞 x8 I l(x）号十x争 一子（1+f)x争，OxJ军令 l(x)=l+J一主O，得 z 岳（负值舍去）xE(o，在）时，l(x)O.因此，z 二在是中）的极小值点，也是最小值点所以，当圆的直径为异工 m 时，所用材料最省匀

306、4习题 5.31.(1）因为 f(x)=-2x十1，所以 J(x)=-20.因此，函数 f(x)=2x-4 在R上单调递增(4）因为 f(x)=2x3+4x，所以 J(x)=6x2十40.因此，函数 f(x)=2x3 钉在 R 上单调递增2.(1）因为 f(x)=x2+2x-4，所以 j(x)=2x十2.令 J(x)O，解得 x-1.所以函数 f(x)=x2+2x-4 在（1,）上单调递增令 J(x)O，解得 xf.所以函数 f(x)=2x2-3x+3 在（f）上单调递增令 f(x)O，解得 x0.因此，函数 f(x)=3x川在 R 上单调递增(4）因为 f(x)=x3十x2-x，所以 J(x

307、)=3x2+2x 一1.令归川，解得工 1 或工，所以函数 f(x)=x3 忖 z _x 在（一，一1）或(f.）上单调递增令 f(x)O，解得 一lx，所以函数 f(x)=x3+x2-x 在（1，）上单调递减3.(1）图略(2）汽车的加速度等于 0.4.(1）在工 x2 处，导函数 y=J(x）有极大值；(2）在 x=x1 和 x=x4 处，导函数 y=j(x）有极小值；(3）在工 x3 处，函数 y=f(x）有极大值；(4）在工 xs处，函数 y=f(x）有极小值I 1 I 1 2 1 47 5.(1）当 x 一一时，f（。有极小值，并且极小值为J（一一）6（一一）一一2一12飞12飞12

308、/12 24(2）当 x 一2 时，f(x）有极大值，并且极大值为 16；当 x=2 时，f(x）有极小值，并且极小值为一 16.(3）当 x=-2 时，f(x）有极大值，并且极大值为22；当 x=2 时，f(x）有极小值，并且极小值为10.(4）当工 4 时，f(x）有极小值，并且极小值为一 128；当 x=4 时，f(x）有极大值，并且极大值为 128.6.(1）在-1,l上，当户 一 古时，函数 J(x)=6介叶2有极小值，并且极小值为4724第五章一元函数的导数及宾应用I 125 由于f(-1)=7,f0)=9，所以函数J(x)=6x 2+x+2在-1,1上的最大值和最小值分别为9，立

309、24(2）在-3,3上，当x 一2时，函数 f(x)=x 3-l2x 有极大值，并且极大值为16;当x=2时，函数f(x)=x 3l2x 有极小值，并且极小值为一16.由于f(-3)=9,f(3)=-9，所以函数f(x)=x3-12x在-3,3上的最大值和最小值分别为16，一16.在t,1-t，函数f(x)=6 一 时工3在t,1上无极值(1 269 11 由于！（一 一）一一，J(l)=-5，所以函数f(x)=6-12x矿在一一，11上的最大值和飞3 I 27 L 3269 最小值分别为一一，5.27(4）当x=4时，f(x）有极大值，并且极大值为128.由于f(-3)=-117,f(5)=

310、115，所以函数f(x)=48xt在3,5上的最大值和最小值分别为128,-117.7.设两段铁丝的长度 分别为Z,l-x，则 这 两个正方形的边长分别为三，l二王，两个正方4 4(X2(l-x2 1 2 形的面积和为S=f(x)=lt）叫一）=16(2x一2lx十J勺，OxL.令J(x)=O，即位 一 2l=0,x 当工（o，）时，f(x)2x,OO 当z（旦旦时，v（x)O.因此，x 旦飞 6 J飞62 J 是函数V(x)的极大值，点，也是最大值，点所以，当户号时，无盖方盒的容积最大1兰、2飞9.由于f(x）土豆：（x-.!a;)2，所以 f(x)=-(x-a；）.令f（x)=O，得 工

311、l_ Sa,.n7:j n 可以得到，x=l_);a，是函数 f(x）的极小值点，也是最小值点n i=i 126 I普通高中教科书教师教学周书数学选择性必修第二册这个结果说明，用 个数据的平均值 l_艺 a，表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二n=l 乘法的基本原理10.利润L等于收入R减去成本C，而收人R等于产量乘单价 由此可得出利润L与产量 q的函数关系式，再用导数求最大利润收人R=q.q(25-l_q)=25q _ l_q 2，利润L=R-C=(25q-l_q 2）一 ooo+4q)=飞8I 8飞8I-tq2+2lq 肌 OqO；当q（84,200）时，LO；当工（4a+5b5b 4

312、a十5b一）时，L(x)O，函数f(x)=ex-l-x在区间（0,）上单调递增；当xO时，j(x)J(O)=O，即ex1工，工手0.图略(2）设f(x)=lnx-x,xO，则 J(x)=l_-1.令 J(x)=O，解得 x=l.x 当OxO,f(x）在区间（0,1）上单调递增；当xl时，J(x)=工？一l O时，f(x)=lnx-xc:三JO)=-lO时，exx十lx.综上，ln xO和aO时，设方程f(x)=3a x 2+2b x 十c=O 的两根分别为X 1,Xz，且x1O，解得 x x 1 或工町，所以函数f(x）x 3+b x 2+c x+d在区间（一oo,X1）和 Cx2,）上单调递

313、增；令j(x)=3a x 2+2b x+c O，解得 x 1 xO，且b 2-3ac0时，J(x)=3a x 2+2b x十c二三O,函数f(x)=a x 3+b x 2+ex+d单调递增当 O，且b 2-3acO时，设方程f(x)=3a x2+2b x+c=0 的两根分别为町，巧，且x 1O，解得 x 1 x x 2，所以函数f(x）x 3+b x 2+c x 十d在区间 Cx1，工z）上单调递增；令J(x)=3a x 2+2b x 十cO，解得x x1或工句，所以函数f(x)=a x 3+bx2+c x+d在区间（一oo,X 1）和（句，）上单调递减当O，且b 2-3af0时，j(x)=3

314、ax2+2b x+c0，函数 f(x)=a x 3+b x 2+ex+d单调递减复习参考题51.(1)3;(2)y=-4.I +22.(1)y=2 cos x(3)y3(x 一2)2(3x+1)(Sx-3);(2)y=2xln xln 2三；,2x-2x 2(4）一一一气.,(2x十1)啥，(5)y=-e-2x+i 2cos(x2-x)+(2x-l)sin(x2-x);,2cos 2x sin 2x(6)Y一一一一.,rx、2x 王3.B.4.(1)2x-y-2=0;2GM悦5.F 一一：；一，(2)8x 十y-8=0.6.(1)j(t)O，所以f(x）在区间（0,）上单调递增；令j(x)=3

