1、模块综合检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系为()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)0，所以f(x)g(x)2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，B60，那么角A等于()A135 B90C45 D30解析：选C由正弦定理知，sin A.又ab，B60，A0的解集为(，1)(m，)，则am()A1 B1C2 D3解析：选D由题意，知1，m是方程x23ax20的两个根，则由根与系数的关系，得解得所以am3，故选D.5已知
2、x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25C9 D36解析：选B(1x)(1y)22225，因此当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y)取最大值25，故选B.6已知数列an为等差数列，且a12，a2a313，则a4a5a6等于()A40 B42C43 D45解析：选B设等差数列an的公差为d，则2a13d13，d3，故a4a5a63a112d3212342.7钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B.C2 D1解析：选BSABCABBCsin B1sin B，sin B，B45或135，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题
3、意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意故选B.8已知Sn为正项等比数列an的前n项和，S33a12a2，且a2，a4，a5成等差数列，则a1()A2 B.C. D4解析：选C设数列an的公比为q(q0)，则由S33a12a2可得q2q20，解得q2或q1(舍去)，又a2，a4，a5成等差数列，所以2a4a2a5，即a2，所以a1.9在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析：选B由余弦定理得AB242AB2cos 607，解得AB3或AB1(舍去)，设BC边上的高为x，由三角形
4、面积关系得BCxABBCsin 60，解得x，故选B.10某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为()A16,8 B15,9C17,7 D14,10解析：选A设A工厂工作x小时，B工厂工作y小时，总工作时数为z，则目标函数为zxy，约束条件为作出可行域如图所示，由图知当直线l：yxz过Q点时，z最小，解方程组得Q(16,8)，故A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少11若log4(3x4b)
5、log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：选D由log4(3a4b)log2，得log2(3a4b)log2(ab)，所以3a4bab，即1.所以ab(ab)747，当且仅当，即a24，b32时取等号，故选D.12(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100
6、且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330C220 D110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N100，令100，得n14，nN*，即N出现在第13组之后易得第n组的所有项的和为2n1，前n组的所有项的和为n2n1n2.设满足条件的N在第k1(kN*，k13)组，且第N项为第k1组的第t(tN*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k1组的前t项的和2t1应与2k互为相反数，即2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，当t4，k13时，N4955时，N440，故
7、选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析：因为实数x，y满足xy1，所以x22y2222，并且仅当x22y2且xy1，即x22y2时等号成立，故x22y2的最小值为2.答案：214已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x4，x，x4.由一个内角为120，知其必是最长边x4所对的角由余弦定理得，(x4)2x2(x4)22x(x4)cos 120，2x220x0，x0(舍去)或x10，SABC(10
8、4)10sin 12015.答案：1515设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.答案：16若a0，b0，ab2，则下列不等式ab1；a2b22；2，对满足条件的a，b恒成立的是_(填序号)解析：因为ab21，所以正确；因为()2ab2222ab4，故不正确；a2b22，所以正确；2，所以正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2017全国卷)记Sn为等比数
9、列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q.由题设可得解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列18(12分)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1,1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围解：(1)因为f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以2x2bxc0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x2bxc0的两个
10、根，由根与系数的关系，知5，0，所以b10，c0，所以f(x)2x210x.(2)对任意的x1,1，f(x)t2恒成立等价于对任意的x1,1，2x210xt20恒成立设g(x)2x210xt2，则由二次函数的图象可知g(x)2x210xt2在区间1,1上为减函数，所以g(x)maxg(1)10t，所以10t0，即t10，所以t的取值范围为(，1019(12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.2
11、0(12分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 sA地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得最高点H的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340 m/s)解：由题意，设ACx m，则BCx340(x40)m，在ABC内，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)21002x2100x，解得x420.在ACH中，AC420 m，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：，可得CH140(m)即该仪器
12、的垂直弹射高度CH为140 m.21(12分)在ABC中，BC6，点D在BC边上，且(2ACAB)cos ABCcos C.(1)求角A的大小；(2)若AD为ABC的中线，且AC2，求AD的长；(3)若AD为ABC的高，且AD3，求证：ABC为等边三角形解：(1)由(2ACAB)cos ABCcos C及正弦定理，有(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，得2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin B，所以cos A.因为0A180，所以A60.(2)由正弦定理，得sin B. 因为AB180，所以B30，所以C90.因为D是BC的中
13、点，所以DC3，由勾股定理，得AD.(3)证明：因为ADBCABACsin A，且AD3，BC6，sin A，所以ABAC36.因为BC2AB2AC22ABACcos A，所以AB2AC272，所以ABAC6BC，所以ABC为等边三角形22(12分)已知数列an的前n项和Sn和通项an满足2Snan1，数列bn中，b11，b2，(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)数列cn满足cn，求证：c1c2c3cn.解：(1)由2Snan1，得Sn(1an)当n2时，anSnSn1(1an)(1an1)anan1，即2ananan1，(由题意可知an10)an是公比为的等比数列，而S1a1(1a1)，a1，ann1n.由，1，2，得d1，n，bn.(2)证明：cnnn，设Tnc1c2cn，则Tn112233nn，Tn1223(n1)nnn1，由错位相减，得Tn2nnn1nn1nnn1，所以Tnnnn.