1、62.4向量的数量积考点学习目标核心素养向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a在b上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理 问题导学预习教材P17P22的内容，思考以下问题：1什么是向量的夹角？2数量积的定义是什么？3投影向量的定义是什么？4向量数量积有哪些性质？5向量数量积的运算有哪些运算律？1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b
2、的夹角(2)特例：当0时，向量a与b同向；当时，向量a与b垂直，记作ab；当时，向量a与b反向名师点拨 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC不是向量与的夹角作，则BAD才是向量与的夹角2向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_.规定零向量与任一向量的数量积为0名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式3投
3、影向量如图(1)，设a，b是两个非零向量，a，b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量如图(2)，在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则|a|cos e.名师点拨 当0时，|a|e；当时，0；当时，与b方向相同；当时，与b方向相反；当时，|a|e.4向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|
4、cos .(2)abab0(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.名师点拨 对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直5向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)名师点拨 (1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c
5、与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立(3)(ab)2a22abb2. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍然是向量()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)a，b共线ab|a|b|.()(4)若abbc，则一定有ac.()(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 若|m|4，|n|6，m与n的夹角为45，则mn()A12B12C12 D12解析：选B.mn|m|n|cos 454612. 已知|a|10，|b|12，且(3a)36，则a与b的夹角为(
6、)A60 B120C135 D150解析：选B.设a与b的夹角为.因为(3a)36，所以3ab36，又|a|10，|b|12，所以31012cos 36，所以cos .又因为，所以120.4已知|a|，|b|1，且ab与a2b互相垂直，则ab_解析：因为ab与a2b互相垂直，所以(ab)(a2b)0，即a2ab2b20.又因为|a|，|b|1，所以ab2b2a2212()20，即ab0.答案：0平面向量的数量积运算(1)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；.【解】(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a
7、|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192.(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319.因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436.变问法若本例(2)的条件不变，求.解：因为，所以()()229167.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 1(2018高考全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B3C2 D0解
8、析：选B.a(2ab)2a2ab2(1)3，故选B.2已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则_解析：()()2a2a2 cos 60a2.答案：a2向量模的有关计算(1)已知平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|()A.B2C4 D12(2)向量a，b满足|a|1，|ab|，a与b的夹角为60，则|b|()A. B.C. D.【解析】(1)|a2b| 2.(2)由题意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60，即1|b|2|b|，解得|b|.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2
9、|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 1已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，则|ab|_，|3a4b|_解析：由已知得ab|a|b|cos42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.因为|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，所以|ab|2.因为|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，所以|3a4b|4.答案：242已知向量a，b满足|a|b|1，|ab|1，则|ab|_解析：法一：由|ab|1得a22abb21，所以|a|22ab|b|21，所以2ab1，所以
10、|ab|.法二：如图，因为|a|b|ab|1，所以AOB是正三角形，AOB60，所以|ab|2a22abb222ab1，所以ab，所以|ab|2a22abb21213，所以|ab|.答案：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a|6，|b|4，(a2b)(a3b)72，则a与b的夹角为_；(2)(2019高考全国卷改编)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为_【解析】(1)设a与b的夹角为，(a2b)(a3b)aa3ab2ba6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 64272，所以24cos 36729612
11、，所以cos .又因为，所以.(2)设a与b的夹角为，由(ab)b，得(ab)b0，所以abb2，所以cos .又因为|a|2|b|，所以cos .又因为0，所以.【答案】(1)(2)命题角度二：证明两向量垂直已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，求证：b(atb)【证明】因为|atb|，所以当t时，|atb|有最小值此时b(atb)batb2ab|b|2abab0.所以b(atb)命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为()A BC D1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实
12、数_【解析】(1)因为3a2b与kab互相垂直，所以(3a2b)(kab)0，所以3ka2(2k3)ab2b20.因为ab，所以ab0，又|a|2，|b|3，所以12k180，k.(2)由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5.【答案】(1)B(2)8或5求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助 0，求出的值 (2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系中，常利用消元思想计算cos 的值若单位
13、向量e1，e2的夹角为，向量ae1e2(R)，且|a|，则_解析：由题意可得e1e2，|a|2(e1e2)2122，化简得20，解得.答案：1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选C.由题意，知ab|a|b|cos 4cos 2，所以cos .又0，所以.2已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为()A6 B6C3 D3解析：选B.因为cd0，所以(2a3b)(ka4b)0，所以2ka28ab3kab12b20，所以2k12，所以k6.3已知|a|3，|b|5，ab12，且e是与b方向相同的单位
14、向量，则a在b上的投影向量为_解析：设a与b的夹角，则cos ，所以a在b上的投影向量为|a|cos e3ee.答案：e4已知|a|1，|b|.(1)若ab，求ab；(2)若a，b的夹角为60，求|ab|；(3)若ab与a垂直，求a与b的夹角解：设向量a与b的夹角为.(1)当a，b同向，即0时，ab；当a，b反向，即180时，ab.(2)|ab|2|a|22ab|b|23，|ab|.(3)由(ab)a0，得a2ab，cos ，又0，180，故45.A基础达标1已知ABCD中DAB30，则与的夹角为()A30B60C120 D150解析：选D.如图，与的夹角为ABC150.2已知单位向量a，b，
15、则(2ab)(2ab)的值为()A. B.C3 D5解析：选C.由题意得(2ab)(2ab)4a2b2413.3(2019北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选C.因为a(ab)a2ab42cosa，b3，所以cosa，b，又因为a，b0，所以a，b.4若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则|a|()A2 B4C6 D12解析：选C.因为(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672.所以|a|22|a|240.解得|a|6或|
16、a|4(舍去)故选C.5(2019广东佛山质检)如图所示，ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，则等于()A BC D解析：选C.因为ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，所以BC，所以1cos 150.6若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60方向，且|a|b|1，则(3a)(ab)_解析：设a与b的夹角为，则120，所以(3a)(ab)3|a|23ab3311cos 12033.答案：7已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|2，若(ab)a，则实数_解析：根据题意得ab|a|b|cos 1，因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，所以.答案：8已知在ABC中，A
17、BAC4，8，则ABC的形状是_解析：因为|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形答案：等边三角形9已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)因为(ab)(ab)，所以a2b2，即|a|2|b|2，又|a|1，所以|b|.设向量a，b的夹角为，因为ab，所以|a|b|cos ，所以cos ，因为0180，所以45，所以向量a，b的夹角为45.(2)因为|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2，所以|ab|.10已知|a|2|b|2，e是与b方向相同的单位向量
18、，且向量a在向量b方向上的投影向量为e.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)由题意知|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影向量为|a|cos ee，所以cos ，所以.(2)易知ab|a|b|cos 1，则(a2b)bab2b2123.(3)因为ab与a3b互相垂直，所以(ab)(a3b)a23abba3b24313740，所以.B能力提升11在ABC中，若2，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析：选D.因为2，所以2，所以()()，所以2，所以()0，所以0，所以ACBC，所以ABC是直角三
19、角形12若|ab|ab|2|a|，则向量ab与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选D.由|ab|ab|可得ab0，由|ab|2|a|可得3a2b2，所以|b|a|，设向量ab与b的夹角为，则cos ，又0，所以.13在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，2，则_解析：由2，所以，故()()()22|cos 120|2|221122.答案：14设向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0
20、，化简即得2t215t70，画出y2t215t7的图象，如图若2t215t70，则t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得所以所求实数t的取值范围是.C拓展探究15在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，.所以22368118.(2)由题意，所以22361818.又6，所以186，所以36.设与的夹角为，又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.