315、.Jx O，解得 xO.由于（一，；）c(i c)(c,+=)xc3 f（x)十。十f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当 x 专时，函数f(x)=x(x-c)2 有极大值此时专2，所以c=6.10.设当点A的坐标为（a,0）时，6AOB 的面积最小由题意可知 al.因为直线 AB 过点 A(a,0),PO,1），所以直线 AB 的方程为主二o 王二旦，即 y 王二旦1-0 1-a.)l-aa _ r a 飞当工O时，y 击，即点B的坐标是0，日）因此，6A佣的面积s,0.A S(a)=1 a a 2-n-=2-a-l 2(a-1)1 d 一句，令S（a)=O，即 S(a）一一

316、0，解得a=Oa=2(a=O不合题意，舍去）一 2（1)2 由于a(0,2)2(2，十）s（a)。S(a)单调递减极小值单调递增所以，当2，即直线 AB 的倾斜角为 135。时，6AOB 的面积最小，最小面积为2.11.D.12.(1)b(t）二1042 103 t.所以细菌数量在 t=S 与 t=10 时的瞬时变化率分别为 0和104.(2）当OtO，所以细菌数量在增加；当 StS+S./5时，b(t)O，所以细菌数量在减少第五章一元函数的导数及宾应用I 12913.0 或14.设 底面一边的长为z m，另一边的长为（x+o.5)m.因为钢条长为14.8 m，所以 长方14.8-4x-4Cx

317、+O.5)12.8-8x 体容器的高为A 一4一一3.2 一2设容器的容积为V，则V=V(x)=x(x+O.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,OxO；当z(1,1.6）时，V(x)O.当m=2时，函数J(x)=ex 一_L一在区间（2,x+z）上单调递增又f（l)O，故 f(x)=O 在区间（2，十）上有唯一实根句，且工。（1,0).当z（2,Xo）时，f（x)O，从而当x=x0 时，由f（x0)=0，得 ex0=_.!_,ln(x0+2)一句，故 f（工）二三f(xo)=_l一 xo=工。十2x0+z Cxo+1)2 一一一一一o.x0+z 综上，当m2时，f(x)O.1

318、9.Cl)f(x）的定义域为（=,+=),J(x)=Zeix+ca Z)eX l=(aex-1)(2ex+D.Ci）若0，则 J(x)O，则 令f(x)=O，解得 x 一In a.当z（一，z（一In a,）时，J(x)O.所以 f(x）在（一，一ln a）时，f(x)O，即 f（一 Ina)O，故 f（工）没有零点；a当a（0,1)时，1-l_+ln aO，即 f（一lna)-ze-2+ZO，由(1）知，f(x）在（一，一lna）上有一个零点因为f(In（立一1)e21n（；：1)+c 一2)eln(飞飞a 飞 I a Ol时，o，由习题 5.3第阳）题的结论，得J(In(l_-1)Jo.a

319、 I I 由于时1)一lna，且f(-ln）O，所以 f(x）在（ln b十）上有一个零点）上有两个零点综上，的取值范围为（0,1).所以 f(x）在 一，第五章一元函数的导数及真应用I 131W教学设计案例5.1 导数的概念及真意义(4课时，单元教学设计）一、单元内容及真解析1.内窑变化率的典型实例，导数的概念，导数的几何意义.2.内窑解析 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法，也是解决增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具在大多数大学数学教科书所呈现的微积分知识体系中，都

320、是先介绍极限概念，再介绍导数概念但现在的高中数学教科书在给出导数概念之前并没有介绍极限概念及其运算，所以就不能用极限建立导数概念导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限教科书选取高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率这两个典型的变化率问题通过这些特殊案例，使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度、由割线斜率过渡到切线斜率的过程，以直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数的学习对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着重要的作用从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬

321、时变化率出发，再抽象出导数概念，蕴含了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数的图象在相应点处切线的斜率 这对于帮助学生理解导数的意义，提升学生的数形结合能力，发展直观想象素养，有着重要的作用基于以上分析，确定本单元的教学重点：导数的概念及其几何意义、极限思想本单元教学雷4课时，具体分配如下：第1课时，高台跳水运动员的速度；第2课时，抛物线的切线的斜率；第3课时，导数的概念；第4课时，导数的几何意义、导数的概念及其几何意义的综合应用二、单元目标及真解析1.目标(1）通过实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解导数的概念(2）通过函数图象直观理解

322、导数的几何意义(3）通过经历导数概念的抽象概括过程，体会极限思想2.目标解析达成上述目标的标志是：132 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册(1）结合“高台跳水运动员的速度”问题，学生能借助计算工具计算运动员的平均速度，并通过观察平均速度在自变量问隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度；结合“抛物线的切线的斜率”问题，观察从割线过渡到切线的过程中，割线斜率在两交点的横坐标间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出切线的斜率从而 f解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想(2）通过研究从曲线的剖线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导

323、数的几何意义能通过求函数在某点处的导数得出函数的图象在对应点处的切线斜率，进而求出切线的方程(3）结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”问题，能从平均速度的数值变化和图象过某点处的割线斜率的变化趋势直观感知瞬时速度是平均速度的极限、切线斜率是割线斜率的极限能结合导数的概念和几何意义知道函数在某指定点处的导数是一个确定的数，是一个特殊的极限对于简单的函数，能通过计算平均变化率的极限得出导数三、单元数学问题诊断分析由于学生在学习导数之前没有学习极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思

324、想，这是第一个教学难点要突破这个难点，需要在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”这两个案例中，让学生充分经历由“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”的过程，通过观察平均速度的数值变化和图象过某点处的割线的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线的极限位置就是切线，割线斜率的极限就是切线斜率在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义是建立导数概念的关键学生到高中阶段已经有了一定的归纳能力，但在归纳的基础上抽象出数学概念的能力仍有所欠缺，因此，如何从瞬时速度、切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学难点要解决这个问题，需要先从学习过的具体案例中提炼出平均变化率的概

325、念，并用符号形式化地表示出来 在此基础上，观察随着自变量的改变量趋于0，平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念导数概念的建立过程涉及大量的概念与符号 如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学难点教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号四、单元教学支持条件分析学生之前没有学过极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这些都增加了学生抽象概括出导数概念的难度因此，教学中要借助信息技术工具，使学生通过列表观察平均变化率的变化趋势，通过图象直观观察割线变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对

326、导数就是极限的认知难度五、课时数学设计说明：此处提供第1课时和第3课时的课时教学设计，第2课时“抛物线的切线的斜率”和第4课时“导数的几何意义、导数的概念及其几何意义的综合应用”的课时教学设计略第五章一元函数的导数及真应用I 133 第1课时高台跳水运动员的速度（）教学内窑平均速度的极限，瞬时速度（二）教学目标1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法（三）教学重点与难点重点：瞬时速度和极限，思想难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想（四）数学过程设计引导语：在必修第一册

327、中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了 一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多进一步地，能否精确定量地刻画函数变化速度的快慢程度呢？下面我们就来研究这个问题问题1：在一次高舍跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t十11.如何描述运动员从起跳到人水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：(1）给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状况(2）复习平均速度概念，让学生利用计算工具计算以下时

328、间段的平均速度，并描述运动员的运动状况：。三三t0.2;0.2运t0.4;0.4t二0.6.(3）进一步地，让学生利用计算工具计算以下时间段的平均速度，并描述运动员的运动状况：48 o三t二0.5;1t运2;0t一一，4948 追问：你认为用运动员在0：三t运49这段时间内的平均速度，近似描述运动员在这段时间内的运动状态有什么问题？师生活动：教师引导学生得出，在这段时间内，运动员的平均速度为0，但运动员几乎 一直处于运动状态从而引起学生的认知冲突，进而引人瞬时速度概念设计意图：让学生掌握求平均速度的方法，通过求平均速度，并用平均速度近似描述运动员的运动状态，使学生发现平均速度不能准确刻画运动员

329、的运动状态，进而引出瞬时速度问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在 t=l s时的瞬时速度吗？师生活动：教师首先引导学生认识瞬时速度与平均速度之间的关系：设运动员在 ta 时刻附近某一时间段内的平均速度是否，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么否将越来越134 I普通高中教科书教师教学周书数学选择性必修第二册趋近于运动员在 to 时刻的瞬时速度然后让学生尝试利用这种关系求运动员在 t=l s时的瞬时速度：对于给定的时间间隔缸，先计算运动员在1,1+6t（或1缸，1）之间的平均速度，观察当6t 取正值且不断趋近于0时，平均速度有什么变化趋势；当6t 取负值且不断

330、趋近于0时，能否得出同样结论Cl）教师利用信息技术工具演示平均速度逼近瞬时速度（6tO）的计算过程，得出表 1.表1iA6t l 一一哥le lo F主IFii Z吨明（1nO句噜0.0100棚00000,S.04，部棚！之0.001000000000S.0041”“捕。、0.0001000创)000s.00049000000 0.000010000000 S.,5 0.000001000000s.ooooosooooo!6 0.000000100000 s.00 电0.000000010000S.0000000。】0.000000001000s.0.000000000100 s.00 10

331、0.0000自由0000101s.CJ,表2响：卡俨a一一n_!fl 一一 n伽n.n,2.，队（16t)-h(唱）1们才叫0.01000创000004.951000000001 2 0.0010000饵”4.9950000000 3 0.000101民lOOOOO4.999510创lOOO 0.000010000000 4.99995100000,0.000001000000 4.9999950创沁。;0.00000例00000s.00000000创附呵？吨。.00000001000。s.S 0.00000000100。-S.0000000创脚9 0.000000000100 s.oo创)0

332、00创始。忖0.000000000010s.。卢，；(2）学生利用信息技术工具演示平均速度逼近瞬时速度（6t0003359230 0.0创00009922s.00 m 队。00000016538s.刁,:1 进而给出结论：当今t无限趋近于0，即无论t从小于 1的一边，还是从大于 1的一边无限趋近于1时，平均速度石都无限趋近于一5.追问2：你认为通过上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？师生活动：教师提出问题后让学生讨论，选若干学生发言教师点评学生的发言，启发学生认识到，通过前面计算的平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断变小，平均速度越；第五章一元函数的导数及具应用I 135 来越接近于常

333、数5”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征 所以需要从 理性的角度加以“说明”教师引导学生说明上述发现的结论：随着时间间隔的不 断变小，平均速度越来越接近于常数-5.具体如下：因为 h(t)=-4.9t 2+4.8t+ll，所以运动员在口，l+t.t （或l缸，l）这段时间里的平均速度为所以h(l 十t.t)-h(l）一4.9(1+t.t)2 十4.80+t.t)+ll-(-4.9+4.8 十11)tot tot=-4.96t-5,Ii hCl十t.t)-h(l)To tot To(-4.9 t.t-5)=-5.设计意图：让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬

334、时速度就是平均速度的极限，并由此体会极限思想追问 3：你能用上述研究的方法，计算t=O.5 s时刻的瞬时速度，并说明你 的结论吗？师生活动：学生练习 并上传自己的操作过程，教师点评，引导学生进 一步体会极限思想问题3：我们已经扩算出t=l s,t=O.5 s时的瞬时速度，那么 对于某一时刻句，你能否计算出对应的瞬时速度？如果能，请计算出结果；如果不能，请 说明理由师生活动：学生思考计算，上传自己的解答教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其 中的问题，强调瞬时速度的极限表示 教师给出规范解答：在to,to+t.t（或to缸，to）这段时间里的 平均速度_ h(to+t.t)-h(t0)v

335、 缸4.9t.t-9.8t 0+4.8.令 tot0，则v=-4.9t.t-9.8to十4.8 9.8t0 十4.8.可见瞬时速度是一个只与 to 有关的值，不妨记为 v(t 0），即v(to)Tov=!To(-4.9t.t-9.8to+4.8)=-9.8to+4.8.所以运动员在某一时刻to 的瞬时速度为 v(to)=-9.8t 0+4.8.设计意图：将求某 一具体时刻瞬时速度的方法推广到一般情形，一 方面使学生体会从特殊到一般的数学思想方法，从算法角度体会求瞬时速度的过程，提升数学运算素养；另 一 方面为概括瞬时变化率的概念作铺垫 课堂练习：Cl）你能借助信息技术工具，用计算平均速度的极限

336、求瞬时速度的方法求 出问题1中的跳水运动员在 t=2 s时的瞬时速度吗？(2）教科书第61页练习第2题课堂小结：教师引导学生回顾本节课的学习 内容，并回答下列问题：Cl）平均速度与瞬时速度各自 是如何刻画运动状态的？二者有什么关系？(2）你能总结一 下求瞬时速度的 过程与方法，以及最终结果 的形式吗？师生活动：学生先独立总结，然后 在信息技术平台上提交自己的答案 教师抽样点评学生的总结，并进行归纳：136 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册第 一 步，计 算在 to,to 十6t J（或 to+6t,lo）这 段 时 间 里 的 平 均 速 度_ h(t0 十t.t)-h(to)

337、v=6t _h(t0 十t.t)-hCto)第二步，观察当今t 0时，平均速度v=.趋近的确定 的值，即观察极限h(t0 十t.t)-hCt 0)Hv=H旦t.t 的值，即为瞬时速度v.设计意图：总结本节课的学习内容和思想方法，为抽象概括导数的概念奠定基础 课后作业：教科书习题5.1第1,3,8题（五）目标检测设计1.一个 小球从5 m 的高处自由下落，其位移 y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=-4.9t 2.求t=l s时小球的瞬时速度2.圆的面积 s（单位：cm2）与半径R C单位：cm）的关系为S 二rcR_2.求R=5 cm时面积关于半径的瞬时变化率 3己知车轮旋

338、转的 角度。（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系拙。芋2 求车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度设计意图：以上三个问题均考查学生对用平均速度逼近瞬时速度的认识，使学生体会极限思想，为建立导数概念作准备（一）教学内窑导数的概念（二）数学目标第3课时导数的概念1.能从具体案例中抽象概括出导数的概念2.能根据导数的 定义求简单函数的导数，能归纳出 根据导数定义求函数导数的步骤3.进 一步体会 导数的内涵与意义，进一步体会极限思想（三）教学重点与难点重点：导数的概念和极限思想 难点：从求瞬时速度、切线的 斜率这些具体案例中抽象 出导数概念（四）教学过程设计引导语：前面我们研究了两类变化率

339、问题：一 类是物理学中的问题，涉及 平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率 和切线斜率这两类问题来自不同的学科领域，但 在解决问题时，都采用 了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也有 一样的表示形式下面我们用上述思想方法研究更一般的问题问题1：在“高台跳水运动员 的速度”和“抛物线的切线的 斜率”两个问题中，都涉及求 下列形式的极限Iif Cxo十t.I)-fCxo)1口1.c,x.-o L鸟:c 第五章一元函数的导数及真应用I 137 并且发现：对于定义域中自变量的某个取值x=x，都是一个常数如果函数 y=f(x）是一般的函数，是否也是一个常数？如果也

340、是一个常数，这个常数有怎样的意义？师生活动：(1）设f(x)=2x2，让学生思考并回答上述问题(2）设f(x)=ax2 加十c，再让学生思考并回答上述问题(3）设f(x)=lx,xo=O，再让学生思考并回答上述问题设计意图：通过对不同函数的探究发现，尽管对许多函数而言，是一个常数；但并不是对所有函数，都是一个常数 通过上述数学活动，为建立导数的概念作铺垫，并以此进一步渗透极限思想问题2：如果对函数 y=f(x）的自变量的某个取值x岛，下式Ii f(xo十年）-f(xo)1口1z是一个常数，你能说出这个常数的意义吗？师生活动：(1）让学生结合学习过的“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率

341、”两个问题进行思考，教师在此基础上给出函数平均变化率的定义：对于函数 y=f(x），设自变量工从Xo 变化到Xo十缸，相应地，函数值y就从f(xo）变化到Jxo十t:,.x).这时，z的变化量为缸，y的变化量为我们把比值堂，即C:,.y=f(xo+&)f(xo).C:,.y f(xo+&）一f(xo)t:,.x t:,.x叫做函数 y=f(x）从Xo 到工。t:,.x的平均变化率Jxo+&)-f(xo)-(2）教师进一步指出，如果JimA 是一个吊数，那么这个常数就是微积分中6.r-0一的导数在此基础上，让学生尝试概括出导数的定义让学生将自己概括的导数定义上传到信息技术平台上，教师点评后给出导

342、数的定义：C:,.y C:,.y 如果当t:,.x0 时，平均变化率一无限趋近于一个确定的值，即 一有极限，则称y=f(x）在t:,.x t:,.x x=xo 处可导，并把这个确定的值叫做 y=f(x）在x=x0处的导数（derivative），记作JCxo）或y l z气。，即C:,.y.f(xo十)-f Cxo)J(x0)=Jim丁 hml鸟:ct:,r-噜。设计意图：通过从特殊到一般的数学活动，归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养问题3:（教科书第65页例1)设f(x师生活动：学生思考并尝试求解教师板书计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念追问1：对f(x）士，必

343、能求出仰（R且作0）吗？、138 I普通离中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册 师生活动：让学生练习并在信息技术平台上传答案，教师点评追问乞求函数 y=f(x）在x=x0 处的导数的步骤是什么？师生活动：学生思考并回答，教师在学生回答的基础上总结出以下步骤：C:,.y f(xo+&)-JCxo)第一步，写出函数的平均变化率一 并化简；t:,.x 第二步，求极限Jim 绍，若Jim 业存在，则导数 JCxo)=Jim 业 t:,.x t:,.x.lr 呻t:,.x.设计意图：让学生熟悉导数的定义 和求导步骤，体会特殊点处的导数 f(1）与一般点处的导数f（）的异同点与联系，为后续学习导函数作

344、准备问题4:（教科书第65页例2）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热已知在第 zh时，原油的温度（单位：）为 y=f(x)=x2-7x+15(0 x三二8）.计算第2h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义师生活动：(1）教师示范第2h时的原油温度的瞬时变化率(2）学生求解第6 h时的原油温度的瞬时变化率，并在信息技术平台上传解答，教师点评学生的解答(3）学生思考并交流在第2h与第6 h时原油温度的瞬时变化率的意义，教师结合学生的交流结果归纳出：在第2h附近，原油温度大约以3 h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5h的速率上升 一般地，J

345、(x0)(0Xo8）反映了原油温度在时刻Xo 附近的变化情况设计意图：通过求解实际问题中的瞬时变化率，使学生理解导数的内涵和意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处导数的过程与步骤问题5:（教科书第66 页例3）一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t）t2+6t十60，求汽车在第2s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义L.,.,i=t.师生活动：(1）教师解释加速度的意义，使学生明白加速度是速度对时间的导数(2）将学生分为两组，分别计算汽车在第2s与第6 s时的瞬时加速度并上传答案到信息技术平(3）教师点评学生的解答并给出规范解答(4）学生表

346、述v(2）和v1(6）的意义，教师综合学生的意见后指出：在第2s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2 与6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.设计意图：通过求解运动物体的加速度，使学生进一步理解导数的内涵与意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处导数的过程与步骤课堂小结：教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答以下问题：(1）什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？(2）你认为下列命题哪些是正确的？函数在某一点处的导数是一个可以变化的数因为导数是平均变化率的极限，所以函数在其定义域内都有导数导数就是

347、瞬时速度第五章一元函数的导数及真应用I 139师生活动：在与学生交流问题 Cl）的基础上，教师小结本节课内容，并利用信息技术平台发布问题（2），让学生上传答案至信息技术平台 教师根据学生提交的答案进行点评，指出三个命题都是错误的函数在某点处不一定有导数，若在某点处有导数，则导数是一个常数；导数是一种极限，求导数就是求极限，函数在某点处不一定有导数；瞬时速度是导数，但导数不一定是瞬时速度设计意图：总结本节课的学习内容，检测学生的学习效果课后作业：教科书习题 5.1 第 6,8,10 题（五）目标检测设计1.一质点A的运动路程 y（单位：m）与时间 t（单位：s）满足关系式 y=2t2+1，求质点

348、A在 t=2.7 s 时的瞬时速度设计意图：考查学生对根据导数定义求瞬时速度的理解，使学生进一步体会极限思想2.设函数f(x)=x2-l，求：Cl）当自变量工由 1 变到1.1 时，函数的平均变化率；(2）函数在x=l处的导数设计意图：考查学生对平均变化率与导数之间关系的认识，以及根据导数定义求导数的掌握程度，使学生进一步体会极限思想3.设 f(x)=x3，求（）设计意图：考查学生对根据导数定义求导数的掌握程度，使学生进一步体会极限思想，为理解导函数的概念作准备5.3 导数在研究函数中的应用（第1课时）一、内窑和内容解析1.内窑函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，根据导数的正负性判断函数的

349、单调性2.内窑解析单调性是函数的重要性质，它不仅反映了函数变化的趋势，还是研究函数极值与最大（小）值的基础性问题虽然可以通过函数图象的升降观察函数的单调性，但对大多数函数而言，画出其图象不是一件容易的事情至于根据函数单调性的定义去判断函数的单调性，则由于含字母的代数式值的大小比较通常较困难，所以也不是通性通法导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的肩部变化，因而可以利用导数更加精确地研究函数的性质 有了导数，可以把函数单调性的判断问题转化为导数的运算问题，通过函数导数的正负性判断出函数的单调性，这种方法在解决函数的单调性问题时具有“普造性”通过探究函数图象的升降句导数的正负之间的关

350、系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的算法思想用导数研究函数的单调性，对于140 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册培养学生利用函数模型描述客观事物的变化规律、解决优化等实际问题有着非常重要的意义，是提升学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体基于以上分析，确定本节课的教学重点：建立函数的单调性与导数的正负之间的联系二、目标和目标解析1.目标Cl）通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养(2）能

351、根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养2.目标解析达成上述目标的标志是：(1）对于给定的具体函数的图象，能借助导数的几何意义判断出导数的正负与函数的单调性，并将二者关联起来(2）对于给定的函数，能利用导数求出函数的单调递增（递减）区间；能根据导函数的正负信息画出简单函数的大致图象三、教学问题诊断分析由于高中数学课程不安排拉格朗日中值定理的内容，所以说明“若导数符号为正（或负），则函数是单调递增（或递减）函数”是非常困难的事情，这是本节课的教学难点之一解决这个难点，除了充分利用导数的几何意义，还要利用信息技术工具帮助学生观察、发现结论利用导数判断函数的单调性时，经常会

352、遇到导数在某个区间上存在零点，但函数在这个区间上仍然是单调递增（或递减）的问题（如 y=x勺，这也是本节课可能遇到的教学难点问题之二对于这个难点，教师在教学时要用图象帮助学生加以分析与区别四、教学支持条件分析目前高中阶段不专门介绍极限的内容，这使得本章中的许多定理都没有进行严格的证明加之许多结论高度抽象，因此可以使用信息技术工具帮助学生直观认识有关概念与结论在本节课中，可以借助信息技术工具对函数图象的升降与导数的正负之间的关系进行直观认识，还可以利用 CAS（计算机代数系统）功能帮助解决导数的运算问题，以保证教学时不因为计算问题而偏离教学目标五、教学过程设计引导语：在必修第一册中，我们通过图象

353、直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质 本章前两节我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性问题1：我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同角度描述一下函数 f(x)在区间I上是单调递增的吗？师生活动：教师提出问题后，请学生回答问题，并一起归纳出以下一些描述：如果在区间 I 上，自变量增大函数值也增大，那么 f(x）在区间1上是单调递增的；如果函数 f（功的图象在区间 I 上是从左到右上升的，那么 f(x）在区间

354、I 上是单调递增的；第五章一元函数的导数及冥应用 I 141 Vx1，工2I，且x1岛，都有JCx.1)o，那么 f(x）在区间I上是单调递增的x1-x2 追问：如果函数 f(x）的图象在区间I上是从左到右上升的，且 工。I，那么我们说函数f(x）在 x=x0 处是单调递增的，这种说法对吗？师生活动：教师提问学生，在学生回答的基础上，指出函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围内的性质设计意图：复习函数的单调性，并让学生认识到，函数的单调性是一个区间上的整体性质，而不是在 一个点处的性质，为后面通过区间上任意一点的导数来研究函数在该区间上的单调性作铺垫问题2：如果函数 f(x）的图

355、象在区间I上是从左到右上升的，并且处处有切线，那么这些切线有什么共同特征？师生活动：教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上指出：如果函数f(x）的图象在区间I上是从左到右上升的，并且处处有切线，那么所有切线也是从左到有上升的设计意图：为借助导数的几何意义，将函数的单调性与导数的正负联系起来作铺垫问题3：图 1(1）是某高台回DJc运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间t变化的函数以t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图1(2）是跳水运动员的速度u随时间t变化的函数 以t)=hCt)=24-9.8t十4.8的图象这里，一，b是函数以t）的零点49 判断函数的单调性呢？

356、追问1：对于高台跳水问题，是否有下列结论？当 t（0，）时，h(t)O，函数以t）在（0,a）上单调递增；当 t（a，的时，h(t)O;在区间（，b）上，h(t）是单调递减 的，相应地，以t)=h(t)O，那么函数 y=f(x）在区间（a，的上单调递增；在某个区间（，的上，如果 f(x)O，得函数的单调递增区间解不等式J(x)O，得函数的单调递减区间追问：利用导数求下列函数的单调区间：f(x)=x2-2x+4；f(x)=ex-x;f(x)=ax2 个bx十c(a 手0).、师生活动：让学生用导数求 上述函数的单调区间，并在信息技术平台上传答案，教师点评学生上传的答案设计意图：此问题是教科书第8

357、6页例1，教师通过例题解答向学生示范如何用导数判断函数的单调性，再让学生通过 练习熟悉用导数判断函数单调性的步骤，体会算法思想，发展数学运算素养问题6：你能根据函数f(x）的导函数J(x）的下列信息，画出函数f(x）的大致图象吗？当lxO;当xl，或工4时，f(x)O;当x=l，或x=4时，JCx)=O.师生活动：教师启发学生根据导函数的正负思考函数f(x）在相应区间上的单调性，进而画出JC川的大致图象，最后教师进行画图不范追问：函数 y=f(x）的图象如图4所示，试画出函数 y=f（x)图象的大致形状师生活动：学生画好 y=f“）的图象后在信息技术平台上传答案，教师点评时，特别强调 y=f（

358、川的图象与 y=f(x）图象的联系 设计意图：此问题是教科书第86页例2，通过教师的示范讲解与学生练习，使学生体会数形结合思想，发展直观想象素养y。b c 图4x 1 问题7：设f(x)=O.9x-sin x,z（言 zJ 你能分别用函数单调性的定义和导数的正负判断f(x）的单调性吗？师生活动：可以首先让学生尝试用单调性的定义进行判断，一般情况下学生会遇到困难如果有学生给出比较有效的推证方法，教师可以展示出来在学生的推证过程中，教师可以提示他们试试利用平均变化率求解，再结合遇到的问题，转而利用导数求解(1）利用单调性的定义对于Vx1，工2（，主i，且xi O，于是判断f(x）在（言言）上为增函

359、数这一方法看似自然，心里却唯底”(3）利用导数求解因为f(x)=O.9 一cos L又z（主主），所以飞3 2 I f(x)O.9-cos 1=0.40.所以f(x）是（？，？）上的增函数设计意图：通过比较用不同方法判断函数的单调性，使学生认识到利用导数判断函数单调性的优势问题也已知函数 y=f(x）在区间I上可导，对于以下四个条件，你认为哪些可以用来判断f(x）在区间I上单调递增？JCx1)-f(xz)Vx1，工2I，且X1手工2 二三O;工 1-xzj(x）注O;f(x1)-f Cx2)Vx1，工2I，且X1手巧，O;f(x)O.二l:1-x2师生活动：教师发布上述问题后，让学生在信息技术

360、平台上作答，教师根据学生反馈的答案进行点评，特别强调是f(x）在区间I上单调递增的充要条件，而是充分但不必要条件追问：平均变化率的方法等价于定义的方法，但由f(x)O得f(x）为增函数是否可靠？我们能否作更深入的探讨？师生活动：如图5，对于区间（a，的 上的函数 y=f(x),Vx1，工2（，的，经过点ACx1,JCx1)-JCx2)f（工1),B(xz,f(xz）的直线 AB 的斜率就是平均变化率丁一DX X1一xz设函数f(x）在区间（，b；上的导数f(x）为正直观上，能找到一点TC 岛，f(xo），使,._ D.y 函数f（工）的图象在点T处的切线与直线 AB 平付所以，平fCxo)O，

361、从而函数f(x）在区第五章一元函数的导数及宾应用I 145y 严f(x)。间（a，的上单调递增y:8 Af._二-_:_-Xo x2 b 图5x 让学生用同样的方法说明：如果函数 f(x）在区间（，的上的导数 J(x）为负，那么函数f(x）在区间（a，的上单调递减设计意图：回顾函数单调性的定义，并通过平均变化率的几何意义，思考某个区间上函数f(x）的平均变化率的正负与其导数 f(x）的正负的关系，进一步说明函数单调性与函数导数的正负之间的关系让学生直观认识到，可以运用“函数 f(x）在区间I上的导数符号恒正（负）”的方法来研究函数 f(x）哈单调性课堂小结：教师引导学生回顾本节课的学习内容，并

362、回答下列问题：如何利用导数研究函数的单调性？对一个具体函数 f(x），你能说出用导数求 f(x）的单调区间的步骤吗？师生活动：学生思考交流后，教师引导学生归纳得出用导数判断函数 f(x）的单调性的基本步骤：第1步，确定函数 f(x）的定义域；第2步，求出导数J(x）的零点；第3步，用 f（x）的零点将 f(x）的定义域划分为若干小区间，判断 f（x）在每个小区间上的正负，由此得出 f(x）的单调区间设计意图：回顾本节课的学习内容，总结用导数求函数单调区间的步骤，使学生进一步体会导数在研究函数单调性中的作用，感受算法思想课后作业：教科书习题5.3第1题，第2(1)(2）题六、目标检测设计1.如图

363、，已知汽车在笔直的公路上行驶(1）如果 y=f(t）表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；(2）如果 y=f(t）表示时刻t时汽车的速度，那么(1）中标出点的意义是什么？叮（第1 题）设计意图：考查学生对导数的几何意义及物理意义、的理解146 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修 第二册 t 2.函数 y=f(x）的图象如图所示，试画出函数 y=f(x）图象的大致形状y x（第2题设计意图：考查学生对用导数刻画函数单调性的认识，体会函数与导函数之间的联系a 3.讨论函数 f(x)=x 一在区间口，2上的单调性，并求出单调区间x 设计意图：考查学生对用导数判断函数单调性的

364、掌握程度以及分类讨论的能力 第五章一元函数的导数及宾应用 l 147 一、本章学业要求通过实例了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义；掌握导数的基本运算规则，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单复合函数（仅限于形如 y=f(ax+b）的复合函数）的导数能利用导数研究函数的单调性、极值和最大（小）值，并会解决有关的方程、不等式问题能利用导数解决某些简单的优化问题重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养二、本章评价建议为落实本章的学业要求，以下从核心知识评价要求、思想方法评价要求和关键能力评价要求的三个维度，提出具体的

365、评价建议1.核心知识评价要求依据本章的学习目标和学业要求，可列出本章的8个核心知识，分允了解、理解、掌握三个认知层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求 具体评价要求详见表1.表1主题知识单元核心知识评价要求合计了解理解掌握个数导数的概念、导数的概念及其意义导数的几何意义.J 基本初等函数的导数一元函数的导数的运算导数的四则运算法则.J 函3 数导数及其简单复合函数的导数.J 应用函数的单调性、导数在研究函数中的应用函数的极值与最大（小）值.J 3 导数的实际应用、总计个数1 4 3 8 对本章数学知识技能的评价，应关注学生能否运用导数工具研究具体函数的性质，并解决简单的实际问题基于此，我

366、们对本章8个核心知识的评价要求，分别按照了解、理解和草握三个层次的具体含义进行了细化解析，使其对教学具有有效的评价和指导作用(1）了解导数的概念：能通过分析实例，说出导数概念的实际背景，感知由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想(2）理解导数的几何意义：能描述曲线在某点处切线的定义，理性认识切线斜率与导数的关系；能通过函数图象直观地描述导数的几何意义，并能应用导数的几何意义解决些简单的具体148 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册问题(3）掌握基本初等函数的导数：能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数），y=x,Y 二xz

367、 卢3,y 二，y 的导数(4）掌握导数的四则运算法则：能灵活运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(5）理解简单复合函数的导数：能求简单复合函数（仅限于形如 y=f(ax+b）的复合函数）的导数(6）掌握函数的单调性：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）(7）理解函数的极值与最大（小）值：了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）(8）理解导数的实际应用：能利用导数研

368、究函数的性质和变化规律，并会解决与之有关的方程、不等式等问题；会利用导数解决某些简单的实际问题；能将生活中的优化问题转化为求函数的最大（小）值问题，并熟悉利用导数方法解决优化问题的基本步骤2.思想方法评价要求本章的数学思想方法主要包括极限思想、数形结合的思想、函数与方程的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想等，具体评价要求详见表2.表2思想方法评价要求极限能以导数概念的产生过程为基础，初步了解并体会极限思想，理解切线的斜率就是割线斜率的极限能应用极限思想画函数的图象能从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义；能借助几何直观探索数形结合并了解函数的单调性与导数的关系；结合函数

369、图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点的函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念，并能借助几何直观探索函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件函数与方程能构造函数，将不等式恒成立、证明不等式以及求参数的取值范围的问题转化为求函数的最大（小值问题，并利用导数求出最大（小）值解决问题分类与整合在用导数研究函数（特别是含参数的函数）的性质过程中，能正确地进行分类讨论并解决问题化归与转化能够将含有一个或者两个量词（任意、存在）的不等（相等）问题化归为函数的最大（小）值问题，并利用导数求出最大（小）值来解决问题对数学思想方法的评价，本章要特别关注学生能否运用极限思想理解导数的有关知识例如

370、，学生能否利用极限，思想体会导数的意义，理解切线的斜率；能否运用极限的观点认识和理解导数的四则运算法则；能否运用极限的观点认识和理解基本初等函数的导数3.关键能力评价要求本章的关键能力主要包括抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、直观想象能力、数学！第五章元函数的导数及冥应用I 149建模能力等，具体评价要求详见表3.关键能力抽象概括推理论证运算求解直观想象数学建模，F，帽 F表3评价要求能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，并进一步抽象出导数的概念能利用导数对函数的单调性、极值、最大（小值等性质进行分析、判断或求解

371、；能准确使用导数的有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题能根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算导数；能通过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大（小值能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数的图象，并由图象进一步认识函数的性质能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题对数学关键能力的评价，本章要特别注重对导数本质的理解，突出利用导数解决与函数相关的问题的能力，避免片面强调机械模仿、死记硬背和追求复杂的解题技巧Cl）要重视对学生的抽象概括能

372、力和数学思维品质的评价例如，学生能否根据具体实例归纳并抽象出导数的概念，领悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维规律(2）要特别关注学生的数学建模核心素养的发展在利用导数解决实际问题的过程中，要重视对学生的数学建模过程理解程度的评价，关注学生在学习过程中阅读与理解、表达与交流的能力是否有提高，是否掌握了读模、识模、建模、解模的全过程特别要注意将数学建模渗透在全章的学习过程之中，并通过典型例子规范学生的建模过程，检测学生的掌握情况，为学生以后进一步提升数学建模素养打好基础三、本章命题建议本章学业水平测试的命题，要以学业要求的达成为目标，以核心知识为基础，以问题情境为载体，以思想方法为依托，以关键

373、能力为特征，综合体现数学学科核心素养的落实1.本章学业水平测试的命题意图Cl）重视对核心知识的评价 以导数为工具研究一元函数的性质，突出评价学生对导数的概念及其意义、导数的计算、导数在研究函数中的应用等知识与方法的掌握程度(2）重视对思想方法的评价 以一元函数的导数及其应用为载体，突出利用导数研究函数问题的通性通法，注重结合具体问题情境融人数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化等主要数学思想方法，淡化特殊的解题技巧(3）重视对关键能力的评价以导数在研究函数和优化问题中的应用为特征，突出问题情境中要蕴含对抽象概括、推理论证、运算求解、直观想象和数学建模等关键能力的评价，注重导数的核心知识、

374、思想方法和实际应用的有机结合，重在评价学生综合运用所学的知识建立函数模型，进而解决实际问题的能力2.本章学业水平测试题的双向多维细目表依据上述命题意图，我们设计了本章学业水平测试题的双向多维细目表（详见表4），编制了一150 I普通高中教科书教师教学用书数学选律性修 第二册！品套示范d性学业水平测试题，并给出了参考答案，以供教学时选用表4题型题号问题情境核心知识评价要求1 数学（A)导数的运算掌握选2 数学(B)导数在研究函数中的应用掌握择题3 数学(B)导数在研究函数中的应用掌握4 数学 CB)函数的单调性掌握5 数学 CA)导数及其几何意义理解填6 数学 CA)导数的运算掌握题数学(B)导

375、数的实际应用理解8 数学 CC)函数的极值理解解9 数学 CA)函数的极值理解生H在10 数学(B)函数的单调性、最大（小）值掌握题11 现实 CC)导数的实际应用理解本童学业水平测试题（时间：45 分，满分：100 分）思想方法关键能力函数与方程运算求解数形结合直观想象函数与方程推理论证函数与方程推理论证化归与转化运算求解函数与方程运算求解函数与方程运算求解化归与转化运算求解函数与方程运算求解分类与整合运算求解函数与方程数学建模一、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知 f(x)=xln u若 J(x0)=Z，则

376、 Xo 等于（）CA)e2(B)e ln 2 CC)2 CD)ln 2z.已知函数 y=f(x），其导函数 y=J(x）的图象如图所y 示，则对于函数 y=f(x）的描述正确的是（）CA）在（一，0）上单调递减(B）在 x=O 处取得最大值CC）在（4，十）上单调递减CD）在 x=Z 处取得最小值3.函数 f(x）一宅，bl，则（）eCA)f(a)=f(b)CB)f(a)f(b)(D)f(a），列的的大小关系不能确定4.已知函数 f(x)=x2 十 一，若 f(x）在（2,）上单调递增，则实数 的取值范围为工第五章一元函数的导数及真应用I 1s1（）CA)C一，16 CB)C一，8)CC)（，

377、8)UC8，十00)CD)C一，一16U16，十）二、填空题本大题共4小题，每小题 5分，共20分 请将答案填在对应题号的位置上）5.曲线 f(x)=x3十ln z在点（1,1)处的切线方程为6.己知函数 f(x）的导函数为 f(x），且满足 f(x)=2xj Ce）十ln x，则J(e)=7.已知在一次降雨过程中，某地 降雨量 y（单位：mm）与时间 t（单位：min）的函数关系可近似表示为 y=,/I百，则在t=40 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为mm/min.8.已知函数 f(x)=x2十aln(x十1)有两个不同 的极值点 町，町，且 x1岛，则实数 的取值范围

378、为三、解答题（本大题共3小题，每小题 20分，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9.设f(x)=a(x-5)2+6ln x（仨酌，曲线 y=f(x）在点(1,/Cl）处的切线与y轴相交于点（0,6）.求函数 f(x）的极值10.已知函数 fCx5=2x3+3ax2十1(a R).(1)求 f(x）的单调区间；(2）求打工）在区间O,2上的最小值11.在研制飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分y 析飞机的降落曲线如图，一架水平飞行的飞机着陆点为原点0.已知飞机开始降落时的飞行高度为 6 km，水平飞行速度为 360 km/h，且在整个降落过程中水平速度保持不变出于安全考虑，飞机垂直

379、加速度的绝对值不得超过古g（此 处 g=9.8 m/s2 是重力加速度）若飞机在与着。陆点的水平距离是 x0 m时开始下降，飞机的降落曲线是6km Xo x（第11题）某三次多项式函数图象的一部分，飞机整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞机开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切，请解决以下问题：(1）确定飞机的降落曲线；(2）求开始下降点工。所能允许的最小值（精确到0.1 m).参考答案1.且本题主要评价学生对导数运算的掌握程度，以及运用函数与方程思想、解决问题的能力2.c.本题主要评价学生对用导数研究函数性质的掌握程度，同时评价学生的直观想象能力3.c.本题主要评价学生对利用导数

380、研究函数单调性的掌握程度，同时评价学生运用函数与方程思想解决问题的能力1s2 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册4.A 本题主要评价学生对利用导数研究函数性质的掌握程度，以及运用函数与方程思想解决问题的能力5.4x-y-3=0.本题主要评价学生对利用导数求曲线的切线方程的理解程度，同时评价学生运用化归与转化思想方法解决问题的能力6.本题主要评价学生对求导法则的掌握程度，同时评价学生的运算求解能力7.f.本题主要问学生利用导数解决实际问题的能力，同时评价学生的运算求解能力s.(o，）本题主要评价学生对利用导数研究函数极值的理解程度，同时评价学生运用化归与转化思想、数形结合思想、解决

381、问题的能力9.由 f(x)=a(x-5)2十6ln x，得f（x)=2（x 5）.令x=l，则f(l)=l缸，f。）工6-8 所以曲线 y=f(x）在点（1,/Cl）处的切线方程为y-16（6-8a)(x 一1).由点（0,6)在切线上，可得 6一16 Ba 一6，解得 所以 f(x6(x 一2）（工 一3）s+-=令f(x)=O，解得 x1=2，工2=3.x x 当OxO，故 f（川的单调递增区间是（0,2）和（3,）；当2工3时，f(x)O时，令f(x)=6x(x）O，解得 xO，则 f(x）的单调递增区间为（一，-a）和（0,），单调递减区间为（，O);当o时，令f(x)=6x(x十）O

382、，解得 xO 或工 a，则f(x）的单调递增区间为（一，0）和（a，十），单调递减区间为（0,-a).(2）由(1）可得，当Z 二O 或 x=-a时，J(x)=O.当a0，即二三0时，f(x）在O,2上单调递增，此时 f(x）在区间O,2上的最小值为f(O)=l;当O-a2,llP-2O时，f(x）在O,-a上单调递减，在（a,2）上单调递增，此时 f(x）在区间O,2上的最小值为 f(-a)=a3+1;当a二三2，即2时，f(x）在0,2上单调递减，此时 f(x）在区间O,2上的最小值为f(2)=17十12综上可得：当二三0时，f(x）的最小值为 f(0)=1；当一 2O时，f(x）的最小值

383、为f（一）a十1；当G2时，f（工）的最小值为f(2)=17+12 第五章元函数的导数及莫应用I 153本题主要评价学生对利用导数研究函数的单调性和最大（小）值的掌握程度，同时评价学生运用分类与整合思想解决问题的能力11.(1）由于飞机着陆点为原点。，故可设飞机的降落曲线为f(x)=ax3 十bx2+cx.12 000(f(x0)=6000,问。3+bxoz十 cx0=6000,一工了，由题设得才j(O)=O,所以才 c=O,解得，18 000 lfCxo)=O,l3ax十2bx0+c=O.I Xo2 c=O.12 000 18 000 所以飞机的降落曲线为f(x）一 一x3 一x2,x O,

384、x0.Xo Xo(2）设飞机经过降落时间t后与着陆点的水平距离为 x=x o-v0t，其中v0=360 km/h=12 000 18 000 lOQ m/s.因此y 一一C xo-vot)3 一C xo-vot)2.因为飞机的垂直下降速度叭。是Xo Xo 36 ooovgt(vot-xo)y关于时间t的导数j，所以v(t)=3，垂直加速度是以t）关于时间t的导工。,36 000v（2vot-xo）币 1数v(t)=u u o ti 0 卫 1Xo L Vo I(Xo 3民 000刷2因此，垂直加速度绝对 值的最大值为lv(t)l max=v（）一寸.由设计要求知飞 Vo I Xo lvCt)I

385、叩哇，所以得到 600Jf v0.:J4f v0=100 m/s,g=9.8 m/s 工0二兰19 166.3 Cm）.即开始下降点Xo 所能允许的最小值为 19 166.3 m.本题主要评价学生利用函数和导数解决实际问题的能力，同时 重点评价学生的数学抽象、数学建模、推理论证与运算求解等关键能力154 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册配套数字资源使用说明信息技术作为一种认知工具，对于促进学生对数学本质的理解、发展学生的数学思维和数学能力等都可以发挥重要作用在本套教科书编写过程中，我们高度重视信息技术在数学教与学中的广泛应用，系统考虑了信息技术与数学课程 融合的问题，在加强信息

386、技术的运用，实现信息技术与数学教学的深度融合上作了较大努力为切实落实教科书在信息技术使用方面的编写意图，我们开发了一些配套数字资源 教师教学时可以在人教网“高中数学”栏目免费下载使用，也可以在人教网直接搜索资源名称找到相应资源后免费下载使用选择性必修第二册配套数字资源如下序号资源名称所属章节资源说明前n项和满足某种本资源采用交互动画的形式，提供一个能够辅助探究1 4.2 等差数列“前n项和满足某种条件的数列特征”的环境，并给出相条件的数列特征关的证明本资源采用交互动画的形式，提供一个利用导数研究三2 三次函数的图象与5.3 导数在研究函数次函数的性质的环境 通过改变参数，得到不同的三次性质中的应用函数，并研究其单调性、极值点和零点个数、对称中心、过某点的切线条数等本资源采用演示和交互动画的形式，提供一个直观、动函数的单调性、极5.3 导数在研究函数态的借助导数研究函数的单调性、极值与零点等性质的3 学习环境可以输入任意的函数 y=f(x），生成导函数值与零点中的应用y=f(x），绘制出图象，并生成 f(x）的变化情况列表配套数字资源使用说明I 155